屈曲梁Workbench仿真与试验分析

屈曲梁Workbench仿真与试验分析
李爱民
【摘要】研究弹性直梁在受轴向力作用下大变形非线性屈曲分析的方法,并对两端固支的梁进行非线性屈曲分析与仿真实验.根据材料力学,当此弹性直梁所受轴向力大于某一临界值时,梁才会产生大变形,即成为后屈曲梁.直接建立了此后屈曲梁的数学模型,推导出梁受轴向力的理论公式,用椭圆积分法以MATLAB编程求解数学模型,得出其非线性屈曲特征曲线.在AnsysWorkbench中建立相对应的模型,添加相应的边界条件,对其进行非线性屈曲分析.通过实验与理论计算和仿真数据进行对比,验证理论计算的正确性.并且发现随着轴向力的改变,弹性直梁的刚度也是可变的.而对梁屈曲等特性的分析研究,在减振、工业建筑领域方面的应用提供理论依据.【期刊名称】《实验室研究与探索》
【年(卷),期】2018(037)005
【总页数】5页(P95-99)
【关键词】大变形;非线性屈曲;椭圆积分;Workbench仿真;变刚度
【作者】李爱民
【作者单位】江苏建筑职业技术学院机电工程学院,江苏徐州221116
【正文语种】中文
【中图分类】O343;TH122
0 引言
弹性直梁的平衡和稳定性问题起源于1730年Daniel Bernoulli和Euler的工作[1]，即最经典的欧拉-伯努利梁，在材料力学中有具体的阐述[2-3]。

但是，欧拉-
伯努利方程只是针对梁的小变形进行分析。

随着技术的发展，人们开始对梁大变形进行研究，如梁的平面大变形的椭圆解[4-5]，在研究梁大挠度的过程中，梁屈曲
稳定有一定的临界值，即前屈曲过渡到后屈曲，实际运用中，需要推导出不同约束条件下屈曲的临界值[6]，进而对其大挠度进行求解[7-8]。

国外早已对受轴向压缩
的梁进行研究，如文献[9-10]中对受轴向力屈曲梁的稳态性探究，而大多数是对梁在横向力作用下特性的研究分析[11] 。

赵剑[12-13]则利用屈曲的跳跃特性设计出加速度开关等。

随着研究的进一步深入，对弹性直梁的研究不仅局限于对其力学性能的分析，而是在力学的基础上发现它的刚度可变以及振动特性[14-17]。

本文针对受轴向力的弹性直梁进行理论建模、仿真和实验三个部分的非线性屈曲分析，获得偏转角、轴向力、挠度等之间的关系曲线，发现受轴向力梁刚度可变的特性，并作出刚度变化曲线。

弹性直梁刚度可变的特性在减振、隔振的领域具有重要的应用。

1 轴向受力屈曲梁理论模型
以两端固支的弹性直梁为例，选择一端施加轴向力P，当轴向力大于稳定临界值时，直梁将发生大挠度非线性屈曲变形，如图1所示。

图1 受轴向力梁大变形
显然，图形是左右对称的，故可以得到图2。

图2 受轴向力梁大变形1/2图
进一步分析，图2类似于固定导向机构，可以把图2简化如下图3所示，它是图
1的1/4。

通过力平移的知识，对图1的受力分析能够简化为对图3进行分析。

图3 受轴向力梁大变形1/4图
图中：P为轴向力(N)；l为梁原长度(m)；l1为梁被压缩后的长度(m)；Ux为轴向
压缩量(m)；WB为挠度(m)；M0，Mr为作用弯矩；E为弹性模量；I为惯性矩。

在平移1/4处的自由端，M0=M1+M2，其中，M1是初始力偶，M2是附加力偶，则
M2=PwB/2
(1)
(2)
即：
(3)
(4)
对式(4)两边进行积分得：
(5)
(6)
代入边界条件到式(6)，得
(7)
所以
(8)
由图3知，B′是屈曲梁1/4处的拐点，根据数学拐点的定义，M0=0。

故曲率公式为：
(10)
令
(11)
则
(12)
对式(3)积分以及三角函数倍角公式转换，得
(13)
设sin(θ0/2)=Κ，引入新变量φ，令
(14)
对式(5)两边求导，得
(15)
将式(6)代入到式(4)，并结合椭圆积分公式，得
(16)
可以推导出轴向力作用下，梁的X、Y方向的位移变化量[2]
(17)
(18)
因此，它的垂直位移和轴向位移为：
y=
(19)
x=
(20)
同时，可以得到在X轴方向的压缩量为：
(21)
综上，可以得出轴向力，挠度的表达式为：
(22)
而对于受轴向力梁，它在X轴上的刚度可表示为：
(23)
根据以上理论公式推导，使用椭圆积分分别计算出轴向力与轴向位移、挠度、刚度之间的对应关系，如表1所示。

2 轴向受力屈曲梁workbench仿真
Ansys Workbench作为经典的有限元分析软件，具有准确、真实、可靠的特点。

本文使用其对弹性直梁进行非线性屈曲分析，弹性直梁的长度为200 mm，横截
面是矩形，宽度为30 mm，厚度为1 mm，弹性模量E为200 GPa。

具体流程如图4所示。

首先建立上述参数的弹性直梁，然后导入workbench里，接着，按照图4的流程进行设置和求解，如图5所示。

由图5，第1个Static Structural包括Linear Bucking模块，主要是对梁进行线
性屈曲分析，通过在Workbench里添加约束，对梁的模型施加1 N的轴向力可
以得到梁屈曲的临界值，为493.49 N，与材料力学计算的临界值493.48 N基本
相等，验证了建模的准确性。

梁的弯曲情况如图6所示。

表1 参数关系表P/Nf/mmx/mmKg/(N·m-1)494.13493 954
840495.9649.5993 981.1499.1948445 707.3503.51248253
851.5509.21546165 094.3516.41845116 929.2525.1214487
939.2535.3234269 179.4547.2264056 377.1561.1283847 282.9577.0303540 622.2595.2323335 629.3615.8343031 821.9639.4362728 886.6666.2372426 612.1696.8382124 853.7731.8391823 510.9771.9391522 514.8818.0401221 815.9871.540921 386.9933.840621 211.91 007.439221 289.9
图4 非线性屈曲流程图
图5 非线性分析
图6 临界屈曲图
接着由APDL模块提取其几何缺陷，再进行几何模型的重新生成，最后进行非线
性屈曲分析。

如图7所示，当力大于临界值后继续增大，弹性梁非线性屈曲和跳
跃曲线图。

(a) 屈曲梁大变形图(b) 屈曲梁跳跃曲线图7 超过临界值的屈曲梁形变
明显地，在1 725 s附近有跳跃现象，即梁轴向力的大小此时已大于其临界稳定值。

通过以上仿真分析，结合第1部分梁公式的理论推导，可以得出轴向力与挠度、轴向力与横向位移、横向位移与挠度的理论曲线与仿真曲线图，如图8所示。

由图8可知，仿真分析与理论计算基本一致，进一步验证了理论模型建立的正确性。

而在梁被压缩过程中，梁刚度是可变的，如表1所示刚度随轴向力先变小后又变大。

刚度可变在工程应用中具有重要意义。

(a) 轴向力与挠度曲线图(b) 横向位移与挠度曲线图(c) 轴向力与横向位移曲线图图
8 轴向受力弹性梁仿真图
3 试验研究
根据第2节的分析，取与仿真中的梁相同的尺寸，使用万能拉压机，对梁进行压缩实验，如图9所示。

图9 梁压缩实验前、后状态图
在图9中，在梁的1/4处有一个蓝色标记，表示数据的测量开始点，在测量过程中，使用电脑控制压力机行走的速度，试验中为5 mm/min，并每隔1 min记录并提取轴向力与挠度之间的关系数据。

具体的测量值如表2所示。

结合理论和仿真，得出实验与其对比图，如图10所示。

其中，可以清楚地看出，实验的数据与理论以及仿真数据基本吻合，也证明了本文理论的正确性。

4 结语
(1) 本文以一根弹性直梁为研究对象，对其在两端固支的情况下受轴向力作用时进行非线性屈曲分析研究。

表2 实验参数关系表
P/Nf1/mmP/Nf1/mm494.13.9595.234.5495.94.4615.835.8499.18.6639.437.4 503.516.5666.238.5509.217.9696.839.2516.421.0731.839.8525.124.0771.939 .8535.325.6818.098.0547.228.7871.540.0561.130.0933.840.0577.032.91 007.439.0
图10 实验与理论和仿真数据对比
(2) 建立梁非线性屈曲的理论数学模型，用椭圆积分进行求解。

然后，建立其三维模型，导入Ansys Workbench里进行有限元分析和实验分析，验证理论计算的正确性。

对现实中柔性梁受轴向力的变形提供理论依据和指导意义。

(3) 在对柔性梁力学的分析中发现不同轴向力，导致梁刚度的变化，即存在变刚度的特性，而刚度的可变在工程机械、舰船领域有重要应用，为后续研究开发提供一定的理论指导。

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