21-22版：1.4.1 充分条件与必要条件（步步高）

解 p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}.
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为q⇒p，所以B⊆A，
3a>3，
所以a<－2， a>0
⇒a∈∅.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数 的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间 的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
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3.使x>3成立的一个充分条件是
√A.x>4
B.x>0
C.x>2
D.x<2
解析 只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.
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4.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是_a_≤__1_. 解析 因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
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课时对点练
基础巩固
1.下列命题中，p是q的充分条件的是
提示 (1)若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形. (3)若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. (4)若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等. (5)若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等. (6)若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分. 由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给 出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.
例1 (1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； 解 在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB， 所以p是q的充分条件.
②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
解 由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件.
解析 若A⊆B，则有m∈B且m≠3， 所以m＝1或m＝5， 故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1， 故m＝1是A⊆B的充分条件.
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4.下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是
√A.若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB
问题2 观察下面几个命题，你能把它们变成“若p，则q”的形式吗？ 你能得到什么？ (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)平行四边形的两组对边分别相等； (5)平行四边形的一组对边平行且相等； (6)平行四边形的两条对角线互相平分.
√A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： a> b
解析 根据充分条件的概念逐一判断. 只有ab≠0⇒a≠0.
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2.使x>1成立的一个必要条件是
第一章 §1.4 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
导语
不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试没有考好，父母就 着急了，说：“初中不好好学习就考不上高中，考不上高中就考不上大 学，考不上大学就找不到工作，找不到工作就找不到对象......那么，你这 一辈子就完了！”大家同意这么糟糕的说法吗？静下心来想想，一次没 有考好，跟后面这些事情有关系吗？把几乎没有关系的两件事情理解成 了充分条件，让你们的父母徒增烦恼，当然你们也有了不小的压力，所 以，大家要好好学习这节课，这样你就能解决你父母的烦恼了！
内容索引
一、充分条件与必要条件 二、充分条件与必要条件的应用
随堂演练
课时对点练
一、充分条件与必要条件
问题1 如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因 为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 提示 “绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是 电锯锯断，也许是直接掰断，也许是因为“绳锯”；同样“水滴”可以 导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种 方式.正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”.
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10.已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立 的实数b的取值范围.
解 由于p：－1<x<3， 又由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a， 依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以11－＋aa≤≥－3，1， 解得 a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}.
5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是 A.p：a是无理数，q：a2是无理数
√B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 √C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a>b，q：ac2>bc2
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解析 A中，a＝ 2 是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件； C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件； D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件.
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(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解 ∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0⇏(x－1)2＋(y－2)2＝0， ∴p是q的充分条件.
课堂小结
1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. (3)充分条件、必要条件的判断. (4)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.
随堂演练
1.若p是q的充分条件，则q是p的 A.充分条件
③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
解 方法一 由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二 设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件.
(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解 因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
√B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 解析 因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件.
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2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的 A.充分条件
√B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方 形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
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6.(多选)使ab>0成立的充分条件是
√A.a>0，b>0 √C.a<0，b<0
B.a＋b>0
√D.a>1，b>1
解析 因为a>0，b>0⇒ab>0； a<0，b<0⇒ab>0； a>1，b>1⇒ab>0， 所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
②p：A⊆B，q：A∩B＝A；
解 因为p⇒q， 所以q是p的必要条件.
③p：a>b，q：ac>bc.
解 因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件.
反思感悟 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过 来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件， 若q⇒p为真，则p是q的必要条件. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”. 若A⊇B，则甲是乙的必要条件.
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知识梳理
充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出
p⇒q
p⇏q
关系
条件
p是q的充分条件
p不是q的充分条件
关系
q是p的必要条件
Hale Waihona Puke q不是p的必要条件定理
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； (2)p是q的充分条件或q是p的必要条件； (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”.
跟踪训练2 已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是 “x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是_－__1_≤__a_≤__5_.
解析 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P， 所以aa－ ＋44≤ ≥13， ， 即aa≤ ≥5－，1， 所以－1≤a≤5.
√A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
解析 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出.
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3.已知集合A＝{3，m}，B＝{1,3,5}，则m＝1是A⊆B的
√A.充分条件
B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件
9.指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝ 2x＋1；
解 ∵x2＝2x＋1⇏x＝ 2x＋1，x＝ 2x＋1⇒x2＝2x＋1， ∴p是q的必要条件. (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； 解 ∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0， ∴p是q的充分条件.
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8.条件p：2－x>0，条件q：x<a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是 _{_a_|a_≥__2_}_. 解析 p：x<2，若p是q的充分条件， 则p⇒q， 即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2.
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解 p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}. q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B，
3a≥－2， 所以a≤3，
a<0
⇒－23≤a<0，
所以 a 的取值范围是－23≤a<0.
延伸探究 将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q 的必要条件，求实数a的取值范围.
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7.下列说法不正确的是__②___.(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件.
解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0， 则②不正确； ①③正确.
B.若x是无理数，则x2也是无理数 C.若x>y，则x2>y2 D.若x2>y2，则x>y
解析 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A正确； 若x＝ 2 ，则x2＝2，故B不成立； 若x＝－1，y＝－2，故C结论不成立； 若x＝－2，y＝1，故D结论不成立，故选A.
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跟踪训练1 分析下列各项中p与q的关系. (1)p：α为锐角，q：α＝45°. 解 由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
解 由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.
二、充分条件与必要条件的应用
例2 已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p 是q的充分条件，求实数a的取值范围.