核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用一课件文

B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，1)
解：∵f′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）x（x－1）(x＞0)．
∴当 x∈(0，1)时 f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选 A.
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设函数 f(x)＝2xex－1，则( ) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解：导数为 0 的点不一定是极值点(如 y＝x3，在 x＝0 处)， 而极值点的导数一定为 0.极值是局部概念，因此极小值可能有
多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选 D.
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(2015·北京海淀区模拟)函数 f(x)＝x2－2lnx 的
单调递减区间是( )
A．(0，1)
∴f(x)＋g(x)在(－∞，1]上的最大值为 12.
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点拨： 函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个 最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在 端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小
值点取得．
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设函数 f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数 y＝f(x)
解：求导得 f′(x)＝2ex＋2xex＝2ex(x＋1)，令 f′(x) ＝2ex(x＋1)＝0，解得 x＝－1，易知 x＝－1 是函数 f(x)
的极小值点．故选 D.
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函数 f(x)＝13x3－4x＋4 在[0，3]上的最大值为________，
在[0，3]上的最小值为________．
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点拨： 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数 的符号，当 f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集
的影响进行分类讨论．
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(2014·山东)设函数 f(x)＝xe2x－k2x＋lnx (k≤0，k 为常数，e＝
2.71828…是自然对数的底数)，求函数 f(x)的单调区间．
间上是________． 2．函数的极值与导数
(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当 f′(x0)＝0 时， ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧____________，右侧____________，那么 f(x0)
解：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＞0，得 x＞2 或 x＜－2； 令 f′(x)＜0，得－2＜x＜2. 所以 f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2， 2)上单调递减，而 f(2)＝－43，f(0)＝4，f(3)＝1，故 f(x)在[0， 3]上的最大值是 4，最小值是－43.故填 4；－43.
(1)在闭区间[a，b]上图象连续不断的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小
值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则____________为函数在[a，b]上的最 小值，____________为函数在[a，b]上的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递 减，则____________为函数在[a，b]上的最大值，____________为函数在[a，b]
则 h′(x)＝3x2＋8x＋5＝(3x＋5)(x＋1)．
x，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
( ) ( ) －∞，－53
－53
－53，－1
－1 (－1，＋∞)
h′(x) ＋
0
－
0
＋
极大
极小
h(x)
值
值
所以 f(x)在－∞，－53，(－1，＋∞)上单调递增，在－53，－1上单
调递减．
∵h－53＝247，h(1)＝12，12＞247，
f′（0）＝0， b＝0. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，a)时，f′(x)＜0， 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)；单调递减区间为
(0，a)．
＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线．
(1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，1]
上的最大值．
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解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， ∵f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)， ∴a＋2＝1＋b，且 2a＝3＋b，解得 a＝4，b＝5. (2)设 h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋4x2＋5x＋2，
(2)求函数 f(x)的极值．
解：(1)f′(x)＝32x2＋c，当 x＝1 时，f(x)取得极值，
则 f′(1)＝0，即32＋c＝0，得 c＝－32.
故 f(x)＝12x3－32x.
(2)f′(x)＝32x2－32＝32(x2－1)＝32(x－1)(x＋1)，
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 1.
第三章
导数(dǎo shù)及其应用
• 3.2 导数(dǎo shù)的应用( 一)
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1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内 ____________ ； 如 果 f′(x)<0 ， 那 么 函 数 y ＝ f(x) 在 这 个 区 间 内 ____________；如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，那么函数 f(x)在这个区
(2)f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x x2，
∵当1e≤x≤e 时，令 f′(x)＞0，得1e≤x＜1；
令 f′(x)＜0，得 1＜x≤e，
∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)在1e，e上的最大值为 f(1)＝－12.
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类型五 实际应用问题(优化问题)
由此知函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值 f(5)＝－ln5.
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点拨： 找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数
的零点就是极值点(如 y＝x3)，还要保证该零点为变号零点．
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已知函数 f(x)＝12x3＋cx 在 x＝1 处取得极值．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)由(1)知 f(x)＝4x＋45x－lnx－32， 则 f′(x)＝x2－44xx2－5. 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5.
因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当 x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(0，5)上为减函数；
当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
是极小值．
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(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程____________的根；
③检查 f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么 f(x)
在这个根处取得____________；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得
____________． 3．函数的最值与导数
(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水 池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积
为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为
100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总
的图象在 x＝1 处与直线 y＝－12相切．
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求函数 f(x)在1e，e上的最大值．
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解：(1)f′(x)＝ax－2bx，
∵函数 y＝f(x)的图象在 x＝1 处与直线 y＝－12相切，
f′（1）＝a－2b＝0，
a＝1，
∴f（1）＝－b＝－12， 解得b＝12.
点拨： 导函数的图象在哪个区间位于 x 轴上方(下方)，说明导函数 在该区间大于 0(小于 0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调
递增(单调递减)．
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(2014·北京联考)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象， 则下面判断正确的是( )
A．在(－2，1)上 f(x)是增函数 B．在(1，3)上 f(x)是减函数 C．当 x＝2 时，f(x)取极大值 D．当 x＝4 时，f(x)取极大值 解：由 y＝f′(x)的图象可得 y＝f(x)的大致图象如图．
解：函数 y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝x2ex－x42xex－k－x22＋1x
＝xex－x32ex－k（xx－2 2） ＝（x－2）x（3 ex－kx）. 由 k≤0 可得 ex－kx＞0， 所以当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数 y＝f(x)单调递减，
x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数 y＝f(x)单调递增． 所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
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若函数 f(x)＝kx－lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则
实数 k 的取值范围是________．
解：依题意得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 k≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1.故填[1，＋
∞)．
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类型一 导数法判断函数的单调性
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－ 1)
－1
(－1， 1)
1 (1，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
0
＋极极源自f(x)大小
值
值
因此，f(x)的极大值为 f(－1)＝1，极小值为 f(1)＝－1.
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类型四 导数法研究函数的最值问题
已知函数 f(x)＝ax2＋2，g(x)＝x3＋bx.若曲线 y
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类型三 导数法研究函数的极值问题
(2014·重庆)已知函数 f(x)＝4x＋ax－lnx－32，其中 a∈R， 且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x.
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
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解：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x，由 f(x)在点(1，f(1))处的切线 垂直于直线 y＝12x 知 f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54.
已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )
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解：由题意得函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则其导函 数在(0，＋∞)上恒小于 0，排除 B，D；又∵函数 y＝f(x)在(－∞， 0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(－∞， 0)上先大于 0，后小于 0，再大于 0，排除 C，故选 A.
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自查自纠：
1．单调递增 单调递减 常数函数 2．(1)②f′(x)＜0 f′(x)＞0
(2)②f′(x)＝0 ③极大值 极小值
3．(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
(3)②f(a) f(b) 最大值 最小值
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关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为 0 的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
由图可知，A，B，D 均错．故选 C.
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类型二 导数法研究函数的单调性
(2015·荆州质检)设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y＝1.
(1)求 b，c 的值；
(2)若 a＞0，求函数 f(x)的单调区间．
解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得f（0）＝1， 即c＝1，
上的最小值．
(3)设函数 f(x)在[a，b]上图象连续不断，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b] 上的最大值和最小值的步骤如下：
①求 f(x)在(a，b)内的极值； ②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大
的一个是________，最小的一个是________．