贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

2017—2018学年度第一学期期末考试
高二数学（文科)
(试题满分：150分 考试时： 120分钟）
一、选择题(每小题5分，共60分.每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1。

设集合
{}
=13A x x <<，
{}
=B x x m <，若A B ⊆，则m 的取值范围是
A. 3m ≥
B. 1m ≤ C 。

1m ≥ D. 3m ≤ 2。

下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是
A. 22
=14x y - B.
22=14y x - C 。

22=14x y - D 。

22
=1
4y x -
3。

已知
1sin ,,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪
⎝⎭,则tan θ= A. 2- B 。

2-。

22-
D. 2
4-
4. 下列说法正确的是 A.
()()
2,,f x ax bx c a b c R =++∈，则
()0
f x ≥的充分条件是2
40b ac -≤
B 。

若 ,,m k n R ∈,则22
mk nk >的充要条件是m n >
C 。

对任意x R ∈，20x ≥的否定是存在0x R ∈，
200x ≥ D 。

m 是一条直线，α,β是两个不同的平面，若m α⊥，m β⊥,则//αβ 5。

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A 。

4π
B 。

8π C. 12π D 。

323π
6.设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，曲线
()0k
y k x =
>与C 交于点P ，PF x ⊥轴,则k =
A. 12
B. 1
C.3
2 D. 2
7。

圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a =
A. 43-
B 。

3
4-
C.3 D 。

2
8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1
91734a a a +=，则17
9S S = A. 9 B. 185 C 。

689 D 。

94
9. 若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框
中的条件可能为（ )
A 。

3x >
B 。

4x >
C 。

4x ≤
D 。

5x ≤
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A. 13
B. 23
C.1
D. 43
11。

设函数
()()()
ln 1ln 1f x x x =+--，则
()
f x 是
A. 奇函数，且在()0,1上是增函数
B. 奇函数，且在()0,1上是减函数
C. 偶函数，且在()0,1上是增函数
D. 偶函数，且在
()0,1上是减函数
12.过抛物线x y C 4:2
=的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l
上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为 A 。

5 B 。

22 C.32 D.33 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量
()()
1,2,,1a b m =-=.若向量a b +与a 垂直，则m =
14.若,x y 满足约束条件
10
3030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
,则2z x y =-的最小值为 ______
15. 函数
()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭的最大值为 16.平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线()2
2:20C x py p =>交于点,,O A B 。

若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为
三、解答题(本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题12分, 共70分。

解答应写出文字说明、证明．．．．．．．．．．．．过程或演算步骤．．．．．．．
） 17．（本小题满分10分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos B ; （II ）若90B =，且2a =, 求ABC ∆的面积。

18．（本小题满分12分）
n S 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >,2
243n n n a a S +=+.
（I)求
{}n a 的通项公式；
（II ）设11
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前项n 和.
19．（本小题满分12分)
某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数,将数据分成7组：[)20,30，
[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如下频率分布
直方图：
(I ）从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分
数小于
70的概率；
（II)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计
总体中分
数在区间[)40,50内的人数；
（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等。

试估计总体中男生和女生人数的比例。

20．（本小题满分12分）
如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的高为2，D 是1A B 的中点,E 是11B C 的中点
(I ）证明：
11//DE ACC A 平面；
(II ）若三棱锥E DBC -
的体积为3，求该正三棱柱的底面边长.
21（本小题满分12分)
中心在原点的双曲线C
的右焦点为
0F ⎫⎪⎪⎝⎭
，渐近线方程为y =. （I ）求双曲线C 的方程；
（II ）直线:1l y kx =-与双曲线C 交于,P Q 两点,试探究，是否存在以线段PQ 为直径的圆过原点。

若存在，求出
k 的值，若不存在，请说明理由。

1
22．（本小题满分12分）
已知函数
()()
22
32log,log
f x x
g x x
=-=
；
（I）当
[]
1,4
x∈
时，求函数
()()()()
2f x
h x f x g x
=-
⎡⎤
⎣⎦的最值；
（II）如果对任意的
[]
1,4
x∈
，不等式
()()
2
f x f k
g x
•>•
恒成立，求实数k的取值范围。

遵义航天高级中学2017-—2018年度第一学期期末考试
高二数学文科答案
一、选择题
二、填空题
13、7 14、
5- 15、5 16、3
2
17、(I ）
2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理得:2b ac =；
a b =,2a c ∴=
由余弦定理得:
()()22
2
222221
cos 2224c c c a c b B ac c c +-+-===
•• （II ）由（I)可得：2
b a
c =，
90,B a ∠==且222a c ac ∴+=,解得a c ==
1
12ABC S ac ∆=
=.
18、(I ）当1n =时，
2
111124343a a S a +=+=+,因为0n a >,所以13a =。

当2n ≥时，22
11143434n
n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=，
即
()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >,所以12n n a a --=.
所以数列{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列，
所以
21n a n =+；
（II)由(I ）知，
()()1
111212322123n b n n n n ⎛⎫=
=-
⎪++++⎝⎭
所以数列
{}n b 前n 项和为:
12111111
111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++
+=-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦.
19、（Ⅰ）根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数
小于70的频率为10.60.4-=.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=,分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=。

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为
5
40020100⨯
=。

（Ⅲ)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=,
所以样本中分数不小于70的男生人数为
1
60302⨯
=.
所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=,男生和女生人数的比例为60:403:2=。

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2. 20、（Ⅰ）证明：如图，连接AB 1，AC 1， ……………………（1分）
易知D 是AB 1的中点， 又E 是B 1C 1的中点，
所以在11B AC △中,DE //AC 1， ………………………(3分) 又DE ⊄平面ACC 1A 1,AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以DE //平面ACC 1A 1。

…………………………………………………………(5分） （Ⅱ）解：E DBC D EBC V V --=，
……………………………………………………（6分）
∵D 是AB 1的中点,
∴D 到平面BCC 1B 1的距离是A 到平面BCC 1B 1的距离的一半， 如图,作AF ⊥BC 交BC 于F ，由正三棱柱的性质，易证AF ⊥平面BCC 1B 1， 设底面正三角形边长为a ，则三棱锥D −EBC 的高h =1
2
AF =34a ，
…………（9分）
1
22
EBC S a a =
⨯⨯=△，所以21333123D EBC EBC V S h a -==
=△， ………………（11分）
解得2a =。

所以该正三棱柱的底面边长为2．
…………………………………………（12分）
21、(Ⅰ）设双曲线的方程为22
221x y a b -=(00)a b >>，
，则有222c b
a
c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
，…(2分）
得1a b =
=，所以双曲线方程为2221x y -=． ……………………………（4分） （Ⅱ）由22
121y kx x y =-⎧⎨-=⎩，
，
得22(2)220k x kx -+-=， ……………………………（5分)
依题意有2
22
20(2)4(2)(2)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--->⎪⎩，
，
解得22k -<<
且k ≠，① ………………………………………………………(6分)
且12222k x x k +=
-，12
22
2
x x k =-, ……………………………………………(7分）
设11()P x y ，，22()Q x y ，，
依题意有OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y =+=， ……………………………(8分） 又212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =--=-++，
………………………………（9分） 所以22
222(1)21022
k k k k +-+=--,化简得0k =，
…………………………………（11分)
符合①,所以存在这样的圆。

……………………………………………………（12分） 22、（Ⅰ）()()
2232log 32log 2232log 2log 3x
x
h x x x --=-+=
又
()
h x 在上
[]1,4单调递减，
()()232log 4min 1
43h x h -∴===
，()()232log 1
max 127h x h -===；
（Ⅱ）由
(
)()2f x f
k g x •>•，得()()2
2234log
3log log x x k x
-->•
令
[][]
2log ,1,4,0,2t x x t =∈∴∈
所以
()()343t t k t -->•对[]0,2t ∈恒成立.
①当0t =时，k R ∈;
②当
(]
0,2t ∈时,
9415k t t <+
-，令()9
415r t t t =+-
由于
()
r t
在
3
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦递减,在
3
,2
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦递增。

所以
()
min
3
3
2
r t r
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭,则3
k<-；
综上知
()
,3
k∈-∞-
.。