2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业

2
2
2
OO
1
OB OA
2OO ·OB2OB ·OA2OA ·OO 1
1
=
A 1
B | |=
7,又
2
2
阐述向量在中学数学中的使用
AO ·ABOO ·OBOO ·OAOO 1 OA ·OBOA OA ·OO 1 1 1 1 1 1.向量巧解空间多少何中的咨询题
22cos602
3cos904
32cos903
32cos901
1.1向量巧解角的咨询题
AO ·AB 1
7
1 1 cos
cosAO,AB
11
1.1.1求异面直线a 与b 所成角θ
AO ·AB
11
设异面直线A
因而θ=arccos 所成角为θ，那么
，
1 B 与
AO 1 求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解， 得在以往传统多少何法的根底上又多了以向量为东西的向量解法。

应控制如下公式： 向量法在课本中的引入，使 1
ABCD 所成的角记为<ABCD >，假定 AB
1 1 1
CD =(x 2,y 2,z 2),那么
〕,
7
.
向量 跟 ,
=〔x ,y ,z AB ·CD
x 1·x 2y ·y 2z 1·z 2
1 1.1.2求线面所成角θ
AB ·CD
2
2 2 2
2 2 用向量求线面所成角的公式如下：
x
1
y
1
z 1·x
2
y
2
z
2
CD AB ， cos< >=
=
=a ，
n
如图2，假定为平面
的一条法向量，直 线AB 与平面 所成角为 ，
a
因而直线AB 跟CD 所成的角为arccos. AB ·n
x 1·xy ·yz ·z 2=0。

ABCD =0
·
特不的，AB
CD
2 1 2 1
AB ·n
那么sin=
.
例1：如图1,三棱柱AOB-A 中，平面OBB ⊥平面AOB,∠0
1
OB
1 0 1 B 1 1 O 1 (1)
3,求：异面直线
＝60°，∠AOB=90°且OB=OO 所成角的巨细；(2)略。

1
1
AB 与AO 1
=2，OA=
图3.1.1
图3.1.2.1
D 1中，
E 是C 1C 的中点，〔1〕求BE 与平面B
剖析1：由前提可得OA ⊥0B ，OA ⊥0 0的三条线段OA 、0B 、00
1
的长度
1 0，再联合题干可知共点于
例2：如图3，正方体ABCD-A
1
B 1
C 1 1 B
D 所成角的余弦
OAOB ,OO 1
,
曾经明白,且两两夹角曾经明白，故可选择以｛
值；〔2〕求二面角B-B 1E-D 的余弦值。

}为基底来处置异面直线 AB 与A0所成角的巨细，
解：如图，以D 为坐标原点树破空间直角坐标系
D-xyz ，那么设正方体的棱长为2，那么〔1〕因为B 〔2,2,0〕，
ABAO 1都表现成基向量
要害是把所求异面直线上的两个偏向向量 1 、 的方式。

BB 1 B
1
(2,2,2),E 〔0,2,1〕,因而BD =〔-2，-2，0〕， =(0,0,2), BE =〔-2，0，1〕，设平面B 1BD 的一个法
解:∵平面OBB 1
1 ⊥平面A0B ，0A 平面A0B ，平面OBB ∩平面A0B ＝OB ，且OA ⊥0B ，
11
O
O
n n
n BB 1
得
向量是 =〔 x,y,z 〕,那么由 BD , ∴OA ⊥平面OBB
∴OA ⊥00
，即∠AOB ＝90°，∠AOO ＝90°，因而,选择一组基向量
1
1 O 1 1 2x2y0 2z0
x
y
OAOB ,OO AOOO OA ， AB 1
OBOA -OO
-
，
1
z0
n ｛ , }，那么 =
-
= 1 1 1 ，令y=1，那么有=-11
〔，，
，因而
0〕，所
2
2
OO 1
OA2OOOA
1
∴|AO 1 4322 3cos90
=
7，
|=
=
同理
所谓法向量确实是战争面垂直的向量，经过它战争面上恣意两不共线向量的乘积为 0，可断定法向量．设
n ·BE
P 为平面a 外一点，那么点P 到面a 的歪线段向量在平面法向量偏向的射影， 即为点P 到平面a 的间隔．而
10
5 15 5 nBE >=n ·BE
nBE >=
n 以cos<,
，因而sin<, ，
= n 0
POPA ·n 0
n
为单元法
15
5 线到面的间隔可经过线上取一点，转化为点面距求之．其公式为 ,此中
即BE 与平面BBD 所成角的余弦值为 1 .
向量，PO 面于点O ，A ∈ ， PA 为面
的歪线段向量．留意：只要单元法向量才不会改动拍照
〔2〕略.
的长度。

1.1.3求二面角的巨细
例4：如图，在正方体中，棱长为 1，E 、F 分不为A
，CD 的中点，求点B 到平面AEC
1 B 1 1 F 的间隔。

用向量法求二面角的巨细，普通先寻出两平面的法向量， 的平面角。

公式如下： 那么两个法向量所成的角或它的补角即为二面角
1
1 简解：A 〔1，0，0〕，B 〔1，1，0〕，E 〔1，2，1〕，F 〔0，
2，0〕，
nm ,那么
、
如图，假定平面 、
的法向量分不为
1
1
n ·m
AE 2 AF =〔-1，2，1〕。

设平面AEC 1F 的
=〔0，，1〕， 法向量为
nm >=n ·m
cos<，
=a ，
n ·AE0
联合图形推断，假定二面角 为锐角，那么
n ·AF0得
n =〔x,y,z 〕,那么 n
AEn
，
AF ，由
a ；
=arccos
y 假定为钝角，那么
x 0
2 y a
6
z0
=-arccos.
n 0
2 n 6
，
令y=2，得=121
〔，，〕， 那么 =〔 例3：上题第〔2〕咨询
6
6
6 1
A
3 AB
〔，2，1〕， =0
ml 1 1 ，- 〕,因为 故所求间隔
解：令 、分不为平面BDE 与平面BBE 的法向量，那么易知
B
u
6 3
m l =〔1，1，-2〕，=〔-1，0，0〕，
n ·AB
=
A'
d=
B'
m ·l
6
1.2.2求两异面直线的间隔
6
m ·l
图1
ml 因而cos<，>=
，
6
6
.
因而二面角B-B 1 E-D 的余弦值 1.2向量巧解间隔咨询题 1.2.1求点到平面的间隔
咱们先来看看空间向量在轴上的投影。

设向量
AB ，那么它在u 轴上的投影为
ABcosAB,u PMBN1 PABD3 ，式中Prju 表现向量在
u 轴上的投影．
Prju AB =
且 = =
ABu
在轴上的投影，能够过点A 、B 分不作与
u 轴垂直的两个平面
从图7能够看出，为了作出
、，
求证：MN//平面PBC ， u
那么点A 、B 在轴上的射影分不为A ’、B ’，且点A ’、B ’肯定在平面
求证：MN
AD.
、上，
AB 确实是ABu 在轴上的投影．从另一方面看，线段
显然， A ’B ’确实是异面直线A 跟B(假如它们不
MN 能够表现为PBPCBC 剖析：〔1〕依照共面向量定理，只要证实 、 、 平行的话)的公垂线段，也确实是两异面直线间的间隔．因而，异面直线上恣意两点所衔接的向量在公垂 线偏向上投影的相对值确实是两异面直线间的间隔．
中任两个向量的线性组合， 为此，必需选基底，再应用基底跟三角形法那么，
PAPB ，PC
，
a
PA
=，
AB ·u 寻到上述向量之间的线性关联。

取基底
{ }，设
ABcosAB,u
AB ·u =AB ·ucosAB,u
u
AB
．式中d
1
AB =
因为
,因而 Prju ，因而有d=Prju
bPCc a abBCcb
PM 3BA
=-,=-,
PB =， =，那么
=
,
u 表现两异面直线间的间隔。

因为
//，它们之间的间隔到处相称，因而轴的拔取不必定如果公垂线，
BCacb BDBA + ∴
∴
= =+-2,
而只要同时与两异面直线垂直，也确实是说只要与公垂线偏向向量共线即可。

1
例5：假定上题中的曾经明白前提稳定，求异面直线 EC 与CB 的间隔． 11
PN =PB +BN = PB 3BD
+
1
1
EC 1 =(-1,,0),CB 1
2
EB 1 ECCB 1 1 EC 1
=0
2,0),设 n =(x,y,z),由n ·
1 1
简解： =(1,0,1),
=(0, 与 的法向量为
3abc PM 3a ,
=
=(++),又
n ·EB 1
1
1 1
6 n ·EB 1
CB 1=0得n MNPN bc PC
,
n 且·
PM 3 3PB 3
+
3
.
∴
∴
又 = - =(+)= =〔1，2，-1〕，故所求间隔为
= MNPBPC 共面,
与
、 MN
平面PBC,
1.3向量巧解平行与垂直的咨询题 1.3.1平行
∴MN//平面PBC.〔2〕略. 不管是证实线线平行，依然线面平行，都对空间图形笼统思维有较高请求， 用向量法的话，那么显得庞杂、
1.3.2垂直
〕, 要证AB 跟CD 相互垂直，只要证
=〔x ,y 1 ,z 1 CD =(x 2,y 2,z 2),那么只要证实数
CD
=0即可；而触及到线面垂直的论证咨询题时，
也可结构向量，
AB AB · 易于上手。

假定要证实 AB 跟CD 两条直线平行，
1 并应用两向量垂直的充要前提去推断线线垂直，从而使线面垂直咨询题或证。

x 1xx 3
2 例7：上题第〔2〕咨询 y 1yy 3
；假定要证MN 与面ABC 平行，那么只要证实
MN 能用ABBCCA 中任两个向量 = = 2 =
、 、
MN ·AD0.
解：只要证
进展线性表现就能够了。

例6：如图8，P 是正方形ABCD 地点平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m ，假定M,N 分不在PA 、BD 上，
BCcb AD = =-,
平行、垂直、共线、轨迹等咨询题时，常可思索用平面向量来处置，将多少何咨询题坐标化、标记化、数目化， 应用向量运算的多少何意思，省去剖析多少何中一些冗杂的运算，能够收到事半功倍的后果。

1 1
1
2 cb
2
MN ·AD 3bccb 3cb 2
=(+)(-)=(
2
3
)=(
-
- )=0,
x 2
9
y 2 4
1
MN
AD ，MN
例9：椭圆 的核心为F 、F ，点P 为椭圆上的动点 ，当
为钝角时，点P 横坐 PF
2
∴
AD.
1 2 F 1
标的取值范畴是〔
〕.
)，那么PF 1
=(- 5-x 0，-y 0 )，PF 2
=(
5-x 0，-y 0)，
1
(-
5 ，0)，F( 2
5，0)，设P(x 0，y 0 解：F 2.向量巧解平面剖析多少何中的咨询题 2.1平面多少何
PF ·PF0，即(-
2
-x)+y 0<0，
5 5 因为
F 1 PF 2 为钝角，因而
1 2 -x)(
向量法与综正当、剖析法，被以为是研讨初等多少何的三种要紧办法，向量法在处置有关三角形“三线〞 2
2
即9x
+9y
<45，
(中线、角中分线、高)与“四心〞(重心、垂心、心坎、外心)等咨询题时有独到之处，其余
，用向量常识
处置平面多少何咨询题时，能够防止去思索多少何中较庞杂的关联。

2
2 x
9 y 0
1即9y 02
02
=36-4x
，
AB 4
又因为 例8：D 是平面上必定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满意OP=OA+
(
AB +
35 35 5 x
AC 因而可得5x 02<9，因而
5
.
AC ),
[0,+
],那么P 的轨迹必定经过△ABC 的().
点评：在剖析多少何中，一方面存在着器量、角度、平行、垂直等咨询题，这为向量的使用供给了宽阔的空 间；另一方面剖析多少何咨询题是用代数办法来处置的，这又契合了向量的双重身份，给向量的使用制造了
精良的情况。

(A)外心(B)心坎(c)重心(D)垂心
AB AB
AC AC
AB
AC AC
AB 跟AC 分不为AB 跟AC 上的单元向量，因而 =AB,
，那么
AB +
'
' =AC ' '
解：设
的偏向为 BAC 的角中分线AD 的偏向 .
3.向量巧解单数的咨询题
又
∈[0，+∞],
一方面，因为单数能够经过向量表现，另一方面，因为向量的坐标表现法与单数的代数方式在表白方式
上特不类似，因而，向量与单数也有严密的联络，在解题中，应用向量来处置单数咨询题也是罕见的。

AB AC AC
AB AC (
AB +
)的偏向与 (
AB + AC
)的偏向一样，
j 为直角坐标平面内x ，y 轴正偏向上的单元向量，假定向量
例10：设x,y ∈R ，i ，
因而
AB AC ab
j j
ai bi =x+(y+2),=x+(y-2),
且 =8,
AB +AC ),
而OP=OA+(
(I)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；
因而，点P 在AD 上挪动，P 的轨迹经过△ABC 的心坎，故谜底选(B).
点评：此题将向量加法的多少何意思及轨迹咨询题无机地联合在一同， 多少何的咨询题。

因为向量存在多少何方式，应用向量的运算去处置平面多少何咨询题， OPOAOB 能否存在如此的直线
L ，使得四边
(II)过点(O ，3)作直线L 与曲线C 交于A 、B 两点，设 形OAPB 是矩形?
= + 经过向量加法的多少何意思来求解平面 能够少引或不引辅佐线(如 证三角形三条高线交于一点 )，使解题的思绪愈加明晰、简便，解法牵强附会。

假定存在，求出直线 L 的方程；假定不存在，试阐明来由。

x 2
2
x 2
2
y2
y2
略解：(I)由题意，得
F(0,-2)、F
12
〔0，
=8，故点 M(x,y)到两个定点 2.2剖析多少何
因为向量能够经过坐标来表现，因而平面向量与剖析多少何之间有着天然的联络。

如：平面直角坐标系内 x 2y 2
的两点间间隔公式，对应于平面内响应向量的长度公式；分一条线段成定 比的分点的坐标 ，可依照相
1
1216
1
，F
2 为核心的椭圆，其方程为。

2〕的矩离之跟为8，因而轨迹C 为以F 应的两个向量的坐标直截了当求得；“两条直线平行的充要前提是其歪率相称〞与“两个向量平行的充要条
件是其对应坐标成比例〞的说法不实质的差别。

因而
，在有关剖析多少何的标题中，假如触及到夹角、
(II)因为L 过Y 轴上的点(O ，3)，假定直线
L 是y 轴，那么 A 、B 两点是椭圆的极点。

OPOAOB0 =，因而P 与0重合，与四边形OAPB 是矩形抵触，
又因为 = +
44cos
2
mn
2
422cos sin
cos sin 2
cos sin
4 =
=
=
=2
)B(x 2
因而，直线L 的歪率存在，设L 的方程为y=kx+3，A(x
112
,y ，,y).
1cos
ykx3
4 ，
x 2y 2
1216
1
2 2
82 5 7 由 消y 得：〔 4+3k 〕x+18kx-21=0,
cos cos cos 2
1
mn
4 4 28
由曾经明白
= ，得
= 25，又
=2
，
18k
43k 2 21
2 2
43k 2
,又因为
16
8
9
如今，△=(18k)-4(4+3k)(-21)>0
cos 2
恒成破，且
x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 =- 0
28
,2 28
，cos 25，。

而 5
28
8 故
= ,
OPOAOB ，因而四边形
OAPB 是平行四边形.
= + 4
28
5
=-.
OA ·OB0 假定存在直线L ，使得四边形OAPB 是矩形，那么OAOB ，即 故cos
=,
此题先应用向量坐标方式的跟运算及模的界说，转化为三角赋值咨询题，脱去了向量的外壳后，实质是已 =((x,y))，OB =((x 2,y)，因而 =xx+yy=0， OA
1 1
2 OA ·OB 1 2 1 2
因为 16 cos 2
21 43k 2
,2 2
1k ·
28
=
28
的值。

因为向量存在代数跟多少何方式，在处置有
知
25， ，求cos 2
即(1+k)x
1 x
2 +3k(x 1 +x 2 )+9=0，即
+9=0，
关三角函数的咨询题时，从向量三角形动手，常使咨询题能轻便明白获解。

5
5 5.向量巧解其余代数咨询题
2
4
.
即k
16，得k=
= 因为平面向量融数、形于一体，存在多少何方式与代数方式的“双重身份〞
，使它成为中学数学常识的一
5
个交汇点跟联络多项内容的前言。

因而，向量的引入年夜年夜拓宽了解题的思绪与办法，使它在研讨其余许 多咨询题时取得普遍的使用。

应用平面向量那个东西解题。

能够简便、标准地处置代数中的很多咨询题。

4 因而存在直线l ：y=
+3，使得四边形OAPB 是矩形.
5.1求最值
点评：此题的第 1小题，其实质是将单数咨询题“曾经明白单数 z
=-2i ，z=2i ，点Z 所对应的单数z 满意
12
2cosx
z-zz-z 2=8，求点Z 的轨迹方程〞以向量为配景给出，表白了单数与向量之间的联络。

例12：求函数y=
1 sinx
(0<x<)的最小值.
+
4.向量巧解三角函数的咨询题
解：由题设知 y>0,且ysinx+cosx=2,
a b 设=cosxsinx 〕，=1y
〔 ， 〔，〕，
应用单元圆研讨三角函数的多少何意思时， 决咨询题时经常是从树破向量三角形动手的， 表现三角函数的三角函数线事实上确实是平面向量。

因为用向量解 这就使向量在三角里有关解三角函数的咨询题中发扬了主要作 abab
cosxysinx
1y 2
，因而y
用。

起首，两个向量的模
，引出了两点间的间隔公式，其次深化到三角函数。

由
得
3，
82 ab
与共线，即ycosx-sinx=0时等号成破，
当且仅当 mn
m n =〔cos,sin 〕,=(
2-sin,cos),
5
28
，求cos(+)
例11：曾经明白向
量 的值.
(,2),且
2cosx sinx
1
2 如今 cosx=sinx ，即cosx=，
mn
+=〔cos-sin+
2，cos+sin 〕，
解：因 故
x
4y 2 x y z
2 3.
故当x=3时，y 取得最小值
9z 2 y z
2 7
9x 2
7.2求取值范畴
即
解得：
.
mnmn
mnmn
跟
依照向量的性子，当求取值范畴时可恰当建模，普通有
、
2
p ·q
2
(p ·q)2
6.3.2结构向量模子
m ·nm ·n
.
2
p ·q
2
(p ·q)2
pq
的充要前提是与共线．在解在理方程(组)时，假如能
由向量的根底常识可知，
例13：假定对于 的方程〔m+1〕sin+2m-1cos=3m 有实数解，务实数解m 的取值范畴
〔〕. 2
2
pq p ·q (p ·q)2
pq 结构向量 ,,使
成破，那么可得
与共线，从而使咨询题获解。

p ·q p q
p ·q =〔m+1,2m-1,=(sin,cos),因为
解：设 ，
〕 2x3 4xy113y 18x6y51.
例15：解方程 2 2
2m1·sin 2
cos 2
m1
因而3m
，
4xy1，13y
p 2x3，
q 解：令 =〔
〕，=111
〔，，〕，
1 m
2
2
m1 2m1
那么p 2
q 2 2
,即2m+m-10,解得-1
2.
因而3m
=6x-2y+17,
=3,
p ·q2x3 4xy113y
(p ·q)2
pq
，因而
18x6y51，
=
6.3解方程
2
2
p ·q
因而 即
与共线，
2
2
4xy113y =〔为常量〕，
=
p q
2p ·q 2x3= 6.3.1结构向量模子
由向量的根底常识可知， 特色，假如能结构向量
2
2
x3
p q p
2p ·q 的充要前提是pq =。

在解在理方程(组)时，依照方程双方的
y4.
解得
2
2
pq q
2p ·q ，那么可得pq
=，从而使咨询题获解。

,,使
6.4代数求值
4y 2
9z 2
9x 2
例14：解方程组x
-y
-z
=11.
3
2
4y 2
9z 2 9x 2
),
p q =( 例16：曾经明白0<<,0<<,cos-coscos+sinsin+cos=， 且 解：令 =〔x,-y,-z 〕,
,
,
p q 2 2
222
=x+y+z ，
求
与
的值.
那么 解：由曾经明白可得：
2
2 )+(9-z)+(9-x)，
2
=(4-y
3
4y 2
9z 2 9x 2 2
sin=-cos
p ·q =x 〔1-cos 〕+sin ，
cos -y -z
=11，
2
2
p
q
2p ·q ，因而p =q , a b
因而可结构向量
〔 =cos,sin)，=〔1-cos ，sin 〕，
因而
3
2
1
1
1
cos
22cos
x 2 y 2 2 2 2
a ·ba ·b
z ·1112
xyz 2
2
2
3.
2
得1
由向量不等式
，得 〔cos-2〕2
cos=， 6.7代数式
例19：任给8个非零实数
又0<<,因而
3，
= aaaaaaaa 8,证实上面六个数a 1aaaaaaa 6， 2 ,,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7 ,
3
+
2
4 ， 1
5
+
2
1 aaaaaaaaaaaaaaaa 8中至多有一个长短负的 将=3代入曾经明白等式可求得
3.
= 3 5
6 ， 3
7
8 ， 7 8 ，
5
7
6
.
+ 4 + 4 1 + 2 +
剖析：以上六个代数式均与向量数目积的坐标运算公式类似，因而遐想到设向量
a ·bxxyy a b
评注：此题联络数目积公式
，此中
=〔x 1 ,y 1 〕,=(x 2
,y 2 ),灵敏结构向量，应用向
1 2
1 2 a 3 OAaa aa 8),
OAaaOA 2=( a 4 ,),OA 4
3
=(
5 6
=(
7 ,
1 =( 1 ,
2 ),
,),
a ·ba ·b
量不等式
进展剖析求解。

OAOA 2
1
OA ·OAaaaa 4= A 1OA
2
，
因为 1 2 = 1 3 +
2
cos
6.5证实等式
OAOA 3 OA ·OA 3 a 5 a 6= AOA 3， a 1 a 2 1 1 = + cos cos
cos cos cos
1
ab
2
2
2 2
OAOA 4
1
m ·n mn .
OA ·OAa 1a +a 2a
AOA
14
， 〕(m+n)=(am+bn),此中
例17：设〔a+b 0,求证： 7 8
1 4 =
=
OAOA 3
2
a b ab OA ·OAaaaa 6= AOA 3， 证实：设 =〔a,b 〕,
=(m,n),设与的夹角为
，
2 3 3 5
4
2 =
+
OAOA 4
2
aaaa 8= AOA 4，
2
a ·b
(ambn)2
OA ·OA 4= 3 7 ambn
2 +
4
a ·b
2 2 2
2
abmn 2 2 2 ·
2
OAOA 4
3
2
2
2
)=
(ab)·(mn)，
那么cos OA ·OAaaaa 8= AOA 4， =( )=(
3 4
= 5 7 +
6
3
因上述六个数的标记恰与四个向量中每两个向量夹角的余弦同号，
因为这四个向量中，至多有两个向量
2 因而cos
1，
=1,即cos=
ab
的最小夹角小于或即是 2，因而它的余弦值非负，故题设六个数中，至多有一个非负。

ab mn .
//,得
因而=0或=，从而，
6.8数列
n
2k12a k2
例20：对天然数n ，令S n
为 的最小值，此中
aa 2
,⋯，a n 为正整数，其跟为17，
1
,
k1
6.6解不等式
1
S n 也为整数，求n.
假定存在独一的n 使 2
2
2
例18：曾经明白实数x,y,z,满意x+y+z=1,求证：x+y+z 3.
2
2
a
k
想到数列的通项是一个向量的
2k1
剖析：数列中，用向量来寻出最小值，拓宽了思绪，从
证实：因为1=x+y+z=x ·1y ·1z ·1，
模，而后数列求跟酿成了求向量模的跟，再应用向量中“向量模的跟不小于向量跟的模〞
，即
a ·ba ·b
a 1a 2
aa 2
1
a b
=(1,1,1),因而由向量不等式：
因而可结构向量
=〔x,y,z 〕, ，
公式，而失掉数列求跟的不等式，最初依照前提求出谜底。

2
2 2k1
a k
OA k
2k1,a k
的模，
解：
可视为向量
n
2k12a k2
OAOA 2 OA n OAOA...OA n
12
S n =k1
1
故 =
+
+⋯+
1，a 1 3,a 2...2n1,a n
= =
= 13...2n1,aa...a n
1
2
2
n,17 n172 4 =
,
S n
22
〕它可化为〔m-n 〕〔m+n 〕=289，
4
n172
2
N
,且m
由题设前提，使用
=m 〔m
2
mn1
mn 2
289
因而
解得n=12.
7.完毕语
向量是相同代数、三角、多少多么外容的桥梁之一。

向量作为一种东西，它的特色在数学的很多方面都有 表白，尤其在初等数学与剖析多少何中，向量的思维浸透得非常普遍；空间向量在处置平面多少何上的上风又 是传统的常识跟办法无奈替换的。

应用向量处置一些数学咨询题，将年夜年夜简化解题的步调，使先生多控制 一种行之无效的数学东西。

向量联络代数与多少何，它能够使图形量化，使图形间关联代数化，使咱们从 庞杂的图形剖析中解脱出来，只要求研讨这些图形间存在的向量关联，就能够得出准确的终极论断。

向 量非常轻易被处于高中文明程度之上的先生了解跟承受，并且其所存在的精良的“数形联合〞特色使它与 中学数学常识能够融汇贯穿，相辅相承。

一旦先生控制了向量，使先生树破空间设想才能，不再是进修 平面多少何的最年夜阻力。

非常多平面多少何中的咨询题在向量的这一东西的参加下解脱了纯多少何推理， 单的向量代数推理。

转换成简。