武清区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

武清区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3
A．πB．2πC．3πD．4π
2．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（）
A．6
B．9
C．12
D．18
3．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）
A．B．C．D．
4．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）
的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）
A．B．πC．D．
5．已知(2,1)
a=-，(,3)
b k
=-，(1,2)
c=(,2)
k
=-
c，若(2)
a b c
-⊥，则||b=（）
A．B．C．D
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
6．S n是等差数列{a n}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（）
A．S18＝72 B．S19＝76
C．S20＝80 D．S21＝84
7．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）
A．112 B．114 C．116 D．120
8．设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）
A． B． C．D．
9．在ABC
∆中，角A，B，C的对边分别是，，，BH为AC边上的高，5
BH=，若
2015120
aBC bCA cAB
++=，则H到AB边的距离为（）
A．2 B．3 C.1 D．4 10．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 12．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
二、填空题
13．已知A （1，0），
P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则
+
的最大值为 ．
14．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
15．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．
16．已知,a b 为常数，若()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________.
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．
18．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
三、解答题
19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）若四边形BCC
1B 1是正方形，且A 1D=
，求直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值．
20．若已知，求sinx 的值．
21．（本小题满分12分）
如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=，22
sin 3
BAC ∠=，32AB =，3BD =． （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求cos C ．
22．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为
的双曲线的标准方程．
23．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

24．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．
武清区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，
∴此几何体的体积==2π．
故选：B．
2．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.
法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，
a＝2 016，b＝54，r＝18，
a＝54，b＝18，r＝0.
∴输出a＝18，故选D.
3．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g （x ）=sin （2x+﹣2φ），
sin （﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2k π+，k ∈Z ，此时φ=k π，k ∈Z ，
或
﹣2φ=2k π+
，k ∈Z ，此时φ=k π﹣
，k ∈Z ，
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
5． 【答案】A 【
解
析
】
6． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 7． 【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得； 该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114． 故选：B ．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
8． 【答案】A
【解析】解：0＜a ＜1，实数x ，y 满足，即y=
，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A ．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
9． 【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）,另外，要选好基底
向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.
10．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
11．【答案】D 【解析】
试题分析：由{
}
{}1,2,025
,0522
--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 12．【答案】 B
【解析】解：画出x ，y 满足的可行域如下图：z=3x+y 的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（
，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣
，
故选B ．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：设=
，则=
=
，
的方向任意．
∴
+
=
=1×
×
≤
，因此最大值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
14．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是
真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 15．【答案】 （﹣4
，） ．
【解析】解：∵抛物线方程为y 2
=﹣8x ，可得2p=8
， =2．
∴抛物线的焦点为F （﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P （m ，n ）到焦点F 的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P 到F 的距离等于P 到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n 2
=8m=32，可得n=±4
，
因此，点P 的坐标为（﹣4
，）．
故答案为：（﹣4
，
）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
16．【答案】 【解析】
试题分析：由()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得2
2
()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键.
17．【答案】.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
时，直线y=2mx−1与y=ln x的图象相切，
当m=1
2
时，y=ln x与y=2mx−1的图象有两个交点，
由图可知,当0<m<1
2
则实数m的取值范围是（0,1
），
2
）.
故答案为：（0,1
2
18．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC
B1是正方形，且A1D=，
1
∴CD⊥AB，CD==，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．
20．【答案】
【解析】解：∵，∴＜＜2π，
∴sin （
）=﹣
=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣
]=sin （
）cos
﹣cos （）sin
=﹣
﹣
=﹣
．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫
∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭
,
所以cos 3
BAD ∠=
．…… 3分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，222
2cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠ 即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =, 由于AB AD >,所以3AD =．…… 6分
（Ⅱ）在ABD ∆中，由cos 3
BAD ∠=可知1
sin 3BAD ∠= …… 7分
由正弦定理可知，sin sin BD AB
BAD ADB =∠∠,
所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==
…… 9分
因为2ADB DAC C C π
∠=∠+∠=+∠，即cos C = 12分
22．【答案】
【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，
设椭圆方程
，
由（4，3）在椭圆上得，
则椭圆方程为；
（2）由双曲线
有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），
由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
23．【答案】（1）1
（2）60°
【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）
设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x ∈[0，]，
∴2x+
∈[
，]，
∴当2x+=
，即x=
时，f （x ）min =
…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f （B ）=sin （
+）=1，
∴sin （+）=，
∴+
=，
∴B=
，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。