轴向运动层合薄壁圆柱壳内共振的数值分析

轴向运动层合薄壁圆柱壳内共振的数值分析
张宇飞;王延庆;闻邦椿
【摘要】以轴向运动复合材料薄壁圆柱壳为研究模型，考虑其弹性模量随振动频率变化（动态弹性模量），据Donnell非线性扁壳理论及经典层合壳理论获得模型非线性振动微分方程。

采用含四个广义模态坐标的位移展开式，利用Galerkin 方法对振动微分方程离散化；用变步长四阶Runge－Kutta法对非线性模态方程组进行数值积分，研究复合材料圆柱壳1：1：1：1的内共振现象；讨论圆柱壳轴向运动速度、阻尼系数及外激励幅值对系统1：1：1：1内共振响应作
用。

%Athincompositecircularcylindricalshellmovinginaxialdirectionwasinve stigated.Basedonthe Donnell's nonlinear shallow-shell theory,together with the classical laminated shell theory,a nonlinear vibration equation of the system was derived,in which the effects of dynamic Young's
modulus,damping and geometric large deformation were considered.The modal expansion with four generalized modal coordinates was adopted,and the vibration equation was discretized by using the Galerkin method.Applying variable step-size four-order Runge-Kutta method,the nonlinear modal equations of the system was solved,and the nonlinear frequency response curves,which show 1:1:1:1 internal resonance phenomenon in the system were obtained.The effects of moving speed,damping coefficients and amplitudes of external force on the nonlinear vibration response of the shell were also analysed.
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2015(000)022
【总页数】5页(P82-86)
【关键词】复合材料圆柱壳;动态弹性模量;内共振;轴向运动;响应
【作者】张宇飞;王延庆;闻邦椿
【作者单位】沈阳航空航天大学航空航天工程学部，沈阳 110136; 东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819;东北大学应用力学研究所，沈阳 110819;东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819
【正文语种】中文
【中图分类】O322
Internal resonance of axially moving laminated thin cylindrical shells
Key words:composite circular cylindrical shell; dynamic Young’s modulus; internal resonance; axially moving; response
圆柱壳结构广泛用于土木、航空航天、海洋及机械、核工业、化学、汽车等工程领域。

因此已有诸多针对其结构振动特性的研究
[1-4]。

较传统的金属材料，复合材料具有比强度高、比模量大、化学及环境适应性好等优点。

因此，复合材料圆柱壳的振动分析颇受关注。

Hua等
[5]利用广义微分求积法分析不同边界条件下各向同性旋转复合材料薄壁圆柱壳的固有频率。

李健等
[6]通过对复合材料圆柱壳的固有特性实验研究表明，复合材料圆柱壳的弹
性模量随壳体振动频率变化。

王延庆等
[7]基于多元L-P法分析复合材料圆柱壳的内共振。

Wang等
[8]在Donnell非线性扁壳理论基础上提出研究圆柱壳振动问题的新理论
模型。

此外，轴向运动体系亦广泛用于工业领域，如轴向运动的缆绳、动力传输带、缆车弦索等。

Wickert
[9]采用KBM渐进法研究轴向运动弹性梁的非线性振动。

Riedel等
[10]利用Hamilton原理推导轴向运动梁的振动微分方程，研究系统3:1
内共振。

冯志华等
[11]研究内共振条件下直线运动梁的动力稳定性。

Chen等
[12]用Galerkin离散法及平均法研究轴向加速黏弹性梁横向振动的稳定性。

张伟等
[13]建立具有线性外阻尼的黏弹性传动带平面运动非线性动力学方程，利
用多尺度法、离散法获得黏弹性传动参数激励下传动带在内共振时的周期解分岔及混沌动力学。

陈树辉等
[14]用多元L-P法分析轴向运动梁内共振。

Ding等
[15]分析轴向运动黏弹性梁的稳态周期响应。

Yang等
[16]研究轴向加速黏弹性梁横向振动的分岔与混沌。

由于圆柱壳具有轴对称结构，且周向波数n相同时驱动模态与伴随模态固有频率
亦相同，因而在非线性振动中两模态间会发生1:1内共振。

而圆柱壳具有高模态密度特性，不同轴向半波数模态间也会产生较复杂的内共振。

本文针对轴向运动复合材料圆柱壳，考虑其弹性模量随振动频率变化(动态弹性模量)，据Donnell非线性
扁壳理论及经典层合壳理论，获得模型的非线性振动微分方程；采用含四个广义模态变量的位移展开式，用变步长四阶Runge-Kutta法对系统非线性振动响应进行数值分析，研究复合材料圆柱壳1∶1∶1∶1内共振现象，并讨论圆柱壳轴向运动速度、阻尼系数及外激励幅值对其非线性振动响应影响。

考虑两端简支轴向运动复合材料薄壁圆柱壳模型见图1，过
x轴作一纵向截面，得圆柱壳截面分层见图2。

其中E18#为各向同性玻璃纤维布，USN1000为各向同性碳素布，中间粘层为环氧树脂。

横向振动中考虑圆柱壳轴向速度，则复合材料薄壁圆柱壳动平衡方程为
式中：
F(
t)为外激振力，表达式为
式中：
x
0=0.525 m，
θ
0=π/24为外激振力作用位置。

考虑复合材料的弹性模量随振动频率变化，两者关系为
各向同性层合壳第
k层物理方程
[17]为
K
x，
K
θ为中面弯曲挠曲率；
K
xθ为中面扭曲率；Q
ij为折减刚度矩阵，其中各元素表达式为
据Donnell非线性扁壳理论，中面应变与曲率表达式为
式中：
E
k(
ω)为第
k层弹性模量；
μ
k为第
k层泊松比。

层合壳内力表达式为
据式(1)～式(7)，得轴向运动复合材料薄壁圆柱壳非线性振动微分方程为式中：Function(
w)为关于
w的函数表达式，因其形式较复杂，限于篇幅，此处略去。

由文献[2]知，轴向模态
m对圆柱壳非线性振动特性影响较大,考虑Donnell理论对
n≥5较精确，因此选择模态组合(
m=1,2；
n=6)分析圆柱壳的非线性动力学行为。

所用含四个模态变量的位移形式为
振型函数为
定义加权函数为
利用Galerkin法对方程(8)离散化，由式(12)获得关于
A
1,6(
t),
B
1,6(
t),
A
2,6(
t),
B
2,6(
t)的二阶非线性常微分方程组，即
式中：
S
i，
H
i(
i=1～15)为积分系数。

圆柱壳几何及材料参数为：长度
L=0.7 m，中面半径
R=91.04 mm，玻璃纤维布密度ρ
1=
ρ
2=
ρ
3=1 951 kg/m
3, 泊松比
μ
1=
μ
2=
μ
3=0.3；碳素布密度
ρ
4=353.6kg/m
3,泊松比
μ
4=0.3。

各层坐标
z
0=-0.435 mm，
z
1=-0.15 mm，
z
2=0.135 mm，
z
3=0.285 mm，
z
4=0.435 mm。

所选模态频率分别为
ω
1,6=259.5×2π rad/s，
ω
2,6=264.9×2π rad/s，两固有频率非常接近，由于伴随模态 B
1,6(
t)及
B
2,6(
t)分别与驱动模态
A
1,6(
t)与
A
2,6(
t)的固有频率相同，因此系统可能存在1∶1∶1∶1内共振。

为便于分析，引入无量纲外激振力。

采用变步长四阶Runge-Kutta法对式(13)数值积分，在零初始条件
下，给定f
1=0.008 7,c=20 Ns/m
3,
V=2 m/s，获得系统4个模态稳态振动幅频特性曲线，见图3。

由图3看出，系统呈典型内共振特性。

在模态(1,6)频率附近，内共振激起稳定的四模态响应，幅频特性曲线呈多条解分支。

随激振频率增加各阶模态均出现分支1，且相互对应，各模态振幅均随频率增加而增大。

频率增加到
ω
1,6=274×2π rad/s时出现分支2。

对模态(1,6)，分支2明显小于分支1幅值；
而对模态(2,6)，分支2则大于分支1幅值。

模态(1,6)幅值随频率增加而增大，模
态(2,6)幅值则随频率增加先减小后增大。

频率增加到
ω
1,6=284×2π rad/s时分支2消失，出现分支3。

随频率增加各阶模态幅值均减小，系统开始远离共振。

此外，(2,6)产生的跳跃位置与(1,6)完全相同。

表明在(1,6)频
率附近，能量在不同模态间传递，系统产生1∶1∶1∶1内共振。

f
1=0.008 7,
c=20 Ns/m
3时系统内共振频率-响应在不同轴向运动速度下的变化规律见图4。

由图
4看出，在不同速度下四阶模态均被激励，说明内共振均能发生，且速度增加时四阶模态振幅均增大，即速度增加对四阶模态均为软效应。

速度较大时范围较窄的一段分支消失，各阶模态解的分支均减少为2个。

f
1=0.008 7,
V=2 m/s时不同阻尼系数驱动模态的幅频特性曲线见图5。

由图5看出，阻尼系数增大， (1,6) 驱动模态的振动响应逐渐减小，且共振区间亦逐步缩小。

与此相反，(2,6) 驱动模态振动响应则逐渐增加，说明阻尼系数对两阶驱动模态有不
同的定量影响。

c=20 Ns/m
3,
V=2 m/s时不同激振力幅值下系统驱动模态的幅频特性曲线见图6。

由图6看出，激振力幅值增大(1,6)的驱动模态非线性振动响应增大，且硬弹簧特性增强，内共振区间扩大，两模态间耦合作用逐渐强烈；(2,6)的驱动模态非线性振动响应
宏观呈增大趋势，激振力幅值取较小数值
f
1=0.001 31时，有个分支的幅值增长较快，甚至超过较大激振力时的幅值，但共振区间已变小，两模态间耦合已不像激振力幅值较大时显著。

考虑复合材料圆柱壳的弹性模量随振动频率变化(动态弹性模量)，据
Donnell非线性扁壳理论及经典层合壳理论推导该圆柱壳轴向运动非线性振动方程，并用数值方法分析该系统非线性振动响应，结论如下：
(1)在(1,6)频率附近，模态
A
1,6(
t)，
B
1,6(
t)，
A
2,6(
t)，
B
2,6(
t)均被激发，且响应均不为零，幅频特性曲线呈多条解分支，驱动模态 A
1,6(
t)与
A
2,6(
t)分别与伴随模态
B
1,6(
t)及
B
2,6(
t)产生跳跃位置相同,可判断系统产生1∶1∶1∶1内共振。

(2)对于本文复合材料圆柱壳，内共振在不同轴向速度下均会发生。

且当速度增加
时四阶模态振幅均增大，说明均为软效应。

速度较大时范围较窄的一段分支消失，各阶模态解的分支均减少为2个。

(3)阻尼系数增大使(1,6)驱动模态振动响应逐渐减小，且共振区间缩小。

而(2,6)的
驱动模态振动响应则逐渐增加，说明阻尼系数对两阶驱动模态定量影响不同。

(4)激振力幅值增大使(1,6)、(2,6)的驱动模态非线性振动响应总体增大，且硬弹簧
特性增强，内共振区间扩大，两模态间耦合作用逐渐强烈；激振力幅值取较小值时，有个分支幅值超过较大激振力时幅值，共振区间变小，两模态间耦合已不显著。

[1]Amabili M, Pellicano F, Païdoussis M P. Nonlinear vibrations of simply su pported, circular cylindrical shells, coupled to quiescent fluid[J]. Journal of Fluids and Structures, 1998, 12(7): 883-918.
[2]Wang Y Q, Guo X H, Li Y G, et al. Nonlinear traveling wave vibration of a circular cylindrical shell subjected to a moving concentrated harmonic forc
e[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(3): 338-352.
[3]Liu Y Q, Chu F L. Nonlinear vibrations of rotating thin circular cylindrical
shell[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67: 1467-1479.
[4]Sun S P, Chu S M, Cao D Q. Vibration characteristics of thin rotating cyli ndrical shells with various boundary conditions[J]. Journal of Sound and Vi bration, 2012, 331: 4170-4186.
[5]Hua L, Lam K Y. Frequency characteristics of a thin rotating cylindrical sh ell using the generalized differential quadrature method[J]. International Jo urnal of Mechanical Sciences, 1998, 40: 443-459.
[6]李健,郭星辉,郭明涛,等. 复合材料薄壁圆柱壳动态弹性模量的研究[J]. 东北大学学报:自然科学版，2008，29(12): 1770-1773.
LI Jian, GUO Xing-hui, GUO Ming-
tao,et al. Analysis of dynamic elastic modulus of thin-
wall cylindrical shells made from composites[J]. Journal of Northeastern Un iversity:Natural Science, 2008, 29(12):1770-1773.
[7]王延庆,梁力,郭星辉,等. 基于多元 L-P 法的复合材料圆柱壳内共振分析[J]. 工程力学,2012,29: 29-34.
WANG Yan-qing，LIANG Li，GUO Xing-
hui, et al. Analysis of internal resonance of composite circular cylindrical sh ells based on the multidimensional L-
P method[J]. Engineering Mechanics, 2012, 29: 29-34.
[8]Wang Y Q, Liang L, Guo X H. Internal resonance of axially moving lamina ted circular cylindrical shells[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332: 6434-6450.
[9]Wickert J A. Non-
linear vibration of a traveling tensioned beam[J]. International Journal of N
on-Linear Mechanics, 1992, 27(3): 503-517.
[10]Riedel C H, Tan C A. Coupled, forced response of an axially moving stri p with internal resonance[J]. International Journal of Non-
Linear Mechanics, 2002, 37: 101-116.
[11]冯志华,胡海岩. 内共振条件下直线运动梁的动力稳定性[J]. 力学学
报,2002,34(3): 389-400.
FENG Zhi-hua, HU Hai-
yan. Dynamic stability of a slender beam with internal resonance under a la rge linear motion[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics , 2002, 34 (3): 389-400.
[12]Chen L Q, Yang X D, Cheng C J. Dynamic stability of an axially accelerat ing viscoelastic beam[J]. European Journal of Mechanics A/ Solids, 2004, 23 : 659-666.
[13]张伟,温洪波,姚明辉. 黏弹性传动带1∶3内共振时的周期和混沌运动[J]. 力学学报,2004,36 (4): 443-454.
ZHANG Wei, WEN Hong-bo, YAO Ming-
hui. Periodic and chaotic oscillation of a parametrically excited viscoelastic moving belt with 1∶3 internal resonance[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2004, 36 (4): 443-454.
[14]陈树辉,黄建亮. 轴向运动梁非线性振动内共振研究[J]. 力学学
报,2005, 37(1): 57-63.
CHEN Shu-hui, HUANG Jian-
liang. On internal resonance of nonlinear vibration of axially moving beams [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2005,37(1):57-63.
[15]Ding H, Chen L Q. Approximate and numerical analysis of nonlinear for ced vibration of axially moving viscoelastic beams[J]. Acta Mechanica Sinic a, 2011, 27(3): 426-437.
[16]Yang X D, Chen L Q. Bifurcation and chaos of an axially accelerating vis coelastic beam[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 23: 249-258.
[17]沈观林,胡更开. 复合材料力学[M]. 北京:清华大学出版社,2007.。