湖南省衡阳市高三数学下学期第一次联考试题 理(扫描版

湖南省衡阳市2017届高三数学下学期第一次联考试题理（扫描版）
2017届高中毕业班联考（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-6:BCDADD 7-12:CABACB
二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13． 1m = 14．68 15．9
10
16．②④⑤
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有3
24
n n a S =+成立. （Ⅰ）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】 （Ⅰ）在324n n a S =
+中，令1n =得18a =. 因为对任意正整数n ，都有3
24
n n a S =+成立，所以113
24
n n a S ++=
+， ----------------2分
两式相减得113
4
n n n a a a ++-=
，所以14n n a a +=， ----------------4分
又10a ≠，所以{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+=⋅=，所以2!
2log 2
21n n b n +==+. ----------------6分
（Ⅱ）()()1
111212322123n c n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
，
----------------8分
所以()
111111
11112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ----------------10分
()
111111232323323n
n n n n ⎤⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎥++++⎭⎝⎭⎦
----------------12分
18．(本小题满分12分)
已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3
π
=
∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，
11=AA ，设E 为CD 的中点
（1）求证：⊥E D 1平面1BEC ；
（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值． 【解析】
（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且BCD ∆为等边三角形，CD BE ⊥ 所以⊥BE 平面11C CDD ，而⊂E D 1平面11C CDD ，故E D BE 1⊥
----------------2分
因为11ED C ∆的三边长分别为2,21111==
=D C E D E C ，故11ED C ∆为等腰直角三角形
所以E C E D 11⊥，结合BE E D ⊥1且E BE E C = 1可知：⊥E D 1平面1BEC
----------------4分
（2）解：取AB 中点G ，则由ABD ∆为等边三角形
知AB DG ⊥，从而DC DG ⊥
以1,,DD DG DC 为坐标轴，建立如图所示的坐标系
此时)0,0,1(),1,0,0(),0,3,1(),0,0,0(1E D A D -,)1,3,1(),1,3,1(11B A -，设)1,3,(λF
----------------6分
由上面的讨论知平面1BEC 的法向量为)1,0,1(1-=D
由于⊄AF 平面1BEC ，故//AF 平面1BEC 011=⋅⇔⊥⇔D D 故001)1()1,0,1()1,0,1(=⇒=-+=-⋅+λλλ，故)1,3,0(F
----------------8分
设平面ADF 的法向量为),,(z y x =，)1,3,0(),0,3,1(=-=
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00a DA 知⎩⎨⎧=+=+-0
303z y y x ，取3,1,3-===z y x ，故)3,1,3(-= ----------------10分
设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ
，则742
2
732cos =⋅=
=
θ 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为
742
----------------12分
19．(本小题满分12分)
根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度
不得超过75微克/立方米. 我市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E 和方差)(X D . 【解析】
（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．
----------------2分
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）
． ----------------4分
因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．
----------------6分
（3）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”， 则109)(=
A P .随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且)10
9
,2(~B ξ. ----------------8分
所以22
99()()(1)(0,1,2)1010
k k
k P k C k ξ-==-=， 所以变量ξ的分布列为
----------------10分
11881
012 1.8100100100
E ξ=⨯
+⨯+⨯=（天） (另解：92 1.810E nP ξ==⨯=（天）)
18.0=ξD
----------------12分
20．(本小题满分12分)
已知动圆P 与圆()2
21:381F x y ++=相切，且与圆()2
22:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点． （1）求曲线C 的方程； （2）试探究
2
|||
|OQ MN 的值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（3）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值． 【解析】
解：（1）设圆心P 的坐标为(),x y ，半径为R ，
由于动圆P 与圆()2
21:381F x y ++=相切，且与圆()2
22:31F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆
()2
21:381F x y ++=只能内切
∴1121229=861
PF R
PF PF F F PF R ⎧=-⎪⇒+>=⎨
=-⎪⎩ ∴圆心P 的轨迹为以12,F F 为焦点的椭圆，其中28,26a c ==， ∴2
2
2
4,3,7a c b a c ===-=
故圆心P 的轨迹22:1167
x y C +=．
----------------3分
（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，
由221167x my x y
=⎧⎪⎨+=⎪
⎩可得：222
22
112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2
232232112716112716m
x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， ∴()222
22332221121112112716716716
m m OQ x y m m m +=+=+=+++ ----------------5分
由223
1167
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得：()2271642490m y my ++-=，
∴121
224249
,716716
m y y y y m m +=-=-++， ∴
21MN y =
==-
()22
561716m m +===+． ----------------7分
∴()
()22
2
22561171621121716
m MN
m m OQ
m ++==++∴2||||OQ MN 的值为一个常数，这个常数为12． ----------------8分
（3）∵//MN OQ ，∴2QF M ∆的面积2OF M =∆的面积，∴12OMN S S S S ∆=+=， ∵O 到直线:3
MN x my =+的距离d =
，
∴(
)225611122716m S MN d m +==⨯=+ ----------------10分
t =，则()2
2
11m t t =-≥，
()2
2848484
97971167t t S t t t t
=
==+-++，
∵9767t t t t +≥=
（当且仅当97t t =
，即
t =
7
m =±时取等号）
∴当7
m =±
时，S 取最大值． ----------------12分
21．(本小题满分12分)
已知函数2
()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 的图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()
x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 的图象与x 轴交于点N ，且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. （Ⅰ）求(2)f 的值；
（Ⅱ）已知实数R t ∈，求函数],1[),)((e x t x xg f y ∈+=的最小值；
（Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：
21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式
12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.
【解析】
（I ）()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1
'(1)1
g x x -=
- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ∴2
(),f x x x =-，2
(2)222f =-=
----------------3分
（II ）2
[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=2
2
(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=
，抛物线开口向上 ①当1202t u -=
≤即1
2t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤
时，22
min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即121
22e t -<<时，
22min 122
12121|
()(21)224
t u t t y y t t t -=
--==+-+-=-
----------------6分
综上：当122
e t -≤
时，22
min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ； 当12122e t -<<min 14y =-；
当12
t ≥时，2
min 0|u y y t t ===- ----------------7分
（III ）
x x x g x g x F 1ln )()()(+='+=,01
1-1)(22≥-=='x
x x x x F 1x ≥得
所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0
----------------8分
①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，
得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，
∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.
----------------9分
②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，
由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符
----------------10分
③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，
得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.
----------------11分
∴综合①、②、③得(0,1)m ∈
----------------12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆C 与直线l 的极坐标方程
分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
（1） 求C 与l 交点的极坐标;
（2）设P 为C 的圆心，Q 为C 与l 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33(12
x t a t R
b y t ⎧=+⎪
∈⎨=+⎪⎩为参数) ，求,a b 的值. 【解析】
（1）圆C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=,直线l 的直角坐标方程为40x y +-=,联立得
()222440
x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，得12120242x x y y ==⎧⎧⎨⎨
==⎩⎩所以C 与l
交点的极坐标为4,,24ππ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ----------------5分
（2）由（1）可得,,P Q 的直角坐标为()()0,2,1,3,故PQ 的直角坐标方程为20x y -+=，由参数
方程可得122b ab y x =
-+，所以1,1222
b ab =-+=，解得1,2a b =-=. ----------------10分
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．
（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围． 【解析】
（1）0a =时，1,1,
()|1|||21,10,1,0.x f x x x x x x -<-⎧⎪
=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩
∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意； 当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得1
02
x -≤<； 当0x ≥时，()1f x =0>符合题意． 综上，()0f x ≥的解集为1[,)2
-+∞．
----------------5分
（2）设()|1|||u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图，
易知()y u x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．
----------------10分
y
x。