抽样分布与中心极限定理例题和知识点总结

抽样分布与中心极限定理例题和知识点总结在统计学中，抽样分布和中心极限定理是非常重要的概念，它们为我们从样本数据推断总体特征提供了坚实的理论基础。

下面，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个重要的知识点。

一、抽样分布
抽样分布是指从一个给定的总体中抽取一定容量的样本，由样本统计量所形成的概率分布。

常见的抽样分布有样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布等。

以样本均值的抽样分布为例，如果总体服从正态分布，那么无论样本容量大小，样本均值都服从正态分布。

如果总体不服从正态分布，当样本容量足够大（通常 n ≥ 30）时，根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布。

例题 1
假设一个总体的均值为 50，标准差为 10。

从这个总体中抽取样本容量为 25 的简单随机样本，求样本均值的抽样分布的均值和标准差。

解析
根据抽样分布的性质，样本均值的抽样分布的均值等于总体均值，即 50。

样本均值的抽样分布的标准差（也称为标准误差）等于总体标准差除以样本容量的平方根，即 10 ／√25 ＝ 2。

二、中心极限定理
中心极限定理指出：从均值为μ、方差为σ² 的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ² ／ n 的正态分布。

中心极限定理的重要意义在于，即使原始总体不是正态分布，只要样本量足够大，我们就可以利用正态分布的性质来进行统计推断。

例题 2
某工厂生产的零件重量服从均值为 10 克、标准差为 2 克的分布。

现随机抽取 49 个零件，求这 49 个零件平均重量的抽样分布。

解析
由于样本容量 n ＝ 49 较大，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

均值为总体均值，即 10 克。

方差为总体方差除以样本容量，即 2²／ 49 ＝ 4 ／ 49 ，标准差为√（4 ／ 49) ＝ 2 ／ 7 克。

三、应用举例
例题 3
一家公司有 1000 名员工，他们的平均工资为 5000 元，标准差为1000 元。

随机抽取 100 名员工，计算这 100 名员工平均工资在 4800 元至 5200 元之间的概率。

解析
首先，样本容量 n ＝ 100 较大，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

样本均值的抽样分布的均值为总体均值 5000 元，标准差为 1000 ／√100 ＝ 100 元。

接下来，将 4800 元和 5200 元标准化：
Z1 ＝（4800 5000) ／ 100 ＝－2
Z2 ＝（5200 5000) ／ 100 ＝ 2
查标准正态分布表，可知 P(－2 ＜ Z ＜2) ≈ 09544
所以，这 100 名员工平均工资在 4800 元至 5200 元之间的概率约为09544 。

例题 4
某地区成年男性的身高服从均值为 175 厘米，标准差为 7 厘米的正态分布。

现随机抽取 50 名成年男性，求这 50 名成年男性平均身高大于 177 厘米的概率。

解析
样本均值的抽样分布的均值为 175 厘米，标准差为 7 ／√50 ≈ 099
厘米。

标准化：
Z ＝（177 175) ／099 ≈ 202
查标准正态分布表，P(Z ＞202) ≈ 00217
所以，这50 名成年男性平均身高大于177 厘米的概率约为00217 。

四、知识点总结
1、抽样分布是样本统计量的概率分布，是进行统计推断的基础。

2、中心极限定理表明，在大样本情况下，无论总体分布如何，样
本均值的抽样分布近似正态分布。

3、利用抽样分布和中心极限定理，可以进行关于样本均值的概率
计算和区间估计。

4、样本均值抽样分布的均值等于总体均值，标准差等于总体标准
差除以样本容量的平方根。

总之，抽样分布和中心极限定理是统计学中的核心概念，对于理解
和应用统计推断方法具有至关重要的作用。

通过以上的例题和知识点
总结，希望能够帮助您更好地掌握这部分内容。