2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷理3

2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷：理3
第Ⅰ卷
一．选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数2i
12i
b -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于
（ ）
A
B ．23
C ．2
3
- D ．2
2．命题A ：|1|3x -<，命题B ：(2)()0x x a ++<；若A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(,4)-∞- B ．[4,)+∞ C ．(4,)+∞ D ．(,4]-∞- 3．函数y=2
x x e e --的反函数
（ ） A ．是奇函数，它在(0,)+∞是减函数
B ．是偶函数，它在(0,)+∞上是减函数
C ．是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数
D ．是偶函数，它在(0,)+∞上是增函数
4．向量(
)()
2,0,22cos 2sin OA OB θθ==+，则向量OA 与OB 的夹角的范围是
（ ）
A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5．设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是
6．某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的做法种数共有
（ ）
A ．18种
B ．36种
C ．42种
D ．56种 7．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点
0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =
（ ） A ．-12 B ．-2 C ．0 D ． 4
8．已知菱形ABCD 的边长是1，60DAB ∠=，将这个菱形沿AC 折成120的二面角，则BD 两点间的距离是
A ．12
B
C ．32
D ．
34
（ ）
9．若2(1)
1log (1)21log 2
x x -++<，那么x 的取值范围是
（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(1, 2)∪(2,+∞)
C ．(53, 2)
D ．(5
3
, 2)∪(2,+∞)
10．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内．小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中
正确的是 （ ）
A ．12
V V =
B ．22
V V =
C ．12V V >
D ．12V V <
11．下列四种说法：
① 命题“若1a ≠或1b ≠，则2a b +≠”的否命题
是“若1a =或1b =，则2a b +=”；
② 四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =
，AB =则在外接球球面上A ．B
两点间的球面距离是43
π
；
③ 若2231lim 223x x ax b x x →++=--，则复数1
i
z a b =
+在复平面内对应的点位于第三象限； ④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ（0σ>）．若ξ在(0,1)内取值的概率为0．4，则ξ 在(1,2) 内取值的概率为0．4；其中说法正确的有 （ ） A ．4个 B ．3个
C
．
2
个
D ．1个
12．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且231n n S n
T n =
+，则55
a b =
（ ）
A ．2
3
B ．79
C ．20
31 D
914 第Ⅱ卷
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13
．二项式15的展开式中，常数项为第 项．
14
(,)A x y 程，下表给出了一些条件及方程：
则满足条件①，②，③的轨迹方程分别为 ．（用代号1C ，2C ，3C 填入） 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2
lim
n
n S n →∞= ． 16．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒．将三角形ABD 沿对角线BD 折到A BD '，使得二面角A BD C '--的大小为60︒，则A D '与平面BCD 所成角的正弦值是 ；四面体A BDC '的体积为 ．
三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题共8分）
在ABC ∆中,32C ππ<∠<,sin 2sin sin 2b C
a b A C
=
--． （Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；
（Ⅱ）若求BA BC 的取值范围． 18．（本小题满分8分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3
4
是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有2
3
持银卡．
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．
19．（本小题共
13分） 如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，D 是AC 的中点．
（Ⅰ）求证：1B C 平面1A BD
（Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；
（Ⅲ）求直线1AB 与平面1A BD 所成的角的正弦值． 20．（本小题满分13分）
如图，线段AB 过y 轴上一点(0,)N m ，AB 所在直线的斜率为k (0)k ≠，两端点,A B 到y 轴
的距离之差为4k ．
（Ⅰ）求以y 轴为对称轴，过,,A O B 三点的抛物线方程；
（Ⅱ）过抛物线的焦点作动弦CD ，过,C D 求点M 的轨迹方程并求出
2
FC FD FM
的值．
21．（本小题满分14分） 已知,m n 为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m x mx +≥+；
（Ⅱ）对于6n ≥，已知11132n
n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132n
m
m n ⎛
⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，1,2,
,m n =；
（Ⅲ）求出满足等式34(2)(3)n m m n n n ++++=+的所有正整数n ．
22．（本小题满分14分） 已知函数()e e x f x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）求证：11111231e 1n n
n +++⋅⋅⋅++->+()n *∈N ；
（Ⅲ）对于函数()h x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k b ，使得()h x kx b ≥+和
()g x kx b ≤+都成立，则称直线y kx b =+为函数()h x 与()g x 的“分界线”
．设函数2
1()()e e 2
x h x f x x x =-++
，()eln g x x =，()h x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出,k b 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一：1-5 CACBC 6-10 BCCDD 11-12 CD 二：
13．【答案】：7 14．【答案】：312C C C 15．【答案】：1 16．【答案】
：34
三：
17．解：（Ⅰ）由已知可得 ：
sin sin sin sin 2A A
B C
=
又 ∵0A <<π ∴sin 0A ≠ ∴sin sin 2B C = ∴2B C = 或 2B C =π-
当2B C =时, 30A C =π-<,与0A <<π 矛盾,故2B C ≠
当2B C =π-时, a b c c =π--= ∴ABC ∆是等腰三角形． …
4分
（Ⅱ）∵32C ππ<< ∴2b C =π-0,3π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
由2,BA BC +=两边平方得:
2
2
24BA BA BC BC +∙+= 设BA BC t ==
则2241,1cos 3t B ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭
故 222cos 2,13BA BC t B t ⎛⎫
∙==-∈ ⎪⎝⎭
…
8分 18．解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人
持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”
12()()()P B P A P A =+12111921962133
3636C C C C C C C =+92734170=+36
85
= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685
…4分
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3
33391
(0)84C P C ξ===
,
12633
9
3
(1)14C C P C ξ===
21
633
9
15
(2)28C C P C ξ=== 363915
(3)21
C P C ξ===，
所以ξ的分布列为
所以13155
0123284142821
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， …
8分
19．解法一：（Ⅰ）设1AB 与1A B
相交于点P ，连接PD ，则P 为1
AB 中点， D 为AC 中点，1PD B C ∴
又 PD ⊂平面
1A BD ，∴1B C 平面1A BD
…4分
（Ⅱ） 正三棱住
111ABC
A B C - ∴1AA ⊥底面ABC 又 BD AC ⊥ ∴1A D BD
⊥
∴1A DA ∠就是二面角1A BD A --的平面角．
…
6
分
11111,tan 2
A A
AA AD AC A DA AD
==
=∴∠==∴13
A DA π
∠=
, 即二面角1A BD A --的大小是
3
π
…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）作1,AM A D M ⊥为垂足．
BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC =AC ∴BD ⊥平面11A ACC ，
AM ⊂平面11A ACC ∴BD AM ⊥ 1A D BD D = ∴AM ⊥平面1A DB ，
连接MP ，则APM ∠就是直线1A B 与平面1A BD 所成的角．
…
10分
11,AA AD =∴在1Rt AA D ∆中，13
A DA π
∠=，
∴1311sin 602AM AP AB =⨯=
==∴sin AM APM AP ∠=
∴直线1AB 与平面1A BD 所成的角的正弦值为
7
21
…13分
【解法二】：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （1，0，0），1A （1，0，B （00）
，B （0） ∴1A B =（-1，1A D =（-1，0，设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n 则10A B x =-=n
10A D x =-=n
则有0x y ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
，得(3,0,1)n =-
由题意，知1AA =是平面ABD 的一个法向量． 设n 与1AA 所成角为θ，则1cos 2θ=
， ∴3
θπ
=
∴二面角1A BD A --的大小是3
π
…
8分
（Ⅲ）由已知，得1(1,3,3),(3,0,1)AB n =-=- 则cos α
∴直线1AB 与平面1A BD
…13分
20．解：（Ⅰ）设AB 所在直线方程为y kx m =+，抛物线方程为22(0)x py p => 且1122(,),(,)A x y B x y ，由题目可知120,0x x ><，
∴124x x k -=即124x x k +=，把y kx m =+代入22x py =整理得2220x pkx pm --=， ∴1224x x pk k +==，∴2p =，∴所求抛物线方程为24x y = …4分
（Ⅱ）设223344
11,,,4
4
C x x
D x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
， 过抛物线上,C D 两点的切线方程分别为2331124
y x x x =- 2441124y x x x =- ∴两条切线的交点M 的坐标为3434,24
x x x x +⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
， …
6分
设CD 所在直线方程为1y nx =+，代入24x y =得2440x nx --=， ∴344x x =-，∴M 的坐标为34,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴点M 的轨迹方程为1y =-， …
8分
又∵22334411,1,,144FC x x FD x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， ∴()2222
3434341111444
FC FD x x x x x x ⋅=+
⋅-++ ()()2222
3434341111244
x x x x x x =+-++=-+-， …
10分
而2
222
34343424424x x x x x x FM +++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
()22
34124x x =++， ∴2
1FC FD FM
⋅=-
…
13分 21．【解法1】：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（i ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边＝212x x ++,右边＝12x +,因为20x ≥, 所以左边≥右边，原不等式成立； …2分
（ii ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1k x kx +≥+，则当1m k =+时，
1,10,11k
x x x kx >-∴+>+≥+于是在不等式（）两边同乘以1x +得
2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x +⋅+≥++=+++≥++，
所以1(1)1(1),1k x k x m k ++≥++=+即当时，不等式也成立． 综合（i ）（ii ）知，对一切正整数m ，不等式都成立． …
6分
（Ⅱ）证：当6,n m n ≥≤时，由（Ⅰ）得1(1)10,33
m m n n -
≥->++ 于是111
(1)(1)(1)(),1,2,
,.3332m
n mn n m m m n n n n ⎡⎤-≤-=-<=⎢⎥+++⎣
⎦
…
10分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，
1232
121111
(1)(1)(1)()()133322
221,
n n
n n n n -+-++-<++
+=-+++< 213(
)()()1,
333
34(2)(3),6.
n n n
n n n n n n n n n n n n n ++∴+++<+++++++<+≥即即当时，不存在满足该等式的正整数 …
12分
故只需要讨论n =1,2,3,4,5的情形； 当1n =时，3≠4，等式不成立；
当2n =时，32+42＝52
，等式成立；
当3n =时，33+43+53＝63
，等式成立；
当4n =时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74
,等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n 只有2,3n =．
…
14分
【解法2】：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2,(1)1m m x mx ≥+>+ ○
1 （i ）当2m =时，左边＝212x x ++,右边＝12x +,因为20x ≥,所以左边>右边，不等式①成立；
（ii ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1k x kx +>+,则当1m k =+时，因为1x >-, 所以10x +>．又因为0,2x k ≠≥,所以20kx >． 于是在不等式(1)1k x kx +>+两边同乘以1x +得：
2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++
所以1(1)1(1)k x k x ++>++,即当1m k =+时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立．
…
4分
（Ⅱ）证：当1111
6,1,(1)(),3232
n
m m m n m n n n ⎡⎤≥≤-<∴-<⎢⎥++⎣⎦时，（）
而由（Ⅰ），1(1)133m m
n n -≥-
++ 11(1)(1)().332n
n m m m n n ⎡⎤∴-≤-<⎢⎥++⎣
⎦
…9分
（Ⅲ）解：假设存在正整数0000000634(2)(3)n n n n n n n ≥++
++=+使等式成立，
即有（0033n
n +）+0
00024()(
)3
3
n n n n n ++
+++＝1． ② 又由（Ⅱ）可得
（03
3
n +）0
n +0
000000000021
4()(
)(1)(1)3333
n n n n n n n n n n n +-+
+=-+-+++++0
01(1)3
n n -
+ 000111
11
()()11,22
22
n n n -<+++
=-<与②式矛盾， 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．
…14分
22．解：因为()e e x f x '=-，令()e e 0x f x '=->，解得1x >， 令()e e 0x f x '=-<，解得1x <，
所以函数()f x 在(,1)-∞上递减，(1,)+∞上递增，
所以()f x 的最小值为(1)0f =． …
3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数()f x 在1x =取得最小值，所以()(1)f x f ≥，即e e x x ≥ 两端同时乘以1
e
得1x e x -≥，把x 换成1t +得e 1t t ≥+，当且仅当0t =时等号成立．
由e 1t t ≥+得，1
e 112>+=，1
2
13
e 122
>+=， 1
314e 133>+=，
…
6分
11
1e
111n n n n ->+=
--，1
11
e 1n n n n
+>+=． 将上式相乘得： 1111
1231341
e
21231n n
n n n n n
+++⋅⋅⋅++-+>⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+-．
…
9分
（Ⅲ）设2
1()()()e ln (0)2
F x h x g x x x x =-=->． 则2e e ()x F x x x x -'=-
==
．
所以当0x <<()0F x '<；当x >()0F x '>．
因此x =()F x 取得最小值0，则()h x 与()g x 的图象在x 1
e)2
．
设()h x 与()g x 存在 “分界线”，方程为1
e (2y k x -=．
由1
()e 2h x kx ≥+-在x ∈R 恒成立，
则22e 20x kx --+≥在x ∈R 恒成立．
所以2244e 84(0k k ∆=+-=≤成立．因此k …12分
下面证明1
()e 2g x ≤-(0)x >成立．
设1()e ln e 2G x x =+，e ()G x x '==
所以当0x <<()0G x '>；当x >()0G x '<．
因此x =()G x 取得最大值0，则1
()e 2g x ≤-(0)x >成立．
所以k =1
e 2b =-．
…14分。