空间直线及其方程(1)
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§7.6 空间直线及其方程
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
2009.2.6
北京工商大学
7-6-1
空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 定义 空间直线可看成两平面的交线 z. A1 x B1 y C1 z D1 0 1 L (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 2
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例 直线 L1 :
直线 L2 :
s1 (1,4, 0), s2 (0,0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
2009.2.6
北京工商大学
7-6-19
s
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.
解 向量 M1 M 2 与直线平行 取 s M1 M 2 (1,4,2)
所求直线方程为
x 1 y 2 z 3 4 1 2
· M
· M
1
2
2009.2.6
北京工商大学
7-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点A(2,3,4), 且和 y轴垂直相交,
所求直线的方程
x3 y2 z5 . 4 3 1
2009.2.6 北京工商大学 7-6-23
空间直线及其方程
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为该直线与平面的夹角. 0 2 x x0 y y0 z z0 L: , s ( m , n, p ), m n p : Ax By Cz D 0, n ( A, B , C ), ^ ^ ( s , n) ( s , n) 2
2 x y z 6 的交点.
x 2 y 3 z 4 解令 t 1 1 2 x 2 t y 3 t 代入平面方程, 得 z 4 2t
得 x 1, y 2, z 2.
2009.2.6 北京工商大学
2(2 t ) (3 t ) (4 2t ) 6 0 t 1 再代入
空间直线及其方程
注意
y1 z 3 x 5 7 两个对称式方程 怎么不一样 3 8 x y 7 7z 1 5 7
答 实际上直线的对称式方程不唯一. (当定点取得不同时对称式方程不同).
2009.2.6
北京工商大学
7-6-14
空间直线及其方程
x2 y3 z4 例 求直线 与平面 1 1 2
M0
O
方向向量. 设一直线过 M 0 ( x0 , y0 , z0 )， 其方向向量为的 s ( m , n, p ), 求此直线方程。
y
x
一条直线可以有许多方向向量.
2009.2.6
北京工商大学
7-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x , y, z ) L 因为 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) 且 M 0 M // s
7-6-15
空间直线及其方程
x 1 y 1 z 例 求过点M ( 2,1,3)且与直线 3 2 1 垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3 ( x 2) 2( y 1) 1( z 3) 0
.M
N
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1 x 1 y 1 z t y 2t 1 令 3 2 1 z t
由点法式方程即可得.
2009.2.6
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7-6-20
空间直线及其方程
x t 2 2.过 点(1,2,1)且 与 直 线 y 3t 4 垂 直 的 z t 1 平面方程是 ( x 3 y z 4 0 ). 提示 n ( 1,3,1)
因所求直线与两平面的法向量都垂直. 取 s n1 n2 ( 3,2,1) ( 2,1,1) (1,5,7 ) 3 8 x y z s 7 7 对称式方程 2 1 5 7
L
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7 7
s
1
n2
n1
空间直线及其方程
x 1 x 1 y 2 z 1 例 1.与直线 y 1 t 及 1 2 1 z 2 t
都平行且过原点的平面方程为( x y z 0 ). 提示 平面过原点
法向量 n (0,1,1) (1,2,1) (1,1,1)
x x 0 y y0 z z 0 (2) m n p
直线的对称式方程 (点向式、标准式） s 的三个坐标m、n、p称为 直线 L的 方向数. 而方向
向量的余弦称为该直线的方向余弦。
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7-6-4
空间直线及其方程
注意
y y0 z z 0 p 直线的方程可表示为 n x x 0 0
求其方程 .
z
解 交点为 B(0,3, 0),
取 s BA
( 2, 0, 4),
.A
s
.B
x
O
y
所求直线方程
x2 y3 z4 . 2 4 0
2009.2.6
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7-6-9
空间直线及其方程
各类直线方程的互换 可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注 可将对称式方程拆为一般方程
直线 L1 :
直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 m2 n2 p2
m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 2
（锐角）
cos( L^ ,L )
1 2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行 例 求过点( 3,2,5)且与两平面x 4 z 3和
2 x y 5 z 1 的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s ( m , n, p ),
s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 ( 4,3,1),
2009.2.6 北京工商大学 7-6-12
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 将 化为对称式方程. 2 x y z 2 0
法二 先求直线上一定点:以z 0代入,
3 8 z 1 0 3 x 2 y 0 x ,y 7 7 z20 2x y 0 3 8 于是得直线上的一定点 , ,0 ,
求直线与平面的交点时常用此。
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7-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 设一直线过两点 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )， 则此直线的方程为: x x1 y y1 z z1 直线的两点式方程
x2 x1y2 Fra bibliotek1z2 z1
(4)
由直线的对称式得
x x 0 y y0 z z 0 m n p
M1 M 2 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
直线方程的几种形式可以互相转换.
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空间直线及其方程
过两点作直线
x x 0 y y0 z z 0 m n p
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空间直线及其方程
直线过点M ( 2,1,3) x 3t 1 将 y 2t 1 代入 3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0 z t
2 13 3 得交点 N ( , , ) 7 7 7 取所求直线的方向向量为 MN
x 1 y 2 z 3 L1 : 3. 过 直 线 且平行于 1 0 1 x 2 y 1 z 直 线L2 : 的平面方程为 ( ). 2 1 1 x 3y z 2 0 提示 n s1 s2 (1,0,1) ( 2,1,1) (1,3,1)
点(1,2,3)
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空间直线及其方程
x 1 y 5 z 8 4. 两 直 线 L1 : 与 1 2 1 x y 6 与L2 : 的夹角为 ( C ). 2 y z 3
A. B. 6 4 提示 s1 (1,2,1)
x 1 y 1 z 1 如对称式方程为 0 1 1
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x 1 0 可写成一般方程 y 1 z 1 (即y z 0) z x 1 y 1 z 1
又如
0
0
1
O
x 1 可写成一般方程 y1
C. 3
D. 2
s2 (1,1,0) (0,2,1) ( 1,1,2)
两直线的夹角公式: | m1m2 n1n2 p1 p2 | ^ cos( L1 , L2 ) 2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
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x 2 y 1 z 5 直线方程为 2 1 4
3 t 7
.M
N
2 13 3 12 6 24 MN ( 2, 1, 3) ( , , ) 7 7 7 7 7 7
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7-6-17
空间直线及其方程
二、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.
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1 x
1 y
7-6-10
空间直线及其方程
直线的一般方程如何化为对称式方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
(重要)
即写出对称式方程.
2009.2.6
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7-6-11
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 化为对称式方程. 例 将 2x y z 2 0 (1) 3 x 2 y z 1 0 解 法一 (2) 2 x y z 2 0 (1) ( 2)可消去z . 5 x y 1 0 (1) 2( 2) 可消去y. 7 x z 3 0 两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出 共同的变量 x. 写成比例式, 即得对称式方程. y1 z 3 x 5 7 此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
1
2
L
y
空间直线的一般式方程
注
x
O
(1) A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例;
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
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7-6-2
空间直线及其方程
2.对称式——点向式方程 定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 称此向量为该直线的
z
s L s M
两直线的夹角公式
2
2
2009.2.6
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7-6-18
空间直线及其方程
两直线的位置关系 (两直线垂直、平行的条件) L1 : s1 ( m1 , n1 , p1 ), L2 : s2 ( m2 , n2 , p2 )
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
直线的方向数m,n,p 可以等于0,当m=0时,
y y0 0 当m=n=0 时,直线的方程可表示为 x x 0 0
2009.2.6
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7-6-5
空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
x x 0 y y0 z z 0 设 t m n p x x0 m t (3) 故 y y0 n t t为参数 z z p t 0 直线的参数式方程 s ( m , n, p )
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
2009.2.6
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7-6-1
空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 定义 空间直线可看成两平面的交线 z. A1 x B1 y C1 z D1 0 1 L (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 2
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例 直线 L1 :
直线 L2 :
s1 (1,4, 0), s2 (0,0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
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s
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.
解 向量 M1 M 2 与直线平行 取 s M1 M 2 (1,4,2)
所求直线方程为
x 1 y 2 z 3 4 1 2
· M
· M
1
2
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空间直线及其方程
例 一直线过点A(2,3,4), 且和 y轴垂直相交,
所求直线的方程
x3 y2 z5 . 4 3 1
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空间直线及其方程
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为该直线与平面的夹角. 0 2 x x0 y y0 z z0 L: , s ( m , n, p ), m n p : Ax By Cz D 0, n ( A, B , C ), ^ ^ ( s , n) ( s , n) 2
2 x y z 6 的交点.
x 2 y 3 z 4 解令 t 1 1 2 x 2 t y 3 t 代入平面方程, 得 z 4 2t
得 x 1, y 2, z 2.
2009.2.6 北京工商大学
2(2 t ) (3 t ) (4 2t ) 6 0 t 1 再代入
空间直线及其方程
注意
y1 z 3 x 5 7 两个对称式方程 怎么不一样 3 8 x y 7 7z 1 5 7
答 实际上直线的对称式方程不唯一. (当定点取得不同时对称式方程不同).
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空间直线及其方程
x2 y3 z4 例 求直线 与平面 1 1 2
M0
O
方向向量. 设一直线过 M 0 ( x0 , y0 , z0 )， 其方向向量为的 s ( m , n, p ), 求此直线方程。
y
x
一条直线可以有许多方向向量.
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空间直线及其方程
解 M ( x , y, z ) L 因为 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) 且 M 0 M // s
7-6-15
空间直线及其方程
x 1 y 1 z 例 求过点M ( 2,1,3)且与直线 3 2 1 垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3 ( x 2) 2( y 1) 1( z 3) 0
.M
N
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1 x 1 y 1 z t y 2t 1 令 3 2 1 z t
由点法式方程即可得.
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空间直线及其方程
x t 2 2.过 点(1,2,1)且 与 直 线 y 3t 4 垂 直 的 z t 1 平面方程是 ( x 3 y z 4 0 ). 提示 n ( 1,3,1)
因所求直线与两平面的法向量都垂直. 取 s n1 n2 ( 3,2,1) ( 2,1,1) (1,5,7 ) 3 8 x y z s 7 7 对称式方程 2 1 5 7
L
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7 7
s
1
n2
n1
空间直线及其方程
x 1 x 1 y 2 z 1 例 1.与直线 y 1 t 及 1 2 1 z 2 t
都平行且过原点的平面方程为( x y z 0 ). 提示 平面过原点
法向量 n (0,1,1) (1,2,1) (1,1,1)
x x 0 y y0 z z 0 (2) m n p
直线的对称式方程 (点向式、标准式） s 的三个坐标m、n、p称为 直线 L的 方向数. 而方向
向量的余弦称为该直线的方向余弦。
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空间直线及其方程
注意
y y0 z z 0 p 直线的方程可表示为 n x x 0 0
求其方程 .
z
解 交点为 B(0,3, 0),
取 s BA
( 2, 0, 4),
.A
s
.B
x
O
y
所求直线方程
x2 y3 z4 . 2 4 0
2009.2.6
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7-6-9
空间直线及其方程
各类直线方程的互换 可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注 可将对称式方程拆为一般方程
直线 L1 :
直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 m2 n2 p2
m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 2
（锐角）
cos( L^ ,L )
1 2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行 例 求过点( 3,2,5)且与两平面x 4 z 3和
2 x y 5 z 1 的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s ( m , n, p ),
s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 ( 4,3,1),
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空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 将 化为对称式方程. 2 x y z 2 0
法二 先求直线上一定点:以z 0代入,
3 8 z 1 0 3 x 2 y 0 x ,y 7 7 z20 2x y 0 3 8 于是得直线上的一定点 , ,0 ,
求直线与平面的交点时常用此。
2009.2.6
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空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 设一直线过两点 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )， 则此直线的方程为: x x1 y y1 z z1 直线的两点式方程
x2 x1y2 Fra bibliotek1z2 z1
(4)
由直线的对称式得
x x 0 y y0 z z 0 m n p
M1 M 2 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
直线方程的几种形式可以互相转换.
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空间直线及其方程
过两点作直线
x x 0 y y0 z z 0 m n p
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空间直线及其方程
直线过点M ( 2,1,3) x 3t 1 将 y 2t 1 代入 3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0 z t
2 13 3 得交点 N ( , , ) 7 7 7 取所求直线的方向向量为 MN
x 1 y 2 z 3 L1 : 3. 过 直 线 且平行于 1 0 1 x 2 y 1 z 直 线L2 : 的平面方程为 ( ). 2 1 1 x 3y z 2 0 提示 n s1 s2 (1,0,1) ( 2,1,1) (1,3,1)
点(1,2,3)
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空间直线及其方程
x 1 y 5 z 8 4. 两 直 线 L1 : 与 1 2 1 x y 6 与L2 : 的夹角为 ( C ). 2 y z 3
A. B. 6 4 提示 s1 (1,2,1)
x 1 y 1 z 1 如对称式方程为 0 1 1
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x 1 0 可写成一般方程 y 1 z 1 (即y z 0) z x 1 y 1 z 1
又如
0
0
1
O
x 1 可写成一般方程 y1
C. 3
D. 2
s2 (1,1,0) (0,2,1) ( 1,1,2)
两直线的夹角公式: | m1m2 n1n2 p1 p2 | ^ cos( L1 , L2 ) 2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
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x 2 y 1 z 5 直线方程为 2 1 4
3 t 7
.M
N
2 13 3 12 6 24 MN ( 2, 1, 3) ( , , ) 7 7 7 7 7 7
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空间直线及其方程
二、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.
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1 x
1 y
7-6-10
空间直线及其方程
直线的一般方程如何化为对称式方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
(重要)
即写出对称式方程.
2009.2.6
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空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 化为对称式方程. 例 将 2x y z 2 0 (1) 3 x 2 y z 1 0 解 法一 (2) 2 x y z 2 0 (1) ( 2)可消去z . 5 x y 1 0 (1) 2( 2) 可消去y. 7 x z 3 0 两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出 共同的变量 x. 写成比例式, 即得对称式方程. y1 z 3 x 5 7 此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
1
2
L
y
空间直线的一般式方程
注
x
O
(1) A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例;
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
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空间直线及其方程
2.对称式——点向式方程 定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 称此向量为该直线的
z
s L s M
两直线的夹角公式
2
2
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空间直线及其方程
两直线的位置关系 (两直线垂直、平行的条件) L1 : s1 ( m1 , n1 , p1 ), L2 : s2 ( m2 , n2 , p2 )
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
直线的方向数m,n,p 可以等于0,当m=0时,
y y0 0 当m=n=0 时,直线的方程可表示为 x x 0 0
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空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
x x 0 y y0 z z 0 设 t m n p x x0 m t (3) 故 y y0 n t t为参数 z z p t 0 直线的参数式方程 s ( m , n, p )