2020江苏苏州中考数学试卷

2020年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．1．（3分）在下列四个实数中，最小的数是（ ）A ．﹣2
B ．
C ．0
D ．1
3
3
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm 2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）A ．1.64×10﹣5
B ．1.64×10﹣6
C ．16.4×10﹣7
D ．0.164×10﹣5
3．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a ＝a 3C ．（a 2）3＝a 5
D ．（a 2b ）2＝a 4b 2
4．（3分）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）不等式2x ﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s ）：
日走时误差0123只数
3
4
2
1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：s ）是（ ）A ．0
B ．0.6
C ．0.8
D ．1.1
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE ＝α；（2）量得测角仪的高度CD ＝a ；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB ＝b ．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A ．a +b tan α
B ．a +b sin α
C ．a
D ．a +
b
tanα
+
b sinα
8．（3分）如图，在扇形OAB 中，已知∠AOB ＝90°，OA ，过的中点C 作
=
2AB CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．π﹣1
B ．1
C ．π
D ．π
2
‒-
12
π2‒
12
9．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为（ ）
A ．18°
B ．20°
C ．24°
D ．28°
10．（3分）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D （3，2）在对角线OB 上，反比例函数y （k ＞0，x ＞0）的图象经过C 、D 两点．已知平行四边形=k
x
OABC 的面积是
，则点B 的坐标为（ ）15
2
A ．（4，）
B ．（，3）
C ．（5，
）D ．（
，）8
3
9
2
10
3
24516
5
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．11．（3分）使
在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．
x ‒13
12．（3分）若一次函数y ＝3x ﹣6的图象与x 轴交于点（m ，0），则m ＝ ．13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
14．（3分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ．若∠C ＝40°，则∠B 的度数是 °．
15．（3分）若单项式2x m ﹣1y 2与单项式x 2y n +1是同类项，则m +n ＝ ．
1
3
16．（3分）如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝2CD ．若E 是AD 的中点，则EC ＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C （3，n ）在第一象限内，连接AC 、BC ．已知∠BCA ＝2∠CAO ，则n ＝ ．
18．（3分）如图，已知∠MON 是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧交于点1
2
C ，画射线OC ．过点A 作A
D ∥ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作D
E ⊥OC ，交ON 于点E ．设OA ＝10，DE ＝12，则sin ∠MON ＝ ．
三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19．（5分）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3）0．9+20．（5分）解方程：
1．x x ‒1+=2
x ‒1
21．（6分）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a （m ），宽为b （m ）．（1）当a ＝20时，求b 的值；
（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为18≤a ≤26，求b 的取值范围．
22．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机
抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080
分数段统计（学生成绩记为x）
分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100
频数05253040请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A
在坐标轴上的概率．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
25．（8分）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；
（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．
26．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，PA ＝PD ，∠APD ＝90°．求证：AB +CD ＝BC ．
问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，PA ＝PD ，∠APD ＝90°．求
的值．AB +CD
BC
27．（10分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元）与销售量x （kg ）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC 所在直线对应的函数表达式．
日期销售记录
6月1日库存600kg ，成本价8元/kg ，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日从6月1日至今，一共售出200kg ．
6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元
/kg ．6月12日补充进货200kg ，成本价8.5元/kg ．6月30日
800kg 水果全部售完，一共获利1200元．
28．（10分）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT 于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
2020年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．1．（3分）在下列四个实数中，最小的数是（ ）A ．﹣2
B ．
C ．0
D ．1
3
3
【解答】解：将﹣2，，0，在数轴上表示如图所示：
1
3
3
于是有﹣2＜0，
＜1
3
＜3故选：A ．
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm 2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）A ．1.64×10﹣5
B ．1.64×10﹣6
C ．16.4×10﹣7
D ．0.164×10﹣5
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，故选：B ．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a ＝a 3C ．（a 2）3＝a 5
D ．（a 2b ）2＝a 4b 2
【解答】解：a 2•a 3＝a 2+3＝a 5，因此选项A 不符合题意；a 3÷a ＝a 3﹣1＝a 2，因此选项B 不符合题意；（a 2）3＝a 2×3＝a 6；因此选项C 不符合题意；（a 2b ）2＝a 4b 2，因此选项D 符合题意；故选：D ．
4．（3分）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
5．（3分）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
6．（3分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：日走时误差0123只数3421则这10只手表的平均日走时误差（单位：s）是（ ）
A．0B．0.6C．0.8D．1.1
【解答】解： 1.1，
x =1×4+2×2+3×1
3+4+2+1
=故选：D ．
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE ＝α；（2）量得测角仪的高度CD ＝a ；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB ＝b ．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A ．a +b tan α
B ．a +b sin α
C ．a
D ．a +
b
tanα
+
b sinα
【解答】解：过C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形BFCD 是矩形，∴BF ＝CD ＝a ，CF ＝BD ＝b ，∵∠ACF ＝α，∴tan α，=
AF CF =AF b
∴AF ＝b •tan α，
∴AB ＝AF +BF ＝a +b tan α，故选：A ．
8．（3分）如图，在扇形OAB 中，已知∠AOB ＝90°，OA ，过的中点C 作
=
2AB CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．π﹣1
B ．1
C ．π
D ．π2
‒-
12
π2‒
12
【解答】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠CDO ＝∠CEO ＝∠AOB ＝90°，∴四边形CDOE 是矩形，连接OC ，
∵点C 是的中点，AB ∴∠AOC ＝∠BOC ，∵OC ＝OC ，
∴△COD ≌△COE （AAS ），∴OD ＝OE ，
∴矩形CDOE 是正方形，∵OC ＝OA ，
=2∴OE ＝1，
∴图中阴影部分的面积1×11，=90⋅π×2360‒=π
2
‒故选：B ．
9．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为（ ）
A ．18°
B ．20°
C ．24°
D ．28°
【解答】解：∵AB '＝CB '，∴∠C ＝∠CAB '，
∴∠AB 'B ＝∠C +∠CAB '＝2∠C ，
∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '，∴∠C ＝∠C '，AB ＝AB '，∴∠B ＝∠AB 'B ＝2∠C ，∵∠B +∠C +∠CAB ＝180°，∴3∠C ＝180°﹣108°，∴∠C ＝24°，∴∠C '＝∠C ＝24°，故选：C ．
10．（3分）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D （3，2）在对角线
OB 上，反比例函数y （k ＞0，x ＞0）的图象经过C 、D 两点．已知平行四边形
=k
x
OABC 的面积是
，则点B 的坐标为（ ）15
2
A ．（4，）
B ．（，3）
C ．（5，）
D ．（，）
8
39210
3245165
【解答】解：∵反比例函数y （k ＞0，x ＞0）的图象经过点D （3，2），=
k
x
∴2，
=k
3
∴k ＝6，∴反比例函数y ，=
6x
设OB 的解析式为y ＝mx +b ，∵OB 经过点O （0，0）、D （3，2），∴，{
0=b
2=3m +b 解得：，
{m =2
3b =0
∴OB 的解析式为y x ，
=2
3
∵反比例函数y 经过点C ，=
6
x
∴设C （a ，），且a ＞0，6a
∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，S 平行四边形OABC ＝2S △OBC ，∴点B 的纵坐标为，6a
∵OB 的解析式为y x ，=
23∴B （，），
9a 6a
∴BC a ，=
9
a
‒∴S △OBC （a ），=
12×6a ×9
a
‒∴2（a ），
×12×6a ×9a ‒=15
2
解得：a ＝2，∴B （，3），92
故选：B ．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（3分）使
在实数范围内有意义的x 的取值范围是　x ≥1　．
x ‒13
【解答】解：由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．
12．（3分）若一次函数y ＝3x ﹣6的图象与x 轴交于点（m ，0），则m ＝　2　．【解答】解：∵一次函数y ＝3x ﹣6的图象与x 轴交于点（m ，0），∴3m ﹣6＝0，解得m ＝2，故答案为2．
13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块
地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
3
8
【解答】解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是，616=38
故答案为：．
3
8
14．（3分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ．若∠C ＝40°，则∠B 的度数是　25　°．
【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，
∴∠AOC ＝90°﹣∠C ＝90°﹣40°＝50°，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，而∠AOC ＝∠OBD +∠ODB ，∴∠OBD ∠AOC ＝25°，=
1
2
即∠ABD 的度数为25°，故答案为：25．15．（3分）若单项式
2x m ﹣1y 2与单项式
x 2y n +1是同类项，则m +n ＝　4　．1
3
【解答】解：∵单项式2x m ﹣1y 2与单项式x 2y n +1是同类项，13
∴，{
m -1=2n +1=2∴m +n ＝4，故答案为：4．
16．（3分）如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝2CD ．若E 是AD 的中点，则EC ＝　1　．
【解答】解：设AE ＝ED ＝x ，CD ＝y ，∴BD ＝2y ，∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 中，
∴AB 2＝4x 2+4y 2，∴x 2+y 2＝1，在Rt △CDE 中，∴EC 2＝x 2+y 2＝1，∴EC ＝1，故答案为：1
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C （3，n ）在第一象限内，连接AC 、BC ．已知∠BCA ＝2∠CAO ，则n ＝　
　．14
5
【解答】解：作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥y 轴于E ，
∵点A 、B 的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C （3，n ）在第一象限内，则E （0，n ），D （3，0），
∴BE ＝4﹣n ，CE ＝3，CD ＝n ，AD ＝7，∵CE ∥OA ，∴∠ECA ＝∠CAO ，∵∠BCA ＝2∠CAO ，∴∠BCE ＝∠CAO ，在Rt △CAD 中，tan ∠CAO ，在Rt △CBE 中，tan ∠BCE ，=
CD AD =BE
CE
∴，即，
CD AD =BE CE n 3+4=4‒n
3
解得n ，=14
5故答案为
．145
18．（3分）如图，已知∠MON 是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧交于点12
C ，画射线OC ．过点A 作A
D ∥ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作D
E ⊥OC ，交ON 于点E ．设OA ＝10，DE ＝12，则sin ∠MON ＝
　．24
25
【解答】解：如图，连接DB ，过点D 作DH ⊥ON 于H ．
由作图可知，∠AOD ＝∠DOE ，OA ＝OB ，∵AD ∥EO ，∴∠ADO ＝∠DOE ，∴∠AOD ＝∠ADO ，∴AO ＝AD ，
∴AD ＝OB ，AD ∥OB ，∴四边形AOBD 是平行四边形，∵OA ＝OB ，
∴四边形AOBD 是菱形，
∴OB ＝BD ＝OA ＝10，BD ∥OA ，∴∠MON ＝∠DBE ，∠BOD ＝∠BDO ，∵DE ⊥OD ，
∴∠BOD +∠DEO ＝90°，∠ODB +∠BDE ＝90°，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ＝10，∴OE ＝2OB ＝20，∴OD 16，
=
OE 2‒DE 2=202‒122=∵DH ⊥OE ，∴DH ，=
OD ⋅DE EO =16×1220=48
5
∴sin ∠MON ＝sin ∠DBH ．=DH DB =485
10=24
25
故答案为
．2425
三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19．（5分）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3）0．9+【解答】解：（﹣2）2﹣（π﹣3）0．9+＝3+4﹣1，＝6．
20．（5分）解方程：1．x x ‒1+=2
x ‒1
【解答】解：方程的两边同乘x ﹣1，得x +（x ﹣1）＝2，解这个一元一次方程，得，x =
3
2
经检验，是原方程的解．
x =3
2
21．（6分）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a （m ），宽为b （m ）．（1）当a ＝20时，求b 的值；
（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为18≤a ≤26，求b 的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，得：20+2b ＝50，解得：b ＝15．
（2）∵18≤a ≤26，a ＝50﹣2b ，∴，{
50-2b ≥1850‒2b ≤26解得：12≤b ≤16．
答：b 的取值范围为12≤b ≤16．
22．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是　方案三　．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分100
93.5
100%
70%
100
80
分数段统计（学生成绩记为x ）
分数段0≤x ＜80
80≤x ＜85
85≤x ＜90
90≤x ＜95
95≤x ≤100
频数
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；
（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x ＜95，因此中位数在90≤x ＜95组中；②由题意得，1200×70%＝840（人），
答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．
23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A 的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A 的纵坐标．请用树状图或表格列出点A 所有可能的坐标，并求出点A 在坐标轴上的概率．
【解答】解：用列表格法表示点A 所有可能的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中点A 在坐标轴上有5种，
∴P （点A 在坐标轴上）．
=59
24．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F ．（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAF ＝∠AEB ，∵DF ⊥AE ，
∴∠AFD ＝∠B ＝90°，∴△ADF ∽△EAB ，∴△ABE ∽△DFA ；
（2）∵E 是BC 的中点，BC ＝4，∴BE ＝2，∵AB ＝6，∴AE ，
=
AB 2+BE 2=62+22=210∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝4，∵△ABE ∽△DFA ，
∴，AB DF =AE AD
∴．DF =
AB ⋅AD AE =6×42
10=6
510
25．（8分）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；
（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．
【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x ＝2，即b ＝2，解得：b ＝﹣4，
1
2
故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ；
（2）把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，
故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，∵四边形PBCQ 为平行四边形，∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，
又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝﹣3，
由，解得；{x 2‒x 1=2x 1+x 2
=5{x 1=
3
2x 2=
72
由，解得．{
x 2‒x 1=2x 1+x 2
=3{x 1=12
x 2=
52
26．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，PA ＝PD ，∠APD ＝90°．求证：AB +CD ＝BC ．
问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，PA ＝PD ，
∠APD ＝90°．求
的值．AB +CD
BC
【解答】证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠BAP +∠APB ＝90°，∠APB +∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC ，
又PA ＝PD ，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BAP ≌△CPD （AAS ），∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP +PC ＝AB +CD ；
（2）如图2，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，
由（1）可知，EF ＝AE +DF ，
∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB AE ，CD DF ，
=
2=
2∴BC ＝BE +EF +CF ＝2（AE +DF ），
∴．AB +CD BC =2(AE +DF )
2(AE +DF )
=2227．（10分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元）与销售量x （kg ）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC 所在直线对应的函数表达式．
日期销售记录
6月1日库存600kg ，成本价8元/kg ，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日从6月1日至今，一共售出200kg ．
6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元
/kg ．
6月12日补充进货200kg ，成本价8.5元/kg ．
6月30日
800kg 水果全部售完，一共获利1200元．
【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B 坐标为（a ，400），根据题意得：
（10﹣8）×（600﹣a ）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，解这个方程，得a ＝350，∴点B 坐标为（350，400），
设线段BC 所在直线对应的函数表达式为y ＝kx +b ，则：
，解得，{
350k +b =400
800k +b =1200
{k =
169b =‒
20009
∴线段BC 所在直线对应的函数表达式为．y =
169x ‒20009
28．（10分）如图，已知∠MON ＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线OM 上一点，OA ＝8cm ．动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm /s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为t （s ），其中0＜t ＜8．（1）求OP +OQ 的值；
（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ
的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，OP ＝8﹣t ，OQ ＝t ，∴OP +OQ ＝8﹣t +t ＝8（cm ）．
（2）当t ＝4时，线段OB 的长度最大．
如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ
．
∵OT 平分∠MON ，∴∠BOD ＝∠OBD ＝45°，
∴BD ＝OD ，OB BD ．
=
2设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB BD x ，PD ＝8﹣t ﹣x ，
=2=
2∵BD ∥OQ ，∴，PD OP =BD
OQ ∴
，8‒t ‒x 8‒t =x
t
∴x ．
=8t ‒t 28
∴OB ．
=
2⋅8t ‒t 2
8
=‒28(t ‒4)2+22当t ＝4时，线段OB 的长度最大，最大为2cm ．2（3）∵∠POQ ＝90°，∴PQ 是圆的直径．∴∠PCQ ＝90°．∵∠PQC ＝∠POC ＝45°，∴△PCQ 是等腰直角三角形．
∴S △PCQ PC •QC PQ PQ 2．
=12=12×22PQ ⋅22
=1
4在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2+OQ 2＝（8﹣t ）2+t 2．∴四边形OPCQ 的面积S ＝S △POQ +S △PCQ ，=12OP ⋅OQ +1
4
PQ 2，=
12t (8‒t )+1
4
[(8‒t )2+t 2]＝4t 16﹣4t ＝16．
-12t 2+12
t 2
+∴四边形OPCQ 的面积为16cm 2．。