17秋-初一数学联赛班-全国版-第16讲-期末考试

例题2： ID:947491 (客观)
如图，函数y = x − 1和函数y = 2
的图象相交于点M (2，m )，N (−1，n )，若y > y ，则x 的取值范围 1 2 x 1 2 是( )
17秋-初一数学联赛班-全国版-第16讲-期末考试
模块1：选择题（共6题，每题3分，共18分）
例题 例题1： ID:947492 (客观) 设b > a ，将一次函数y = bx + a 与y = 使得下列4个图中的一个为正确的是(
A. A
B. B
C. C
D. D
ax
+ )
b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a 、b 的取值，
答案
解 析
知识点
试题来源
B B ． 一次函数的图象的特征
答案 A 解析 A ．
A. 48cm
B. 36cm
C. 24cm
D. 18cm
例题3： ID:947490 (客观)
如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30∘ 内角的菱形EF GH (不重叠无缝隙)．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2 ，四边形ABCD 面积是11cm 2 ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为 ( )
A. x < −1或0 < x < 2
B. x < −1或x > 2
C. −1 < x < 0或0 < x < 2
D. −1 < x < 0或x > 2
试题来源 一次函数与一元一次不等式 一次函数和反比例综合
知识点
D ． 解析
D 答案
例题5： ID:947488 (客观)
如图，正方形ABCD 的面积为256，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，EC ⊥F C ，△CEF 的面积是 200，则BF 的长是( )
例题4： ID:947489 (客观)
如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 中点，若∠AEF = 54∘ ，则 ∠B =(
) A. 54∘
B. 60∘
C. 66∘
D. 72∘
答案
D 解析 连接CF ，
则△CF D ，△CEF 是等腰三角形，∠AEF = ∠F CD = ∠CF D = 54∘ ，
所以∠B = ∠D = 72∘ ．
知识点
等腰三角形两底角相等 对边相等
知识点
菱形的定义
试题来源 平行四边形的定义 平行四边形的定义 等腰三角形定义
例题6： ID:947487 (客观) 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B = 30∘，∠C DA 的中点．已知BC = 7，MN = 3，则EF 为(
)
A. 4
B. 4 1
2
C. 5
D. 6
= 60∘，E 、M 、F 、N 分别为AB 、BC 、CD 、 答案
A
A. 15
B. 12
C. 11
D. 10
知识点
勾股定理 直角三角形-等腰直角三角形
试题来源
由题意，△CDE ≅△CBF ，故△CEF 是等腰直角三角形，从而CF = 20，CB = 16，由勾股定理可得BF = 12． 解析
B 答案
模块2：填空题（共6题，每题3分，共18分）
例题
解析 过N 点作NG //AB ，NH //CD ，
知识点
则△NGH 是Rt △，MN = 3，故GH = 6，AD = 1，EF = 4
梯形的定义 试题来源 平移构造辅助线 知识点
试题来源
= 19cm 4
AB = △AOB 的周长为AB + AO + BO ，
△BOC 的周长为BC + BO + CO ， 由平行四边形的对角线互相平分可得 (AB + AO + BO ) − (BC + BO + CO ) = AB − BC = 8cm
60 + 8 × 2 如图，
解析 19 答案
例题7： ID:947486 (主观)
已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长多 8cm ，则AB 的长度为 cm ．
对角线互相平分
例题8： ID:947485 (主观)
如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，
′ ∴ 若重叠部分面积为4
√3，则这个旋转的角度是 ．
3 答案
30∘ 解析 连接BH ． 由旋转可知，Rt △B H ≅Rt △BCH ， A 又∵ S = 1 × 4 ，∴ 1 BC ⋅ HC = 2√3 ．△BCH 2 3 √3 2 3
又 BC = 2， HC = 2√3 ． 3 由勾股定理得BH 2 = 22 + ( 2√3 ) 3 2 4 = 4 + 3 = 16 ，BH = 3 4√3 3在Rt △BCH 中，HC = 2√3 ，BH = 4√3 ， 3 3∴ ∠HBC = 30∘ ．∴ ∠ ′ BC = 60∘ ，∠AB ′ = 30∘ ．
A ∴这个旋转角为30∘ ．
知识点
勾股定理 A 四条边相等，四个角相等 例题9： ID:947484 (主观)
在△ABC 中，∠C = 2∠B ，AD ⊥AB 交BC 于点D ，若AC = 3，则BD = ．
对应边对应角相等
知识点
试题来源
容易得到BD = 2AH = 2AC = 6．
取BD 的中点H ，连结AH ，
解析 6 答案
直角三角形斜边中线等于斜边一半 知识点
试题来源
当x = −2时，函数有最小值2． 解析
2 答案
例题10： ID:947483 (主观)
函数y = |x + 1| + |x + 2| + |x + 3|的最小值为 ．
零点分段化简
答案
3 解析 由题意，一次函数与坐标轴围成的直角三角形的外接圆半径r = 5
，故直角三角形的斜边为 2
为 ． 4
n 已知n 为正整数，一次函数y =
n + 1 x + n + 1的图象与坐标轴围成的三角形外接圆面积为25 π，则n 的值 例题11： ID:947482 (主观)
，
例题12： ID:947481 (主观)
如图，点A 、C 都在函数y = 3√3
(x > 0)的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等
x 边三角形，则点D 的坐标为
． 答案
(2√6，0) 解析 由题意，设A (m ，√3m )，可求得A (√3，3)，可得B (2√3，0)，设D (n ，0)，则
n C ( 2 + √3
√3 n − 3) 2( n +
( √3 n − 3) = 3√ ，解得n = 2√6知识点
2 √3) 2
3 模块3：解答题（共5题，前三题每题12分，后两题每题14分，共64分） 例题
5，与坐标轴的交点为(0，n + 1)，(−n ，0)，根据勾股定理n 2 + (n + 1) 2 = 25，n = −4(舍) n = 3．
知识点
勾股定理 圆面积公式
试题来源 例题13：
材料ID:97205 如图，直线y = kx + 2k (k ≠ 0)与x 轴交于点B ，与双曲线y = (m + 5) x 2m +1 交于点 A 、C ，其中点A 在第一象限，点C 在第三象限．
知识点
铅垂水平法求三角形面积 反比例函数-已知自变量求因变量
试题来源 试题来源 反比例函数与等腰三角形
知识点
P 1 (−2√2，0)、P 2 (2，0)、P 3 (2√2，0)、P 4 (4，0)． 解析
见解析 答案
4. ID:947477 (主观)
在(3)的条件下，在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
例题14：
1. ID:947476 (主观)
如图①，试判断四边形EGF H 的形状，并说明理由； 材料ID:97204 在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、F H 、HE ．
例题15： ID:947472 (主观)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC (BC > AD)，∠A = ∠B = 90∘，AB
点，且∠DCE = 45∘ ，BE = 4，求DE的长．
=BC= 12，E是AB上一
答案解析DE = 10
过点C作CG⊥CE交AD的延长线于点G，
过点C作CF ⊥AD于F ．
∵A D//BC，AB⊥AD，CF ⊥AD
∴ AB = CF = BC
∵CG⊥CE，BC⊥CF ，∴∠BCE = ∠F CG
且∠B = ∠CF G = 90∘，∴ △BCE ≅△F CG
∴C E = CG
显然△E C D≅△G C D，∴E D=D G=DF+F G=DF+B E
知识点∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC = 90∘，∠GBO = ∠F C O = 45∘．OB = OC．
∵ EF ⊥GH ，∴ ∠GOF = 90∘．∴ ∠BOG = ∠COF ．
∴ △BOG ≅△COF ．∴ OG = OF ，∴ GH = EF ．
由(1)知四边形EGF H 是平行四边形，又∵ EF ⊥GH ，EF = GH ．
∴四边形EGF H 是正方形．
对角线相等的平行四边形是矩形
四条边相等，四个角相等对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
试题来源
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例题16： ID:947471 (主观)
如图1，在△ABC 内取一点P ，使∠P BA = ∠P CA ，作P D ⊥AB 于点D ，P E ⊥AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．
答案
见解析 解析 如图2，
设L ，N 分别是P B 、P C 的中点．联结MD 、ME 、ML 、MN 、DL 、EN ．则 1
1
ML // 2 P C ，MN // 2 P B ． 由∠P DB = ∠P EC = 90∘ ，知DL = 1 P B ，EN = 1 P C ． 2 2
因此，DL = MN ，ML = EN ，①
且四边形P LMN 为平行四边形．于是， ∠P LM = ∠P NM ．
又∠DLP = 2∠P BA = 2∠P CA = ∠ENP ，知识点
则AF = BC = 12，BE = 4，
设DE = x ，DF = x − 4，AD = 12 − (x − 4) = 16 − x
在Rt △ADE 中，AD 2 + AE 2 = DE 2 ，得(16 − x ) 2 + 82 = x 2 ，可得x =
10． 试题来源 梯形-直角梯形
例题17：
答案 见解析
解析 过点N 作ME 的平行线，过点E 作MN 的平行线，两条线相交于点D ．连接DF 、
DK ．知识点 故∠DLM = ∠DLP + ∠P L M = ∠ENP + ∠P NM = ∠ENM ．② 由①、②知
△DML ≅△MEN ⇒ DM = EM ．
故BC 的中点M 在DE 的垂直平分线上．
对角相等
三角形中位线判定定理
试题来源
三角形中位线定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 到线段两端点距离相等的点在中垂线上 材料ID:94706 如图所示，分别以△ABC 的三边长为边长，在三角形外作正方形ABMN 、 ACHK 、BCF E ，连接NK 、ME 、F H ．
1. ID:925706 (主观)
△ABC 为任意三角形时，以NK 、ME 、F H 为边能否构成三角形？为什么？
正方形的定义 ∵ DN //ME ，DE //MN ，∴ 四边形DEMN 为平行四边形，DE = MN ， D N = M E ．∵ D E //MN ，A B //MN ， ∴ A B //D E ．∵ B C //E F ， ∴ ∠ABC = ∠DEF ． ∵ DE = MN = AB ，BC = EF ， ∴ △ABC ≅△DEF ，
DF = AC = KH ，DF //AC //KH ， ∴四边形DF HK 为平行四边形，DK = F
H ． 故以NK ，ME ，F H 为边能构成三角形．
知识点
对边相等 对角相等 四条边相等，四个角相等
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2. ID:925705 (主观) 如果能，试探究以NK 、ME 、F H 为边构成的三角形的面积与△ABC 的面积关系． 答案
见解析 解析 连接A D ．∵ A N //B M ，D N //M E ， ∴ ∠AND = ∠BME ． ∵ AN = BM ，DN = EM ， ∴ △ADN ≅△BEM ，S △ADN = S △BEM ，同理，S △ADK = S △CF H ∵ AB ⊥AN ，AC ⊥AK ，∴ ∠NAK + ∠BAC = 180∘ ．∵ AB = AN ，AC =
AK ， ∴ S = S ．同理，S = S = S ．故S = 知识点 面积和周长相等 正方形的定义 四条边相等，四个角相等 试题来源。