配套K12高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象同步优化训练

1.4.3 正切函数的性质与图象
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅰ，文6)函数f(x)=tan(x+
4π)的单调区间为( ) A.(k π-2π,k π+2
π),k∈Z B.(k π,(k+1)π),k∈Z C.(k π-43π,k π+4π),k∈Z D.(k π-4
π,k π+43π),k∈Z 解析：由k π-2π＜x+4π＜k π+2π,k ∈Z ，解得k π-43π＜x ＜k π+4
π,k ∈Z . 答案：C
2.函数y=tan(πx+
4π)的最小正周期是_______________. 解析：T=π
π=1. 答案：1
3.作出函数y=｜tanx ｜的图象，并根据图象求其单调区间.
解：由于y=|tanx|
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-∈-+∈),2(,tan ),2,[,tan ππππππk k x x k k x x (k ∈Z )， 所以其图象如下图所示，单调增区间为［k π，k π+
2π)(k ∈Z )；单调减区间为(k π-2
π，k π］(k ∈Z
).
4.利用函数图象,写出x 的范围:tanx≥-1.
解析：在(-2π,2π)内tanx≥-1=tan(-4π),∴-4π≤x＜2
π. 由周期性可知当tanx≥-1时,
k π-
4π≤x＜k π+2
π,k ∈Z . 答案：k π-4π≤x＜k π+2π,k ∈Z . 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=tan(21x-3
π)在一个周期内的图象是( )
图1-4-2
解析：函数y=tan(21x-3π)的周期是2π，可排除B 、D ；对于答案C ，图象过点(3π，0)，代入解析式不成立，可排除C.
答案：A
2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(
12
π，0)，则φ可以是( ) A.-6π B.6
π C.-12π D.12π 解析：将(12π，0)代入原函数可得tan(6π+φ)=0，再将A 、B 、C 、D 代入检验即可. 答案：A
3.若f(x)=tan(x+4
π)，则( ) A.f(0)＞f(-1)＞f(1) B.f(0)＞f(1)＞f(-1)
C.f(1)＞f(0)＞f(-1)
D.f(-1)＞f(0)＞f(1)
解析：在(-
2π,2π)上，y=tanx 为增函数.根据诱导公式把x+4π转化到(-2π,2π)上再比较大小. f(1)=tan(1+
4π)=tan(1-43π).又-2π＜1-43π＜4π-1＜4
π，所以f(0)＞f(-1)＞f(1). 答案：A 4.函数y=
x
tan 11+的定义域是_________________. 解：要使函数y=x tan 11+有意义，则有 ⎪⎩
⎪⎨⎧∈+≠≠+),(2,0tan 1Z k k x x ππ 即x≠-
4π+k π且x≠2
π+k π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠-4π+k π且x≠2
π+k π,k∈Z . 答案：{x|x∈R 且x≠-4π+k π且x≠2π+k π,k∈Z } 5.函数y=x tan 3-的定义域为_______________，值域为_______________.
解：∵⎪⎩
⎪⎨⎧∈+≠≥-)(2,0tan 3Z k k x x ππ∴tanx≤3. ∴-
2π+k π＜x≤3
π+k π(k ∈Z ),y≥0. 答案：{x|-2π+k π＜x≤3
π+k π,k ∈Z }y≥0 6.求函数y=tan(2x-3
π)的单调区间. 解：由y=tanx,x ∈(k π-2π,k π+2
π)(k ∈Z )是增函数， ∴k π-2π＜2x-3π＜k π+2
π，k ∈Z ，即2πk -12π＜x ＜2πk +125π，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间为(2πk -12π,2πk +125π)(k ∈Z ). 7.比较tan1,tan2,tan3的大小.
解：∵tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π), 又∵
2π＜3＜π，∴-2
π＜3-π＜0. 显然-2π＜2-π＜3-π＜1＜2
π. 而y=tanx 在(-2π,2π)内是增函数， ∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan1.
∴tan2＜tan3＜tan1.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=tan(
4π-x)的定义域是( ) A.{x|x≠4
π，x∈R } B.{x|x≠-4
π，x∈R } C.{x|x≠k π+4
π，k∈Z ，x∈R } D.{x|x≠k π+4
3π，k∈Z ，x∈R } 解析：要使函数有意义，需满足4π-x≠2
π+k π(k ∈Z )， ∴x≠-4
π+k π(k ∈Z )，也可写成x≠43π+k π(k ∈Z ). 答案：D
2.直线y=a(a 为常数)与正切曲线y=tan ωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A.π
B.ωπ
2 C.
ω
π D.与a 的值有关 解析：相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y=tan ωx ，ω＞0，得T=ωπ. 答案：C 3.函数y=2tan(3x-
4
π)的一个对称中心是( ) A.(3π，0) B.(6π，0) C.(-4π，0) D.(-2
π，0) 解析：由y=tanx 的对称中心是(2
πk ，0)， ∴3x -4π=2
πk ，x=12π+6πk (k ∈Z ). 当k=-2时，x=-4π. 答案：C
4.(2005高考全国卷Ⅱ，4)已知函数y=tan ωx 在(-2π,2
π)内是减函数，则( ) A.0＜ω≤1 B.-1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤-1
解析：由||ωπ≥π，∴|ω|≤1.若ω＞0,其图象与y=tanx 在(-2π,2
π)上有相同的增减性，∵y=tan ωx 是(-2π,2
π)上的减函数,∴ω＜0. 答案：B
5.给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、
2π； ③若x 1＞x 2，则sinx 1＞sinx 2；
④若f(x)是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f(2
T -)=0. 其中正确命题的序号是_____________________.
答案：④
6.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1)tan167°与tan173°； (2)tan(411π-)与tan(5
13π-). 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y=tanx 在(90°，270°)上是增函数， ∴tan167°＜tan173°. (2)∵tan(411π-)=tan(-43π)，tan(513π-)=tan(5
3π-)， 又∵-23π＜-43π＜53π-＜-2π，函数y=tanx ，x ∈(-23π，-2π)是增函数，
∴tan(-
43π)＜tan(53π-)，即tan(411π-)＜tan(5
13π-). 7.若α、β为锐角，且cot α＞tan β，试比较(α+β)与2
π的大小. 解：∵α、β∈(0，2π)，∴(2π-α)∈(0，2
π). 由cot α＞tan β，得tan(2
π-α)＞tan β. ∵y=tanx 在x ∈(0，2
π)上是增函数， ∴2π-α＞β，即α+β＜2
π. 8.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,2π)，若x 1、x 2∈(0,2π)且x 1≠x 2，试比较21［f(x 1)+f(x 2)］与f(2
21x x +)的大小. 解：f(x)=tanx,x ∈(0,2
π)的图象如图所示，则f(x 1)=AA 1，f(x 2)=BB 1，f(221x x +)=CC 1，C 1D 是直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以
21［f(x 1)+f(x 2)］=21(AA 1+BB 1)=DC 1＞CC 1=f(221x x +)，即2
1［f(x 1)+f(x 2)］＞f(221x x +).
9.有两个函数f(x)=asin(ωx+
3π)，g(x)=btan(ωx-3
π)(其中ω＞0).已知它们的周期之和为23π，且f(2π)=g(2π)，f(4π)=g 3-(4
π)+1，你能确定a 、b 、ω的值吗？ 解：∵f(x)的周期为ωπ2，g(x)的周期为ω
π， 由已知ωπ2+ωπ=23π，得ω=2.
∴函数式为f(x)=asin(2x+3π)，g(x)=btan(2x-3
π).由已知，得方程组 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-⨯-=+⨯-=+,1)342tan(3)342sin(),3tan()3sin(ππππππππb a b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=-.12
,323b a b a 解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==.21,1b a ∴a=1，b=
2
1，ω=2. 快乐时光
相反的例子
孙子问当美学教授的爷爷：“爷爷，为什么您说一切假的都是丑的？”
“那当然啰，难道你还能举出相反的例子吗？”
“能，”孙子爬到美学教授的膝头上，得意地说：“您瞧您自己一装上假牙后又年轻又精神，拿掉假牙，您嘴巴又空又瘪，那才丑呢，这不是相反的例子吗？”
教授一时语塞.。