2019年太原市高一数学上期中一模试题带答案

2019年太原市高一数学上期中一模试题带答案
一、选择题
1．1
()x
f x e x
=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
C ．3(1,)2
D ．3(,2)2
2．设log 3a π=，0.32b =，21
log 3
c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
3．已知函数2
24()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是
A ．2
B ．
3116
C ．
158
D ．1
4．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x
）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5
B ．4.5
C ．3.5
D ．2.5
5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，
()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6．函数3
222x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知0.80.8
20.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
8．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
9．已知()()2,1
1,1
x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）
A ．7
B ．
7
2
C ．
74
D ．
78
10．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3
()1f x x =-；当11x -≤≤时，
()()f x f x -=-；当1
2x >
时，11()()22
f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2
11．函数2x
y x =⋅的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．三个数20.4
20.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
二、填空题
13．已知函数()()2
2log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
14．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= .
15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．若
4
2
x π
π
<<
，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．
17．如果函数221x
x y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的
值为__________.
18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2
()2f x x x =-． 若关于x 的
方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．
19．计算：
__________．
20．已知函数()()2
ln
11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．
三、解答题
21．已知2256x ≤且21log 2x ≥
，求函数22
()log log 2
2
x x
f x =⋅的最大值和最小值． 22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治
疗有效的时间是多长？ 23．计算下列各式的值：
（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）210232
9273()( 6.9)()()482
-----+
24．已知函数()2x f x =，1()22
x
g x =+．
（1）求函数()g x 的值域；
（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值． 25．已知幂函数2
242
()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.
（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；
（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()
a
g x a x f x =--
+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （1
2
）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（1
2
，1），故选B ．
点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.
【详解】 由题得2
1
log 3
c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.
故答案为C 【点睛】
(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用对数的运算法则将函数()()()2
24log log 41f x x x =++化为
()
2
221log 1log 12
x x +++，利用配方法可得结果. 【详解】
化简()()()2
24log log 41f x x x =++
()2
221log 1log 12
x x =+++
2
2211131log log 224161616x x ⎛⎫
=++-≥-= ⎪⎝⎭
，
即()f x 的最小值为3116
，故选B.
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，
则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1，
令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，
即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）
的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结
果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】
设32()22x x x y f x -==+，则33
2()2()()2222x x x x
x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又3
44
24(4)0,22
f -⨯=>+排除选项D ；
3
66
26(6)722
f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】
0.8000.70.71a <=<=Q ，
22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，
b a
c ∴<<，故选B. 【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】
2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，
()()2log 72227log 7log 7224
f f -∴=-==
. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．
10．D
解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22
f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期
函数,所以,又函数
是奇函数,所以
,故选
D ．
考点：函数的周期性和奇偶性．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】
因为2x
y x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
12．B
解析：B 【解析】
20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.
二、填空题 13．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需
解析：-7 【解析】
分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从
而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.
详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
14．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4
解析：2 【解析】 【分析】
把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】
设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，
对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1
在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.
考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．
15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x -
【解析】
当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x -1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x -,故填
1x -.
16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值
解析：-8
【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,4
2
x
x x π
π
∴∴Q
设2tan t x =
()()()2
22141222
2142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当
2t =时成立
考点：函数单调性与最值
17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点
解析：3或13
【解析】 【分析】
令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】
设0x t a =>，则2
21y t t =+-，对称轴方程为1t =-.
若1,[1,1]a x >∈-，则1,x
t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
， ∴当t a =时，2
max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.
若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,x
t a a a
⎡⎤=∈⎢⎥⎣
⎦
∴当1t a =时，2
max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭
解得13a =
或1
5a =-（舍去）
答案：3或13
【点睛】
本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．
18．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-
【解析】
【分析】
若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．
【详解】
因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，
所以函数()f x 图象关于y 轴对称，
作出函数()f x 的图象：
若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点.
故m 的取值范围是(1,0)-，
故答案为：(1,0)-
【点睛】
本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.
19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：
【解析】
原式=,故填.
20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】
【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.
【详解】
因为()())()()2222
f x f x ln 1x 1ln 1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2
【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
三、解答题
21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】
【分析】
由已知条件化简得
21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32
x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭. 当23log ,2x =
()min 14
f x =-，当2lo
g 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础． 22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩
n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】
【分析】
（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(
,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，
又由函数的图象经过点(1,4)，
则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =，
又由1t =时，11
()42a -=，解得3a =， 所以函数的解析式为1)324,01(
,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥
， 当1t ≥时，31
()0.252t -≥，解得15t ≤≤，
综上所述，可得实数t 的取值范围是1516
t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-
=小时. 【点睛】
本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
23．(Ⅰ)
12；(Ⅱ)12
. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a a
a -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=
+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1
223233343441112292992
⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）(2,3]；（2
）2log (1x =．
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12
x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x -
-=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．
试题解析：（1）||||11()2()222
x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．
（2）由()()0f x g x -=，得||
12202x x --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x
--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，
2
(21)2x -=，故21x =±
因为20x >，所以21x =2log (1x =．
考点：指数函数的图象与性质．
25．（1）1
()f x x -=；（2）存在，6a =.
【解析】
【分析】
（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；
（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论. 【详解】
（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，
所以22221,420,
m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.
（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，
假设存在0a >使得命题成立，则
当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，
所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩
； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；
当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，
所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩
a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.
【点睛】
本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.
26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．
【解析】
试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．
试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；
故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。