均质未贯穿竖井地基粘弹性固结分析

1引言
流变性质对土的应力变化、变形、强度和固结 等均有影响，是土的重要工程性质之一。随着人们
对土体流变特性的认识，一些学者将流变模型引入 到固结理论中，并取得了一定的成果。如文[1]提出 了陈宗基固结理论流变模型；文[2]基于 Merchant 流变模型给出了，一维固结问题的级数解；文[3]提 出了一种适用于土体的流变模型；文[4]也对流变模
⎜⎛ ⎝
r
∂us1 ∂r
⎟⎞ ⎠
+
kv γw
∂ 2u1 ∂z 2
=
1 Es
∂u1 ∂t
+
∫ t ∂u1 dδ (t −τ ) dτ
0 ∂τ d(t −τ )
( rw ≤r≤ rs )
(2)
kh ∂ ⎜⎛ r ∂un1 ⎟⎞ + kv ∂2u1 = 1 ∂u1 + rγ w ∂r ⎝ ∂r ⎠ γ w ∂z2 Es ∂t
第 24 卷 第 11 期
刘加才等. 均质未贯穿竖井地基粘弹性固结分析
• 1973 •
型在土力学方面的应用进行了研究；文[5]提出了基 于广义 Voigt 模型模拟的饱水土体一维固结理论。 文[6]利用 Kelvin 流变模型，运用 Laplace 变换及矩 阵传递法求解了任意荷载下成层粘弹性地基一维变 形问题。以上固结理论是针对一维固结问题进行研 究的，一些学者逐渐将流变模型引入到竖井地基固 结理论的研究中。早在 20 世纪 60 年代，郭志平在 钱家欢教授指导下将巴隆理论推广到麦钦特粘弹性 土体情况[7]；文[8]用广义 Voigt 模型求解竖井地基 固结问题；文[9]发展了赵维炳的理论，推导了基于 Merchant 流变模型的自由应变和等应变条件下竖井 地基粘弹性解；文[10]提出的竖井地基粘弹性解也 基于 Merchant 流变模型，他考虑了半透水边界情 况。这些解答均针对竖井打穿情况，实际工程中， 由于软土较为深厚或者其他原因，有时会出现竖井 未打穿软土层的情况。由于竖井未打穿情况较为复 杂，关于这方面的解析解并不多。文[11]将土体视 为线弹性体，提出了考虑竖井打设区和下卧层相互 影响的固结解析解。但关于竖井未打穿情况下的粘 弹性固结的研究较少有文献提及。本文采用 Merchant 流变模型，对均质地基竖井未贯穿情况下 的粘弹性解进行了研究，最后对一工程算例进行了 具体分析。
为了求解问题的方便，一般将通过竖井底部的
水平面称为渗透面，将渗透面以上部分称为竖井打
设区，将渗透面以下部分称为下卧层。采用文[11]
求解未打穿竖井地基的等应变假定及渗透面上连续
条件，并结合 Merchant 流变模型，可得如下控制方
程，连续条件，边界条件以及初始条件。
2.2 控制方程
ks rγ w
∂ ∂r
(10b) (10c) (11)
3 问题的求解
对竖井打设区进行一系列数学变换，可得如下 仅含 u1 和 uw 的方程：
kv Es γw
∂4uw ∂z 4
− kh Es γw
2 re2 F
⎡ ⎢1
+
⎣
kv kw
(n2
−⎤ 1)⎥Βιβλιοθήκη ⎦∂2uw ∂z 2
=
∂2 f (uw ) ∂z 2
−
kh kw
2(n2 −1) re2 F
第 24 卷 第 11 期 2005 年 6 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.11 June，2005
均质未贯穿竖井地基粘弹性固结分析
刘加才 1，赵维炳 2，明经平 2，黄家清 1
(1. 南京工业大学 土木工程学院，江苏 南京 210098；2. 南京水利科学研究院 土工研究所，江苏 南京 210024)
LIU Jia-cai1，ZHAO Wei-bing2，MING Jing-ping2，HUANG Jia-qing1
(1. College of Civil Engineering，Nanjing University of Technology，Nanjing 210098，China； 2. Geotechnical Engineering Department，Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing 210024，China)
2 数学模型
2.1 计算简图 竖井未打穿均质地基固结模型可用图 1 描述，
竖井打设深度为 H1，下卧层厚度为 H2，软土总厚度 为 H = H1 + H2。kh 为土体水平向渗透系数，kv 为土 体竖直向渗透系数，ks 为涂抹区的渗透系数，kw 为 竖井的渗透系数。De 为等效排水直径，Ds 为涂抹直 径，Dw 为竖井直径。竖井地基顶部为排水面，下卧 层底部为不排水面。底部为排水情况可参照不排水 情况求解。r，z 分别为径向和竖向坐标。设荷载瞬 时施加 q = q0，土体的应力–应变关系采用 Merchant 流变模型，渗透满足达西定律。
摘要：针对均质深厚软土地基竖井未打穿情况，采用 Merchant 流变模型，将现有未贯穿竖井地基线弹性固结理论
进行了推广，推导了竖井未打穿均质地基的粘弹性固结解析解。该解考虑了涂抹和井阻作用以及竖井打设区和下
卧层的相互影响。将解答编制成应用程序，用该程序分析了一竖井未打穿均质地基。分析表明，土体粘滞性对前
区中土体孔压； un1(r，z) 为自然区中土体孔压；
uw (z) 为竖井中孔压；Es 为土体的压缩模量， Es =
(1 −ν )E0 (1 − 2ν )(1 +ν
)
；ν
为土的泊松比；δ
(t)
=
a0{1 +
a1[1 −
exp(−η1t)]}， a0
=
1 E0
， a1
=
E0 E1
，η1
=
E1 K1
。
2.3 连续条件
Abstract：Soft soil layer is sometimes too deep to be penetrated by vertical drains in engineering practice. Merchant rheological model is adopted；and the viscoelastic analytical solutions are derived for the consolidation of homogeneous ground with partially penetrated vertical drains based on the existing consolidation theory of ground with partially penetrated vertical drains. Interaction relation between the section with vertical drains and the section without has been taken into account in the solution. In addition，the effects of both well resistance and smear action also have been considered. The solutions have been coded into a program and it is used to analyze a case of homogeneous ground with partially penetrated vertical drains. The results show that viscosity has little effect on the forepart consolidation rate. However，it slows the average consolidation degree in the later period. Soil viscosity has greater effects on the substratum than those on the section with vertical drains. Key words：soil mechanics；consolidation；homogeneous ground；viscoelastic characteristics；vertical drain wells； rheological model
σ
E0
K1
σ
E1
图 2 Merchant 流变模型 Fig.2 Merchant rheological model
关于 Merchant 流变模型的确定方法，一般有
Gibson-Lo 方法和下降法两种。对上海某小型锅炉
房粘土地基研究表明：下降法计算结果精度比按
Gibson-Lo 方法确定参数时高 7%左右(见文[7])。
(9a)
ks
∂us1 ∂r
= kh
∂un1 ∂r
(9b)
2.4 边界条件
竖井顶面(z = 0)：
uw = 0 ， u1 = 0
(10a)
竖井侧面(r = re)： ∂un1 = 0 ∂r
下卧层底面(z = H = H1 + H2)： ∂u2 = 0 ∂z
2.5 初始条件
u1
t =0
=
q0
⎪⎫ ⎬
u2 t=0 = q0 ⎪⎭
f (uw )
(12)
kv Es γw
∂ 4u1 ∂z 4
−
kh Es γw
2 re2 F
⎡ ⎢1 + ⎣
kv kw
(n2
−
⎤ 1)⎥
⎦
∂ 2u1 ∂z 2
=
∂2 f (u1) ∂z 2
−
kh kw
2(n2 −1) re2 F
f (u1)
(13)
∂ 2uw ∂z 2
= − kh kw
2(n2 −1) re2 F
竖直向连续条件(渗透面上的连续条件，且 z =
H1)：
uw = u2
(7a)
u1 = u2
(7b)
k v π(re2
−
rw2
)
∂u1 ∂z
+ kw πrw2
∂uw ∂z
= kvπre2
∂u2 ∂z
(7c)
径向连续条件(r = rw)：
us1 = uw
(8)
径向连续条件(r = rs)：
us1 = un1
收稿日期：2004–02–19；修回日期：2004–04–23 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50279021) 作者简介：刘加才(1970–)，男，博士，1995 年毕业于河海大学工程地质水文地质专业，现任讲师，主要从事软土特性及其地基处理方面的研究工作。 E-mail：liujchhu@。
∫ t ∂u1 dδ (t −τ ) dτ
0 ∂τ d(t −τ )
( rs ≤r≤ re )
(3)
2πrw d z
ks γw
⎜⎛ ∂us1 ⎟⎞ ⎝ ∂r ⎠ r=rw
= −πrw2d z
kw γw
∂2uw ∂z 2
(4)
∫ ∫ u1
=
2π π(re2 −
rw2
)
⎜⎝⎛
rs rw
rus1dr
+
re rs
run1dr
⎟⎠⎞
(5)
∫ kv ∂2u2 = 1 ∂u2 + t ∂u2 dδ (t − τ ) dτ
γ w ∂z 2 Es ∂t 0 ∂τ d(t − τ )
( H1 ≤z≤H )
(6)
• 1974 •
岩石力学与工程学报
2005 年
式中：re 为竖向排水井等小影响半径； u1(z) 为竖井
打设区任一深度处的平均孔压； us1(r，z) 为涂抹
图 2 为 Merchant 流变模型示意图，在应力不变 条件下，应变随时间的关系式为
ε
=
σ E0
+
σ E1
[1
−
exp(−η1t
)]
(1)
式中：η1 = E1 K1 。
o
Fig.1
图 1 竖井未贯穿均质地基简图 Homogeneous ground with partially penetrated vertical drains
期固结几乎没有影响，但后期固结度明显降低。土体粘滞性对下卧层的影响程度大于对竖井打设区的影响程度。
关键词：土力学；固结；均质地基；粘弹性；竖井；流变模型
中图分类号：TU 447
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2005)11–1972–06
VISCOELASTIC CONSOLIDATION ANALYSIS OF HOMOGENEOUS GROUND WITH PARTIALLY PENETRATED VERTICAL DRAINS
(u1
−
uw
)
(14)
其中，
∫ f
(x)
=
∂x ∂t
+
Es
t ∂x dδ (t −τ ) dτ 0 ∂τ d(t −τ )
F
=
⎜⎛ ln ⎝
n s
+
kh ks
ln