湖北省部分重点中学2012届高三起点考试(数学)

湖北省部分重点中学2011—2012学年度高三年级起点考试
数 学 试 卷
本卷满分:150分 试卷用时：120分钟
命题学校:武汉四中 命题人:晏海燕 汤闪 审题人：李清华
第Ⅰ卷(选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题只有
一项是符合题目要求的）
1.设全集U=R ，集合15{|||}2
2
M x x =-≤，{|14}P x x =-≤≤，则()U
C
M P ⋂等于（ ）
A ．}24|{-≤≤-x x
B ．}31|{≤≤-x x
C ．}43|{≤≤x x
D ．}43|{≤<x x
2.“1a ="是“直线0x y +=和直线0x ay -=相互垂直”的（ )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3。

(理）定积分ln 20
e x dx
⎰的值为（ )
（A ）－1 （B ）1
(C ）2
e 1
- (D)2
e
（文）抛物线2
8y x =-的焦点坐标是(
）
(A ）
(2,0)
(B ） (2,0)-
(C)
(4,0)
（D ）
(4,0)-
4．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表
面积 等于
（A ）3465+ (B)66
543+
（C)
665413++ (D)176
5+
5．执行下面的程序框图，输出的S 值为 （ ）
A ．10
9
B ．18
7
C ．9
8
D ．5
2
6． 设函数()sin(2)3
f x x π=+,则下列结论正确的是（ ) ①．()f x 的图象关于直线3
x π=对称
②．()f x 的图象关于点(,0)4
π对称
③．()f x 的图象向左平移12
π个单位，得到一个偶函数的图象
④．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]6
π上为增函数
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ③ 7．已知函数
()x f x a x b =+-的零点(,1)()
x n n n Z ∈+∈，其中常数,a b 满足
23,32a b ==，则n 的值是( ）。

A ．—2
B ．-1
C ．0
D ．1 8．在区间[,]22
ππ-上随机抽取一个数x,
cos x 的值介于
0和12
之间的概率
为（ ）
A ．12
B ．23
C ．13
D ．6
π
9.直线3y kx =+与圆2
2(3)
(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点,23MN ≥，
则k 的取值范围是( ）
3.[,0]4
A -
3
.(,][0,)4
B -∞-⋃+∞
33.[,]33
C -
2.[,0]3
D -
10。

已知在ABC ∆中，ACB 90∠=，
BC 3AC 4==，.P 是AB 上的点,则点P 到
AC BC ，的距离的积的最大值是（
）
A ． 2
B ．3
C ．332
D ．3
2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查,右图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。

根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13,14］内的人数大约是140人，则高一共有男生 人.
12．已知(2,1)a =,b ∥a ，a ·b =10，则b = 。

13．（理）等差数列{}n
a 中，则3
4512,a
a a ++=则3642a a +=
，
若数列{}n
b 为等比数列，其前n 项和n
S ,若对任意*
n N ∈，点(,)n
n S 均
在函数(01,x
y b
r b b b r =+>≠且，为常数）图象上，则r= 。

（文）等差数列{}n
a 中，若3
4512,a
a a ++=则3642a a += ，若数
列{}n
b 的前n 项和为31n n
S
=-，则通项公式n b =。

14．如图，在直三棱柱111
ABC A BC -中,底面ABC
是等腰直角三角形，且
AC BC ==
侧棱1CC =，点Ｄ是11A B 的中点,则异面直线1BC 与
AD 所成的角的余弦值是 。

15． （理科)设函数123(1)()lg
x x x x x m m a f x m
+++
+-+=，其中,a R m ∈是给定．．
的正整数．．．．
，且2m ≥.如果不等式()(1)lg f x x m >-在区间[1,)+∞上有解，则实数a 的取值范围是 。

（文科）设函数
1()lg x m a
f x m
+=,其中,a R m ∈是给定的正整数．．．．．．，且2m ≥。

如果不等式()(1)lg f x x m >-在区间[1,)+∞上有解，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：（本大题6小题,共75分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤）
16。

（本小题满分12分） 已知
函数
()sin()(0,0)
f x wx w ϕϕπ=+>≤≤为偶函数，其图像上相邻的两个最高点间
的距离为
2π。

（Ⅰ）求()f x 的解析式;
（Ⅱ）若1(,),(),32
3
3
f πππαα∈-+=求2sin(2)3
π
α+
的值。

17。

（本小题满分12分）如图
PA ⊥平
D A 1
1
面ABCD,四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点.
（Ⅰ）求证:AF//平面PCE ；
（Ⅱ）若PA=AD 且AD=2，CD=3,求P —CE —A 的正切值. 18．(本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离
(4,1)M ,直线:l y x m =+交椭圆于不同的两点A ，
B 。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形.
19。

（本小题满分13分）已知{}n
a 是单调递增的等差数列，首项1
3a =,
前n 项和为n
S ,数列{}n
b 是等比数列，首项1
b =1,且22
12a b
=，3220S b +=。

(Ⅰ）求{}n
a 和{}n
b 的通项公式。

（Ⅱ）（理科)令cos ()n n n C S a n N π+
=∈（），求{}n c 的前n 项和n
T .
（文科)令()n
n C
nb n N +=∈,求{}n c 的前n 项和n
T 。

20. （本小题满分14分)
（理科）设函数()ln 1f x x x =-+，（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：
ln 1x x ≤-;
(Ⅲ)证明:22
22222ln 2ln3ln 21
(,2)232(1)
n n n n N n n n +--++
+<∈≥+ （文科)设函数
2321
()1...,2321
n n x x x f x x n N n -*=-+-+-∈-
（Ⅰ）研究函数2
()f
x 的单调性并判断2()0f x =的实数解的个数；
（Ⅱ)判断()0n
f x =的实数解的个数，并加以证明.
21. (本小题满分12分)
（选做题）请考生在A 、B 、C 三题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

A ．选修4—1（几何证明选讲）已知AD 为圆O 的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A ，直线O
B 与弦A
C 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M,连接DC ，AB=10,AC=12。

（Ⅰ）求证:BA ·DC=GC ·AD ；(Ⅱ)求BM 。

B
B ．选修4—4（坐标系与参数方程）求直线1413x t
y t
=+⎧⎨
=--⎩（t 为参数)被曲线)4
π
ρθ=
+
所截的弦长。

C ．选修4-5（不等式选讲)（Ⅰ）求函数y =;
（Ⅱ）已知a b ≠，求证:4
2242264()a
a b b ab a b ++>+.
湖北省部分重点中学2011—2012学年度高三年级起点考试
数 学 试 卷 答 案
一．
选择题：
二．
填空题:
1231
11.20013.24,12314.
2n m m a m
---->
（理科）（文） （理）a>（文）三．解答题
16． （本小题满分12分）解：由题，图象上相邻的两个最高点之
间的距离为2π，即可得到2T π=，即2w T
π
=1
=,因为
()
f x 是偶函
数,()2
k k πϕππ∴=+∈，又0ϕπ≤≤，2
πϕ∴=，则()cos f x x =.………………………6分
（Ⅱ)由已知得
1
cos()33
πα+=
,
(,)
32
ππ
α∈-，
5(0,
)3
6
π
πα∴+
∈，则
sin()3πα+=2sin(2)2sin()cos()333a a πππα∴+=++=12
分
17。

（本小题满分13分）
证：(1）取PC 中点M ，连ME ，MF
∵FM//CD ，FM=CD 2
1，AE//CD ，AE=CD 2
1
∴AE//FN,且AE=FM,即四边形AFME 是平行四边形 ∴AE//EM ， ∵AF
⊄
平面PCE
⇒
AF//平面
PCE ………………………6分
（2)延长DA ，CE 交于N ，连接PN ，过A
作AH ⊥CN 于H 连PH 。

∵PA ⊥平面ABCD ∴PH ⊥CN （三垂线定理）
∴∠PHA 为二面角P —EC-A 的平面角……8分 ∵AD=2，CD=3 ∴CN=5，即EN=P ,2
5A=AD ∴PA=2 ∴AH=
56
2
523
2=⋅
=⋅EN AE AN 3
5
5
62tan ===
∠AH PH PHA ∴二面角P —EC —A 的正切值为.3
5………………………12分
18.解:（Ⅰ)设椭圆的方程为22
221x y a b +=
，因为e =224a b =，又因为
(4,1)M ,所以221611a b +=，解得22
5,20b a ==，故椭圆方程为221205
x y +=。

……………
4分
（Ⅱ）将
y x m
=+代入
22
1205
x y +=并整理得
22584200
x mx m ++-=，
22(8)20(420)0m m =-->，解得55m -<<。

………………………7分
(Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1
k 和2
k ，只要证明1
2
0k k
+=。

设11(,)A x y ，
22(,)B x y ，
则212128420
,55
m m x x x x -+=-=。

12122112121211(1)(4)(1)(4)
44(4)(4)
y y y x y x k k x x x x ----+--+=
+=
---- 122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)
8(1)0
55
x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子
………………………12分
19． 解：(Ⅰ）设公差为d ，公比为q ，则22
(3)12a b d q =+=
322233(3)9320S b a b d q d q +=+=++=++= 311,113d q q d +==-
2(3)(11)332312d d d d +-=+-=,232210,(37)(3)0d d d d --=+-=，
{}n
a 是单调递增的等差数列，d 〉0。

则3,2d q ==，3(1)33n
a
n n =+-⨯=，12n n b -=………………………6分
（Ⅱ） （理科）2233,22
cos33322
n n n n S n n n c S n S n n n π⎧
=+⎪⎪==⎨⎪-=--⎪⎩是偶，是奇
(9)
分
当n 是偶数，
123123412463(2)
6121834
n n n n n T c c c c S S S S S S n n a a a a n -=++++=-+-+--++=+++
+=+++
+=
………………10分
当n 是奇数，
2213(1)(1)333
(1)4224
n n n n n T T S n n n --+=-=
--=-+
综上可得23(2)
,4
3(1),4
n n n n T n n +⎧⎪⎪=⎨
⎪-+⎪⎩是偶是奇………………………13分
（文)
112,2n n n n b c n --==，12n n T c c c =++
+
01211222322n n T n -=++++
121121222(1)22n n n T n n --=++
+-+………………………9分
01211121212122n n n T n ---=+++
+-
2121)21n n n n n T n T n -=--=-+，（ (13)
分
20． （理科)解：(Ⅰ)由已知10,()1x f x x
'>=-,由()0f x '>，得110x
-<,11x
<，1x >。

()f x ∴在1+∞（，）上为减函数，在0,1（）为增函数。

(4)
分
（Ⅱ）由(Ⅰ）知：当1x =时，max
()
110f x =-+=。

对任意0x >,有()0f x ≤即ln 10x x -+≤。

即ln 1x x ≤-………………………8分
(Ⅲ）由（Ⅱ）知,ln 11x x
x
≤-，当2x ≥时，
则ln 11x x x ≤-,2
22ln 11(2)n n n N n n
+∴≤-≥∈且
22
2222222ln 2ln3ln 11
1(1)(1)(1)2323
n n n
+++<-+-++-
22
2
111
(1)(
)23n n =--+++ 又2
1
111
(1)1
n n n n n >
=-+-
22211111111111
()()()232334
121
n n n n +++>-+-++-=-++ 左式2113121
121212(1)
n n n n n n n --<--+=-+=
+++………………………14分
20（文）解：（1）23222213
()1,()1()02324
x x f x x f x x x x '=-+-=-+-=---<
所以2
()f
x 在(,)-∞+∞单调递减. ………………………4分
1()1f x x =-有唯一实数解1x =.
由
23
2222(0)10,(2)12023
f f =>=-+-<，及2()f x 在(,)-∞+∞单调递减,
知2
()f
x 在(0,2)有唯一实数解,从而2()f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解。

推断()n
f
x 在(,)-∞+∞有唯一实数解 (8)
分
(2）当2n ≥时，由
23
21()1,*23
21
n n x x x f x x n N n -=-+-+
-∈-，得 22322()1n n n f x x x x x --'=-+-+
+-
(i ）若1x =-，则()(1)(21)0n
n
f x f n ''=-=--< (ii ） 若0x =，则()10n
f x '=-<
(iii ） 若1x ≠-且0x ≠时，则211
()1
n n x f x x -+'=-
+ ① 当1x <-时，21
10,10,()0n n x x
f x -'+<+<<
② 当1x >-时，21
10,10,()0n n x x
f x -'+>+><
综合i, ii ， iii ，得()0n
f x '<,即()n
f
x 在(,)-∞+∞单调递减
(0)1n f =〉0，又
2345
2221
222222(2)(12)()()()2345
2221
n n n f n n --=-+-+-+
+---
24221212
12
1()2()2(
)22345
2221
n n n -=-+-+-+
+--- 24
221323
12222345
(22)(21)
n n n n --=--
---
⋅⋅--<0
所以()n
f
x 在(0,2)有唯一实数解，从而()n f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解。

综上，()0n
f x =有唯一实数
解.……………………………………………14分 21． A.(Ⅰ）证明：因为AC OB ⊥，所以0
90AGB ∠=
又AD 是圆O 的直径，所以0
90DCA ∠=
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角) 所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以BA AG AD
DC
=
又因为OG AC ⊥,所以GC AG =
所以BA GC AD
DC
=，即BA DC GC AD ⋅=⋅………………………6分
(Ⅱ）解：因为12AC =，所以6AG =， 因为
10AB =，所以8BG =
=
由(1）知:Rt AGB ∆∽Rt DCA ∆，所以AB BG AD
AC
= 所以15AD =，即圆的直径215r = 又因为()2
2AB
BM BM r =⋅+,即2151000BM BM +-=
解得5BM =．………………………12分
B ．解：由⎩
⎨⎧--=+=t y t
x 3141
得直线的普通方程为0143=++y x
2cos()cos sin 4
π
ρθθθ=+=-，∴2cos sin ρρθρθ=- 22x y x y ∴+=-
，即2
1)21()
2
1(22
=++-y x
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离101
=d ，∴所求的弦长为
725
=． ………………………12分
C ．解：(1)函数定义域为[5,6]，0y >。

35463546y
x x x x =-+-=-+
-5≤=
当且仅当56x x -=-时，即当112
x =时，max
5y
=。

………………………6分
(2）
42242264()a a b b ab a b ++-+
42242222222222
2
2
2
4
424(2)
()4()()()4()()(24)()()(),()0
a a
b b ab a ab b a b ab a b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a b a b a b a b =-+--+=---=+---=-++-=--=-≠∴->
由此可知原命题成立.………………………12分。