大学材料科学经典课件第二章材料的晶体结构
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2) 方法同立方晶系， (hkil)为在四个 坐标轴的截距倒数的化简，自然可 保证关系式h＋k＋I＝0。底面指数 为(0001),侧面的指数为(1010)。
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
2、晶向指数
标定方法：
1. 平移晶向(或坐标)，让原 点为晶向上一点，取另一 点的坐标，有:
2. 并满足p＋q＋r＝0 ；
1. 建立坐标系 结点为 原点，三棱为方向， 点阵常数为单位 （原 点在标定面以外，可 以采用平移法）；
2. 晶面在三个坐标上的 截距a1 a2 a3 ；
3. 计算其倒数 b1 b2 b3 ；
4. 化成最小、整数比h： k：l ；
5. 放在圆方括号(hkl)， 不加逗号，负号记在 上方 。
晶面指数特征：与原点位置无关；每一指数对应 一组平行的晶面。平行晶面的晶面指数相同，或
三、其他晶体学概念
5.两晶向之间的夹角： 在立方晶系中按矢量关系，晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]
之间的夹角满足关系：
在立方晶系，晶面之间的夹角也就是为其法线的夹角， 用对应的晶向同样可以求出。
非立方晶系，晶面或晶向之间的夹角可以计算，但要 复杂许多。
第二节 纯金属常见的晶体结构
结构特点:以金属键结合，失去外层电子的金属离子与 自由电子的吸引力。无方向性，对称性较高的密堆 结构。
晶体结构则是晶体中实际 质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能 组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构 是无限的。
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结和空间点阵的区别
三、晶面指数和晶相指数
.晶面(crystal face): 在晶格中由一系列原子所构成的平面
称为晶面。
晶面指数：表示晶面方 位的符号。
5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
晶向指数的例子
• 正交晶系一些重要晶向的晶向指数
一、晶向与立方晶系晶向指数
晶向指数特征：与原点位置无关；每一指数对应一组 平行方向一致的晶向。若晶体中两晶向相互平行 但方向相反，则晶向指数中数字相同而符号相反。
晶向族：原子排列情况相同，但空间位向不同的一组 晶向的集合。
k2
2
l 2 c
• 不同晶面族的晶面间距也不相同。
• 在简单立方晶胞中
• 复杂立方晶胞
• 其中fcc和bcc晶体中m一般为2，但要具体 分析。
晶面间距（4）
复杂晶胞
附加面 Dhkl/2
体心立方
h + k + l = 奇数
面心立方 密排六方
h k l不全为奇数或者不全为偶数 h + 2k = 3n (n=1,2,3….), l为奇数
第二章 材料的晶体结构
• 本章的主要内容 晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的晶体结构 共价晶体的晶体结构
第一节 晶体学基础
• 一、晶体结构、空间点阵和晶胞
• 晶体结构：晶体中原子（分子、离子）在 三维空间的具体排列方式。
• 空间点阵：由几何点做周期性的规则排列 所形成的三维阵列。 空间点阵中的点－阵 点。它是纯粹的几何点，各点周围环境相 同。
则 三个晶轴同在一个晶面上
晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1)
晶面2 (h2 k2 l2)
晶面3 (h3 k3 l3)
若
h1 k1 l1
h
2
k2
l2
0
h 3 k 3 l3
则 三个晶面同属一个晶带
三、其他晶体学概念
• 4.晶面间距：指相邻两个平行晶面之间 的距离
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2)
晶带轴 (u v w)
u:v:wk1 l1 :l1 h1 :h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
u vw h1 k 1 l1 h2 k 2 l2
晶带定律的应用（2）
晶向1 (u1 v1 w1) 晶向2 (u2 v2 w2)
晶面 (h k l)
三个棱边的长度a,b,c及其夹角α,β,γ表示。
二、.晶系与布拉菲点阵
1855年,法国学者布拉维(Bravais)用数学方法证明了空 间点阵共有且只 能有十四种,并归纳为七个晶系:
1). 三斜晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
2). 单斜晶系 a = b = c , α = γ = 90° = β; 3). 正交晶系 a = b = c , α = β = γ = 90° ; 4). 六方晶系 a = b = c , α=β= 90°,γ=120°; 5). 菱方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
第二节 纯金属常见的晶体结构
密堆六方中的 间隙
八面体间隙： 位置 体内 单胞数量 6 大小
四面体间隙： 位置 棱和中心线的1/4和3/4处 单胞数量 12 大小
1、总结三种常见金属晶体结构的特征
2、知道某金属的晶体结构、密度、原子量求原子半 径。
第二节 纯金属常见的晶体结构
四、面心立方和密 堆六方的原子堆垛
八面体间隙： 位置 体心和棱中点 单胞数量 12/4 + 1 = 4 大小
四面体间隙： 位置 四个最近邻原子的中心 单胞数量 8 大小
第二节 纯金属常见的晶体结构
三、密堆六方
原子位置 12个顶角、上下底心和体内3处
在密堆六方晶格中密排面为{0001}，密排方向为<1120>
常见金属：镁、锌、镉、α 钛、α 铍、α 钴、锆
三、六方晶系晶面与晶向指数
3、晶向族与晶面族
1) 同一族的晶向或晶面 也具有等同的效果；
2) 三个水平方向具有等 同的效果，指数的交 换只能在他们之间进 行，Z轴只能改变符 号；
3) 改变符号时，前三项要满足p＋q＋r＝0的相关性 要求。
三、其他晶体学概念
1.晶向的原子密度（线密 度）：该晶向单位长度上的
• 晶面间的距离越大，晶面上的原子排列
越密集。
• 同一晶面族的原子排列方式相同，它们
的晶面间的间距也相同。
晶面间距（3）
正交晶系
dhkl
1
h2 a
k b
2
l
2
c
立方晶系
dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
hk a2
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
1、晶面指数：
1) 建立坐标系：在六方晶系中，为了 明确的表示晶体底面的(六次)对称 性，底面用互成120度的三个坐标 轴x1、x2、x3，其单位为晶格常数 a，加上垂直于底面的方向Z，其单 位为高度方向的晶格常数c。注意 x1、x2、x3三个坐标值不是独立的 变量。
h:k:lv1 w1 :w1 u1 :u1 v1 v2 w2 w2 u2 u2 v2
hk l u1 v1 w1 u2 v2 w2
晶带定律的应用（3）
晶轴1 (u1 v1 w1) 晶轴2 (u2 v2 w2) 晶轴3 (u3 v3 w3)
若
u1 v1 w1
u 2
v2
w2
0
u3 v3 w3
第二节 纯金属常见的晶体结构
体心立方中原子排列
在体心立方晶格中密排面为{110}，密排方向为<111>
第二节 纯金属常见的晶体结构
体心立方中的 间隙
八面体间隙： 位置 面心和棱中点 单胞数量 12/4 + 6/2 = 6 大小
四面体间隙： 侧面中心线1/4和3/4处
12 个
第二节 纯金属常见的晶体结构
• 晶格：描述晶体中原子排列规律的空间格 架称之为晶格。
• 晶胞：空间点阵中能代表 原子排列规律的最小的几 何单元称之为晶胞，是构 成空间点阵的最基本单 元。——能表达晶体结构 的最小重复单位。
• 换言之：晶胞在三维空 间有规则地重复排列组成 了晶体。
• 选取原则： 1. 能够充分反映空间点阵的对称性； 2. 相等的棱和角的数目最多； 3. 具有尽可能多的直角； 4. 体积最小。 晶格常数—点阵常数
二、面心立方
原子位置 立方体的八个顶角和每个侧面中心
常见金属：铜、银、金、铝、镍、铅、铹、γ 铁、γ 钴、δ 锰。
第二节 纯金属常见的晶体结构
面心立方中原子排列
在面心立方晶格中密排面为{111}，密排方向为<110>
第二节 纯金属常见的晶体结构
面心立方中的间隙
将原子假定为 刚性球，他们在堆 垛排列时必然存在 间隙。在面心立方 晶格中存在的间隙 主要有两种形式：
节点(原子)数。
2.晶面的原子密度（面 密度） ：该晶面单位
面积上的节点(原子)数。
3.晶带和晶带轴：相交和平行于某一晶向的所有晶面 的组合称为晶带，此直线叫做它们的晶带轴。晶带 用晶带轴的晶向指数表示。
在立方晶系中有：
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
晶带定律的应用（1）
6). 正方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°; 7). 立方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
布 拉 菲 空 间 点 阵 晶 胞
三斜：简单三斜 a b c , 9 0 o
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0 o
数字相同，符号相反。 • 晶面族：原子排列情况相同，但空间位向不同的
一组晶面的集合。 • 表示方法：用花括号{hkl}表示。例如：
• 可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
晶面指数的例子
• 正交点阵中一些晶面的面指数
晶向(crystal direction): 在晶格中,任意两原子之间的 连线所指的方向。代表了晶体中原子列的方向。
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a b c , 9 0 o
六方：简单六方
a 1 a 2 a 3 c , 9 0 o , 1 2 0 o
菱方：简单菱方
a b c , 9 0 o
四方：简单四方 体心四方
a b c ,
9 0 o
立方：简单立方
体心立方 a b c , 9 0 o
面心立方
• 如：底心正方点阵的表示
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排 列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期 性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能 有14中类型
3. 化成最小、整数比 u：v：t：w 4. 放在方方括号[uvtw]，不加逗号，负号记在上方 。
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i ＝－ ( h + k ) 。
晶系晶向与晶面指数
晶向指数：表示晶向方位 符号。
• 标定方法：
1. 建立坐标系 结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ；
2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让第一点在 原点则下一步更简单)；
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2z1 ；
4. 化成最小、整数比u：v：w ；
常见结构： 体心立方 bcc Body-centered cubic 面心立方 fcc Face-centered cubic 密堆六方 cph Close-packed hexagonal
第二节 纯金属常见的晶体结构
一、体心立方
原子位置 立方体的八个顶角和体心
常见金属：钒、铌、钽、钼、钡、β 钛、α 铁、δ 铁、 α钨
原子的密排面的形式： 在平面上每个原子
与六个原子相切。
hcp中为(0001)面，按 –ABABABABAB-方式堆垛 Fcc中为{111}面， 按 –ABCABCABCABC-方式堆垛
标定方法：
1. 建立坐标系 结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单 位 （原点在标定面以外，可 以采用平移法）；
2. 晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ；
3. 计算其倒数 b1 b2 b3 ； 4. 化成最小、整数比h：k：l ；
5. 放在圆方括号(hkl)，不加逗 号，负号记在上方 。
晶面指数：表示晶面方位 的符号。
表示方法：用尖括号<uvw>表示 。 举例：
可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 相互垂直。
• 试说明一个面心立方等于一个体心四方结 构。
• 在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶面族 所包括的晶面，及（112）和（1 0）晶面。 2
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
2、晶向指数
标定方法：
1. 平移晶向(或坐标)，让原 点为晶向上一点，取另一 点的坐标，有:
2. 并满足p＋q＋r＝0 ；
1. 建立坐标系 结点为 原点，三棱为方向， 点阵常数为单位 （原 点在标定面以外，可 以采用平移法）；
2. 晶面在三个坐标上的 截距a1 a2 a3 ；
3. 计算其倒数 b1 b2 b3 ；
4. 化成最小、整数比h： k：l ；
5. 放在圆方括号(hkl)， 不加逗号，负号记在 上方 。
晶面指数特征：与原点位置无关；每一指数对应 一组平行的晶面。平行晶面的晶面指数相同，或
三、其他晶体学概念
5.两晶向之间的夹角： 在立方晶系中按矢量关系，晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]
之间的夹角满足关系：
在立方晶系，晶面之间的夹角也就是为其法线的夹角， 用对应的晶向同样可以求出。
非立方晶系，晶面或晶向之间的夹角可以计算，但要 复杂许多。
第二节 纯金属常见的晶体结构
结构特点:以金属键结合，失去外层电子的金属离子与 自由电子的吸引力。无方向性，对称性较高的密堆 结构。
晶体结构则是晶体中实际 质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能 组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构 是无限的。
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结和空间点阵的区别
三、晶面指数和晶相指数
.晶面(crystal face): 在晶格中由一系列原子所构成的平面
称为晶面。
晶面指数：表示晶面方 位的符号。
5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
晶向指数的例子
• 正交晶系一些重要晶向的晶向指数
一、晶向与立方晶系晶向指数
晶向指数特征：与原点位置无关；每一指数对应一组 平行方向一致的晶向。若晶体中两晶向相互平行 但方向相反，则晶向指数中数字相同而符号相反。
晶向族：原子排列情况相同，但空间位向不同的一组 晶向的集合。
k2
2
l 2 c
• 不同晶面族的晶面间距也不相同。
• 在简单立方晶胞中
• 复杂立方晶胞
• 其中fcc和bcc晶体中m一般为2，但要具体 分析。
晶面间距（4）
复杂晶胞
附加面 Dhkl/2
体心立方
h + k + l = 奇数
面心立方 密排六方
h k l不全为奇数或者不全为偶数 h + 2k = 3n (n=1,2,3….), l为奇数
第二章 材料的晶体结构
• 本章的主要内容 晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的晶体结构 共价晶体的晶体结构
第一节 晶体学基础
• 一、晶体结构、空间点阵和晶胞
• 晶体结构：晶体中原子（分子、离子）在 三维空间的具体排列方式。
• 空间点阵：由几何点做周期性的规则排列 所形成的三维阵列。 空间点阵中的点－阵 点。它是纯粹的几何点，各点周围环境相 同。
则 三个晶轴同在一个晶面上
晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1)
晶面2 (h2 k2 l2)
晶面3 (h3 k3 l3)
若
h1 k1 l1
h
2
k2
l2
0
h 3 k 3 l3
则 三个晶面同属一个晶带
三、其他晶体学概念
• 4.晶面间距：指相邻两个平行晶面之间 的距离
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2)
晶带轴 (u v w)
u:v:wk1 l1 :l1 h1 :h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
u vw h1 k 1 l1 h2 k 2 l2
晶带定律的应用（2）
晶向1 (u1 v1 w1) 晶向2 (u2 v2 w2)
晶面 (h k l)
三个棱边的长度a,b,c及其夹角α,β,γ表示。
二、.晶系与布拉菲点阵
1855年,法国学者布拉维(Bravais)用数学方法证明了空 间点阵共有且只 能有十四种,并归纳为七个晶系:
1). 三斜晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
2). 单斜晶系 a = b = c , α = γ = 90° = β; 3). 正交晶系 a = b = c , α = β = γ = 90° ; 4). 六方晶系 a = b = c , α=β= 90°,γ=120°; 5). 菱方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
第二节 纯金属常见的晶体结构
密堆六方中的 间隙
八面体间隙： 位置 体内 单胞数量 6 大小
四面体间隙： 位置 棱和中心线的1/4和3/4处 单胞数量 12 大小
1、总结三种常见金属晶体结构的特征
2、知道某金属的晶体结构、密度、原子量求原子半 径。
第二节 纯金属常见的晶体结构
四、面心立方和密 堆六方的原子堆垛
八面体间隙： 位置 体心和棱中点 单胞数量 12/4 + 1 = 4 大小
四面体间隙： 位置 四个最近邻原子的中心 单胞数量 8 大小
第二节 纯金属常见的晶体结构
三、密堆六方
原子位置 12个顶角、上下底心和体内3处
在密堆六方晶格中密排面为{0001}，密排方向为<1120>
常见金属：镁、锌、镉、α 钛、α 铍、α 钴、锆
三、六方晶系晶面与晶向指数
3、晶向族与晶面族
1) 同一族的晶向或晶面 也具有等同的效果；
2) 三个水平方向具有等 同的效果，指数的交 换只能在他们之间进 行，Z轴只能改变符 号；
3) 改变符号时，前三项要满足p＋q＋r＝0的相关性 要求。
三、其他晶体学概念
1.晶向的原子密度（线密 度）：该晶向单位长度上的
• 晶面间的距离越大，晶面上的原子排列
越密集。
• 同一晶面族的原子排列方式相同，它们
的晶面间的间距也相同。
晶面间距（3）
正交晶系
dhkl
1
h2 a
k b
2
l
2
c
立方晶系
dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
hk a2
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
1、晶面指数：
1) 建立坐标系：在六方晶系中，为了 明确的表示晶体底面的(六次)对称 性，底面用互成120度的三个坐标 轴x1、x2、x3，其单位为晶格常数 a，加上垂直于底面的方向Z，其单 位为高度方向的晶格常数c。注意 x1、x2、x3三个坐标值不是独立的 变量。
h:k:lv1 w1 :w1 u1 :u1 v1 v2 w2 w2 u2 u2 v2
hk l u1 v1 w1 u2 v2 w2
晶带定律的应用（3）
晶轴1 (u1 v1 w1) 晶轴2 (u2 v2 w2) 晶轴3 (u3 v3 w3)
若
u1 v1 w1
u 2
v2
w2
0
u3 v3 w3
第二节 纯金属常见的晶体结构
体心立方中原子排列
在体心立方晶格中密排面为{110}，密排方向为<111>
第二节 纯金属常见的晶体结构
体心立方中的 间隙
八面体间隙： 位置 面心和棱中点 单胞数量 12/4 + 6/2 = 6 大小
四面体间隙： 侧面中心线1/4和3/4处
12 个
第二节 纯金属常见的晶体结构
• 晶格：描述晶体中原子排列规律的空间格 架称之为晶格。
• 晶胞：空间点阵中能代表 原子排列规律的最小的几 何单元称之为晶胞，是构 成空间点阵的最基本单 元。——能表达晶体结构 的最小重复单位。
• 换言之：晶胞在三维空 间有规则地重复排列组成 了晶体。
• 选取原则： 1. 能够充分反映空间点阵的对称性； 2. 相等的棱和角的数目最多； 3. 具有尽可能多的直角； 4. 体积最小。 晶格常数—点阵常数
二、面心立方
原子位置 立方体的八个顶角和每个侧面中心
常见金属：铜、银、金、铝、镍、铅、铹、γ 铁、γ 钴、δ 锰。
第二节 纯金属常见的晶体结构
面心立方中原子排列
在面心立方晶格中密排面为{111}，密排方向为<110>
第二节 纯金属常见的晶体结构
面心立方中的间隙
将原子假定为 刚性球，他们在堆 垛排列时必然存在 间隙。在面心立方 晶格中存在的间隙 主要有两种形式：
节点(原子)数。
2.晶面的原子密度（面 密度） ：该晶面单位
面积上的节点(原子)数。
3.晶带和晶带轴：相交和平行于某一晶向的所有晶面 的组合称为晶带，此直线叫做它们的晶带轴。晶带 用晶带轴的晶向指数表示。
在立方晶系中有：
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
晶带定律的应用（1）
6). 正方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°; 7). 立方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90°;
布 拉 菲 空 间 点 阵 晶 胞
三斜：简单三斜 a b c , 9 0 o
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0 o
数字相同，符号相反。 • 晶面族：原子排列情况相同，但空间位向不同的
一组晶面的集合。 • 表示方法：用花括号{hkl}表示。例如：
• 可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
晶面指数的例子
• 正交点阵中一些晶面的面指数
晶向(crystal direction): 在晶格中,任意两原子之间的 连线所指的方向。代表了晶体中原子列的方向。
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a b c , 9 0 o
六方：简单六方
a 1 a 2 a 3 c , 9 0 o , 1 2 0 o
菱方：简单菱方
a b c , 9 0 o
四方：简单四方 体心四方
a b c ,
9 0 o
立方：简单立方
体心立方 a b c , 9 0 o
面心立方
• 如：底心正方点阵的表示
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排 列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期 性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能 有14中类型
3. 化成最小、整数比 u：v：t：w 4. 放在方方括号[uvtw]，不加逗号，负号记在上方 。
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i ＝－ ( h + k ) 。
晶系晶向与晶面指数
晶向指数：表示晶向方位 符号。
• 标定方法：
1. 建立坐标系 结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ；
2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让第一点在 原点则下一步更简单)；
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2z1 ；
4. 化成最小、整数比u：v：w ；
常见结构： 体心立方 bcc Body-centered cubic 面心立方 fcc Face-centered cubic 密堆六方 cph Close-packed hexagonal
第二节 纯金属常见的晶体结构
一、体心立方
原子位置 立方体的八个顶角和体心
常见金属：钒、铌、钽、钼、钡、β 钛、α 铁、δ 铁、 α钨
原子的密排面的形式： 在平面上每个原子
与六个原子相切。
hcp中为(0001)面，按 –ABABABABAB-方式堆垛 Fcc中为{111}面， 按 –ABCABCABCABC-方式堆垛
标定方法：
1. 建立坐标系 结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单 位 （原点在标定面以外，可 以采用平移法）；
2. 晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ；
3. 计算其倒数 b1 b2 b3 ； 4. 化成最小、整数比h：k：l ；
5. 放在圆方括号(hkl)，不加逗 号，负号记在上方 。
晶面指数：表示晶面方位 的符号。
表示方法：用尖括号<uvw>表示 。 举例：
可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 相互垂直。
• 试说明一个面心立方等于一个体心四方结 构。
• 在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶面族 所包括的晶面，及（112）和（1 0）晶面。 2