数学选修4-4_坐标系与参数方程教学案

数学选修4-4 坐标系与参数方程本章考试说明要求：
1．坐标系的有关概念（A级）
2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程（B级）
3．极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）
4．参数方程（B级）
5．直线、圆和椭圆的参数方程（B级）
6．参数方程与普通方程的互化（B级）
7．参数方程的简单应用（B级）
本章具体内容：
一、坐标系的有关概念（A级）
1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位xx和计算角度的正方向（通常取方向为
正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为）
如图，设M是平面上的任一点，表示OM的xx，表示以射线OX 为始边，射线OM为终边所成的角。

那么有序数对称为点M的极坐标。

其中称为，称为.
由极径的意义可知.当极角的取值范围是时，平面上的点（除去极点）就与极坐标建立一一对应的关系.
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角.
4．极坐标的统一形式
一般地，如果是点M的极坐标，那么
或,都可以作为点M的极坐标.
二、简单图形的极坐标方程（B级）
1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：.
注：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点
方程：图：
（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴
方程：图：
（3）直线过且平行于极轴
方程：图：
练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为的直线；
②经过点，且垂直于极轴的直线；
③经过点，且平行于极轴的直线；
④经过点，且倾斜角为的直线.
2．圆的极坐标方程：若圆心为，半径为r的圆方程为：.
注：几个特殊位置的圆的极坐标方程
（1）当圆心位于极点
方程：图：
（2）当圆心位于
方程：图：
（3）当圆心位于
方程：图：
练习：按下列条件写出圆的极坐标方程：①以为圆心，2为半径的圆；
②以为圆心，4为半径的圆；
③以为圆心，且过极点的圆；
④以为圆心，1为半径的圆.
三、极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位xx平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则
x=2ρ=
y=tanθ=
练习：
①将下列各点的极坐标化为直角坐标：
=；=；=；
=； =； =.
②将下列各点的直角坐标化为极坐标：
=；=；=；
=； =； =.
考点1 极坐标与直角坐标互化
例1 在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.
练习1 已知圆C：，则圆心C的极坐标为
___
练习2 在极坐标中，求两点间的距离：
（1），
（2），
（3）
练习3 （1）在极坐标中，点关于极轴的对称点的坐标为；
（2）在极坐标中，求点关于直线的对称点的坐标为.
考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化
例2 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的方程是，点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求的最小值．
练习1 在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是．
练习2 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是
___ __．
练习3 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．
练习4设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点.
⑴求圆C的极坐标方程；⑵求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
三、参数方程
1．参数方程的意义
在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t是参变数，简称参数.
2．参数方程与普通方程的互化
（1）参数方程化为普通方程
常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
①（为参数）；②；
③；④（t为参数）；
⑤（为参数）.
注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！
（2）普通方程化为参数方程
①经过点P的参数方程；
②圆的参数方程；
③椭圆的参数方程；
④抛物线的参数方程.
注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

考点3 参数方程与直角坐标方程互化
例3 已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程
为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化
为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，
若不相交，请说明理由．
练习1P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中
点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程.
练习2 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
考点4 利用参数方程求值域
例4 在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
练习1 在平面直角坐标系xOyxx，动圆的圆心为，求的取值范围.
练习2 已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求MN的最大值.
考点5 直线参数方程中的参数的几何意义
例5 已知直线经过点,倾斜角.
①写出直线的参数方程;
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.
练习1 求直线（）被曲线所截的弦长.
练习2 已知直线
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆相交于M、N两点，求PM·PN的值.
数学选修4-4 坐标系与参数方程习题1．下列在曲线上的点是.
（1）（2）（3）（4）
2．将参数方程化为普通方程为.
3．点的直角坐标是，则点的一个极坐标为.
4．化极坐标方程为直角坐标方程为.
5．圆的圆心坐标是.
6．直线的斜率为______________________.
7．参数方程的普通方程为__________________.
8．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________.
9．直线被圆截得的弦长为______________.
10．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为__________.
11．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；（2）xx成立，求实数的取值范围.
12．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离.
13．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.
14．已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求点F1，F2到直线l的距离之和.。