高考数学一轮复习讲义 第一章 1.4 集合与常用逻辑用语的综合应用课件

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[难点正本 疑点清源] 1．集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、
“或”、“非”有共同之处，在解题时，可以进行相互转化． 2．集合运算可以考虑数形结合、借助数轴、Venn 图．
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集合问题
例 1 已知集合 A＝{x|y＝ 1 2x 1 }，B＝{x|[x－ x 1
(a＋1)][x－(a＋4)]<0}，分别根据下列条件，求实数 a
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规范解答
(1)p：|3x－4|>2，∴3x－4>2 或 3x－4<－2，
∴x>2 或 x<23，∴綈 p：23≤x≤2. q：x2－1x－2>0，即 x2－x－2>0，
[2 分]
令 x2－x－2＝0，得 x1＝－1，x2＝2. ∴x2－x－2>0 的解集为{x|x<－1 或 x>2}．
[4 分]
等式组中两个等号不能同时成立，由此解得 m≥7，即 m 的取值范
围是[7，＋∞)．
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探究提高
求得 P，Q 后，也可得到“非 p”：P0＝(－∞，－4)∪(8，＋∞)， “非 q”：Q0＝(－∞，1－m)∪(1＋m，＋∞)．于是由“非 p” 是“非 q”成立的必要但不充分条件，知 Q0 P0.
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(2)充分性 由 a1＝1，得 a2＝3－a1＝2. 因为(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝[2(n＋1)＋1]－(2n＋1)＝2， 即 an＋2－an＝2，所以数列{a2k－1}是首项为 1、公差为 2 的等差数列， 数列{a2k}是首项为 2、公差为 2 的等差数列，从而 a2k－1＝1＋2(k －1)＝2k－1，a2k＝2＋2(k－1)＝2k，故 an＝n，进而 an＋1－an＝1， ∴{an}为等差数列. 故数列{an}为等差数列的充要条件是 a1＝1.
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变式训练 1
已知集合 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当 A∪B＝B 时，求实数 a 的取值组成的集合 P.
由 A∪B＝B 知 A⊆B.
又 A＝{－4,0}，故此时必有 B＝{－4,0}， 即－4,0 为方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两根，
一轮复习讲义
集合与常用逻辑用语 的综合应用
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要点梳理
忆一忆知识要点
1．在解题过程中，加深对集合之间的关系与集合运算等概念的 理解．
2．正确理解命题及其关系、逻辑联结词与量词等概念，进一步 认识集合语言与逻辑语言之间的关系．
3．在集合运算过程中，要借助数轴、直角坐标系、Venn 图等将 有关集合直观地表示出来，注意集合与方程、函数、不等式、 三角函数、几何等知识的密切联系与综合运用．
于是－(－44＋)×0＝0＝－a22－(a＋1，1)，
得 a＝1.即 P＝{1}．
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充分条件、必要条件问题
例 2 已知 p：x2－4x－32≤0；q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0 (m>0)．若“非 p”是“非 q”成立的必要但不充分条件，求 m 的取值范围． p：－4≤x≤8，从而 p 为真时 x 的取值范围是集合 P＝[－4,8]．
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失误与防范
1．p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可，p∧q 为真命题， 必须 p、q 同时为真．
2．p 或 q 的否定为：非 p 且非 q；p 且 q 的否定为：非 p 或非 q. 3．对一个命题进行否定时，要注意命题所含的量词，是否省略
了量词，否定时将存在量词变为全称量词，将全称量词变为存 在量词，同时也要否定命题的结论．
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变式训练 3
已知 a>0，命题 p：方程 a2x2＋ax－2＝0 在[－1,1]上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p 或 q” 是假命题，求 a 的取值范围．
方程 a2x2＋ax－2＝0，即(ax＋2)(ax－1)＝0， ∴x＝－2a或 x＝1a. 不等式 x2＋2ax＋2a≤0 只有一个实数解， 即 Δ＝(2a)2－8a＝0，∵a>0，∴a＝2.
(2)若綈 r 是綈 p 的必要非充分条件，求实数 a 的取值范围．
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学生解答展示 主页
审题视角
(1)可以求出 p、q 的不等式的解集，再对 p、q 否定，即求出 它们对应不等式的解集的补集，也可以直接对不等式否定，但 注意对分式不等式否定时，注意分母为零的情况． (2)綈 r 是綈 p 的必要非充分条件等价于綈 p⇒綈 r 且綈 r⇒ 綈 p.
记 f(x)＝x＋|x－a|－2，
则 f(x)＝2ax－－2a，－2，
x≥a， x<a，
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∴f(x)的最小值为 a－2，故 q 为真即为 a－2≥0，即 a≥2. ∵“p 或 q”为真，∴p 真或 q 真． ∴a 的取值范围为12<a<1 或 a≥2.
探究提高
(1)首先求出 p 真、q 真的条件，即 a 的范围． (2)由“p 或 q”为真，判断出 p、q 的真假．
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(2)若 A∩B≠∅，则
a 4 1 a 1 0
，得－5<a<－1，
故 a 的取值范围是(－5，－1)．
探究提高
在将 A，B 具体化后，宜结合图形(本例为数轴)分析集合间的关 系；对题(2)还可以进行反面思考：若 A∩B＝∅，则 a＋1≥0 或 a ＋4≤－1，即 a≥－1 或 a≤－5，从而得到 A∩B≠∅时，a 的取 值范围是(－5，－1)．
[8 分]
[10 分] [12 分]
[14 分]
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
批阅笔记
(1)对 q：x2－1x－2>0 的否定应为：x2－1x－2≤0 或 x2－x－2 ＝0.为避免出错，可以先求 q：x2－1x－2>0 的解集，再否定． (2)在由綈 p⇒綈 r 时，应特别注意分析是否能取等号．这是 考生比较易出错的地方．要特别注意验证等号能否成立．
同理可得，q 为真时 x 的取值范围是集合 Q＝[1－m,1＋m]．
因为“非 p”是“非 q”成立的必要但不充分条件，所以“若非 q，
则非 p”是真命题，但“若非 p，则非 q”是假命题，即“若 p，则 q”
为真，“若 q，则 p”为假，故 P
Q，从而
1 m 4 1 m 8
，且不
的取值范围．
(1)A∩B＝A； (2)A∩B≠∅.
由1 2x 1 ≥0，得 x ≥0，即 x ≤0，
x 1
x 1
x 1
解得－1<x≤0，故 A＝(－1,0]，B＝(a＋1，a＋4)． a 1 1,
(1)A∩B＝A，即 A⊆B，故 a 4 0, 得－4<a≤－2，故 a 的取值范围是(－4，－2]．
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方法与技巧
1．有的“p 或 q”与“p 且 q”形式的复合命题语句中，字面上 未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义， 从而分清是“p 或 q”还是“p 且 q”形式．一般地，若两个命 题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”．
2．逻辑联结词中，较难理解含义的是“或”，应从以下两个方 面来理解概念：(1)逻辑联结词中的“或”与集合中的“或”含 义的一致性．(2)结合实例，剖析生活中的“或”与逻辑联结词 中的“或”之间的区别．生活中的“或”一般指“或此或彼只 必具其一，但不可兼而有之”，而逻辑联结词中的“或”具有 “或此或彼或兼有”三种情形．
∴綈 q：{x|－1≤x≤2}，
∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件．
[6 分]
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(2)r：(x－a)(x－a－1)<0，∴a<x<a＋1. ∴綈 r：x≤a 或 x≥a＋1.
∵綈 r 是綈 p 的必要非充分条件．
∴綈 p⇒綈 r 且綈 r⇒綈 p， ∴2≤a 或 a＋1≤23，∴a≥2 或 a≤－13. ∴a 的取值范围是a|a≥2或a≤－13.
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∵“p 或 q”为假命题，∴“p 假且 q 假”， －2a>1，
∴1a>1， a≠2，
解得 0<a<1，即 a 的取值范围是(0,1)．
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易错警示
对命题否定不当致误
(14 分)已知 p：|3x－4|>2，q：x2－1x－2>0，r：(x－a)·(x－a－1)<0. (1)綈 p 是綈 q 的什么条件？
变式训练 2
已知数列{an}满足 an＋an＋1＝2n＋1 (n∈N*)，求证：数列{an}为等 差数列的充要条件是 a1＝1. 证明 (1)必要性 若数列{an}为等差数列，则 a1，a2，a3 也成等 差数列，∴2a2＝a1＋a3.
又 a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1， 从而，2(3－a1)＝a1＋(2＋a1)，∴a1＝1.
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有关逻辑联结词的问题
例 3 已知 a>12且 a≠1，条件 p：函数 f(x)＝log(2a－1)x 在其定义域 上是减函数，条件 q：函数 g(x)＝ x＋|x－a|－2的定义域为 R.
如果“p 或 q”为真，试求 a 的取值范围．
若 p 为真，则 0<2a－1<1，得12<a<1. 若 q 为真，则 x＋|x－a|－2≥0 对∀x∈R 恒成立．