高考复习方案新课标2016届高考数学一轮复习第5单元数列课时作业文

【高考复习方案】（新课标）2016届高考数学一轮复习 第5单元 数
列课时作业 文
课时作业(二十七) [第27讲 数列的概念与简单表示法]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的一个通项公式的是( )
A ．a n ＝1
B ．a n ＝（－1）n ＋12
C ．a n ＝2－⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝（－1）n －1
＋32 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( )
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．4
3．已知数列{a n }满足a 1＞0，2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列 D ．摆动数列
4．[2014·濮阳一模] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数y ＝3×2x
的图像上，则a 5＝( )
A ．24
B ．48
C ．72
D ．96
5．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 7＝1
2
，则a 1＝________．
6．数列{a n }满足a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1
＋3(n∈N *
)，则数列{a n }
的通项公式为a n ＝________．
能力提升
7．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n ＝( )
A .（－1）n
＋12 B ．cos n π2C ．cos n ＋12π D ．cos n ＋22
π
8．[2014·金丽衢十二校联考] 已知函数y ＝f(x)，数列{a n }的通项公式是a n ＝f(n)(n∈N *
)，那么“函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1C ．45 D ．45＋1
10．若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n∈N *
)，则数列{a n }的前n 项和的数值最大时，n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．数列{a n }前n 项和S n ＝n 2
＋2n －2，对数列{a n }描述正确的是( ) A ．数列{a n }为递增数列B ．数列{a n }为递减数列 C ．数列{a n }为等差数列D ．数列{a n }为等比数列
12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
n ＋1
，则a n ＝________．
13．[2014·齐齐哈尔二模] 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝－1a n －1＋1(n≥2且n∈N *
)，
若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2014＝________．
14．(10分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
－7n ＋6. (1)求这个数列的第4项．
(2)150是不是这个数列的项？若是，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
15．(13分)[2014·龙岩质检] 已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n，S n)都在偶函数f(x)＝x2＋bx的图像上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝2n＋a n，求数列{b n}的前n项和T n.
难点突破
16．(12分)[2014·开封三模] 已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；
(2)若数列{b n}满足4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nb n－1＝(a n＋1)n，求数列{b n}的通项公式．
课时作业(二十八) [第28讲 等差数列及其前n 项和]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．14 B ．42C ．21 D ．27
2．[2014·吉林二模] 已知等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2 3．[2014·石家庄二模] 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 9＝a 6，则S 9＝( ) A ．－2 B ．0C ．1 D ．2
4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＋a 25＝5，则一定有( ) A ．a 6是常数 B ．S 7是常数C ．a 13是常数 D ．S 13是常数 5．在等差数列{a n }中，若a 4＝3，则S 7＝________．
6．已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5
a 5＝________．
能力提升
7．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则a 18＝( ) A ．8.5 B ．8C ．7.5 D ．7
8．等差数列{a n }中，a 7＝π
4
，则tan (a 6＋a 7＋a 8)等于( )
A ．－
3
3
B ．－2
C ．－1
D ．1 9．[2014·安庆二模] 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014
＝( )
A ．1006×2013
B ．1006×2014
C ．1007×2013
D ．1007×2014 10．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 7＝S 2，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k 的值是( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8
11．设数列{a n }是以3为公差的等差数列，S n 是其前n 项和，若S 10是数列{S n }中的唯一最小项，则数列{a n }的首项a 1的取值范围是( )
A ．[－30，－27]
B ．(30，33)
C ．(－30，－27)
D ．[30，33]
12．[2014·苏州一模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝5，S 9＝27，则S 7＝________．
13．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m ＝________． 14．(10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若a 1＝1，S 10＝100，求数列{a n }的通项公式；
(2)若S n ＝n 2
－6n ，解关于n 的不等式S n ＋a n >2n.
15．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n(n －1)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)设数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求T n . 难点突破
16．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，等式a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1对任意n∈N *
均成立．
(1)若a 4＝10，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a2＝1＋t，且存在m≥3(m∈N*)，使得a m＝S m成立，求t的最小值．
课时作业(二十九) [第29讲 等比数列及其前n 项和]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．“1，x ，16成等比数列”是“x＝4”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )
A .13
B ．－13
C .19
D ．－19
3．[2014·福州质检] 记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4·a 5＝2，则Π8＝( ) A ．256 B ．81C ．16 D ．1
4．[2014·濮阳二模] 设S n 是公差不为0的等差数列 {a n }的前n 项和，且 S 1，S 2，S 4
成等比数列，则a 2
a 1
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．[2014·漳州质检] 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 5＋a 7＝160，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________．
6．若公比为3
2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝________． 能力提升
7．[2014·洛阳二模] 已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 2a 4＝16，S 3＝7，则S 4等于( )
A ．15
B ．31
C ．63
D .13
27
8．已知公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 4＝16，则log 2a 1＝( ) A ．4 B ．0C ．2 D ．1 9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，则该等比数列的公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15
S 5
＝( )
A .34
B .23
C .12
D .13
11．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6等于( )
A ．78
B ．84
C ．124
D ．126
12．在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 4－a 2
8＋2a 12＝0，若数列{b n }是等比数列，且b 8＝a 8，则b 5b 11＝________．
13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2
－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝__________．
14．(10分)[2014·厦门质检] 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *
，且a 7
＝20，S 3＝15.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若等比数列{b n }满足b 1 ＝a 1，b 4＝a 2＋a 4，求数列{b n }的前n 项和T n .
15．(13分)各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n∈N *
，
2S n ＝2pa 2
n ＋pa n －p (p ∈R )．
(1)求常数p 的值；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 难点突破
16．(12分)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1
，n ∈N *
.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n
－1为等比数列．
(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t
－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t 的值；如果不存在，请说明理由．
课时作业(三十) [第30讲 数列求和]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3(15
)n
，则其前20项和为( )
A ．380－35(1－1519)
B ．400－25(1－1520)
C ．420－34(1－1520)
D ．440－45(1－15
20)
2．[2014·重庆三模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前100项和为( )
A .
100101 B .99101 C .99100 D .101100
3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
(2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100
4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2014＝( )
A ．－1006
B ．1007
C ．－1008
D ．1009
5．[2013·南平质检] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1
3n ，则数列{a n }的前n 项和
S n ＝________．
6．[2014·海口二模] 设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 的前n 项和S n
等于________．
能力提升
7．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1
，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．[2014·南宁一模] 如果一个数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝h(h 为常数，n ∈N *
)，则称数列{a n }为等和数列，h 为公和．已知等和数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 1＝2，h ＝－1，则S 2014等于( )
A ．－1007
B ．1005
C ．－1006
D ．1007
9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n∈N *
)，其前n 项和S n ＝910，则直线
x n ＋1＋y
n
＝1与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A ．36
B ．45
C ．50
D ．55
10．已知函数f(x)＝x a 的图像过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *
.记数列
{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝ ( )
A.2012－1
B.2013－1
C.2014－1
D.2014＋1
11．定义n
p 1＋p 2＋…＋p n
为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若正数数列{a n }的前
n 项的“均倒数”为
12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11
＝( )
A .1
11 B .112 C .1011 D .1112
12．已知函数f(n)＝⎩
⎪⎨⎪⎧n 2
，当n 为奇数，
－n 2，当n 为偶数，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
等于________．
13．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝(14
)n (n∈N *)，记T n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4
n
－1
，则5T n －4n
a n ＝__________．
14．(10分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝2a 3，S 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 15．(13分)[2014·濮阳二模] 设{a n }是等差数列，{b n }是各项为正数的等比数列，且 a 1
＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和 S n .
难点突破
16．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并说明1≤T n <9
4.
课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合问题]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．已知a ，b ，c 是三个不同的实数，若a ，b ，c 成等差数列，且b ，a ，c 成等比数列，则a∶b ∶c 为( )
A ．2∶1∶4
B ．－2∶1∶4
C ．1∶2∶4
D ．1∶(－2)∶4
3．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7
的值为( )
A ．125
B ．126
C ．127
D ．128
4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋2＝3a n (n∈N *
)，则a n ＝( )
A ．2
n －1
B ．n
C ．2n －1
D ．(32
)n －1
5．[2014·自贡一诊] 一小区计划植树不少于1000棵，若第1天植2棵，以后每天植
树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N *
)等于________．
6．[2014·南昌一模] 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，已知最上面一节的长为10，最下面的三节的长度之和为114，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．
能力提升
7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项是5
4，则S 5
等于( )
A ．35
B ．31
C ．33
D ．29
8．[2014·上饶二模] 如图K 31­1所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n 个点，若第n 个图案中总的点数记为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )
图K 31­1
A ．126
B ．135
C ．136
D ．140
9．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 2
7＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7
＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 10．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )
A .47尺
B .1629尺
C .815尺
D .1631
尺
图K 31­2
11．如图K 31­2所示，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f(x)＝x ＋1
x (x>0)的图像上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n≥2，n ∈N ＋)，记矩形A n B n C n D n 的周长
为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )
A ．208
B ．212
C ．216
D ．220
12．[2014·蚌埠质检] 在数列{a n }中，a n 为正整数，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，
3a n ＋1，a n 为奇数，若a 1
＝5，则a 1＋a 2＋a 3＝________．
13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 6－S 2＝36，则S n ＝________． 14．(10分)将函数 y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令 b n ＝2n a n ，其中n∈N *
，求数列{b n }的前n 项和T n .
15．(13分)[2014·淄博二模] 某市为控制大气中PM 2.5的浓度，规定：每年大气中主要污染物的排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物的排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年大气中主要污染物的排放总量比上一年的排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年新增加大气主要污染物排放量m(m>0)万吨．
(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物的排放总量(万吨)依次构成数列{a n }，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
(2)证明：数列{a n －10m}是等比数列；
(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围． 难点突破
16．(12分)已知函数f(x)＝x ＋1
x (x ＞0)，以点(n ，f(n))为切点作函数图像的切线
l n (n∈N *
)，直线x ＝n ＋1与函数y ＝f (x )的图像及切线l n 分别相交于A n ，B n ，记a n ＝|A n B n |.
(1)求切线l n 的方程及数列{a n }的通项公式； (2)设数列{na n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜1.
参考答案
课时作业(二十七)
1．C [解析] 由a n ＝2－⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2，可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.
2．D [解析] 因为S n ＝2a n －2，所以S 1＝a 1＝2a 1－2，得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝4.
3．B [解析] 由已知a 1＞0，2a n ＋1＝a n ，得a n ＞0，
a n ＋1a n ＝1
2
＜1，∴a n ＋1＜a n ，∴数列{a n }是递减数列．
4．B [解析] 由点(n ，S n )在函数y ＝3×2x 的图像上，得S n ＝3×2n ，则a 5＝S 5－S 4＝3×25
－3×24
＝48.
5.12 [解析] 由a n ＋1＝11－a n 知，a 7＝11－a 6＝12，解得a 6＝－1.由a 6＝11－a 5
＝－1，解得a 5＝2.由a 5＝11－a 4＝2，解得a 4＝12.依次类推，得a 1＝1
2.
6．3n [解析] 由a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1
＋3，
得a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n
＋3，
两式相减，得a n ＝3n
.
7．D [解析] 对选项进行逐一验证，易得D 正确．
8．A [解析] 若函数递增，则对应的数列一定递增；若数列递增，则对应的函数不一定递增．
9．A [解析] 由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1），
3×4n －2
（n ≥2）， ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44
.
10．B [解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，
∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，则a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .
设数列{a n }的前k (k ∈N *
)项和的数值最大，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，∴193
≤k ≤223.
∵k ∈N *
，∴k ＝7.
11. A [解析] 由S n ＝n 2
＋2n －2，当n ＝1时，S 1＝1＝a 1，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，从而可知，从第二项开始，数列{a n }是公差为2的等差数列，为递增数列，又a 2＝3>a 1，所以数列{a n }为递增数列．
12.2n （n ＋1） [解析] 当n ＝1时，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n n ＋1－2（n －1）
n ＝2n （n ＋1）.又a 1＝1满足上式，所以该数列的通项公式是a n ＝2n （n ＋1）
. 13．11356 [解析] 由已知得a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－3
2
，a 4＝2，…，所以数列{a n }是以
3为周期的周期数列，所以S 2014＝a 1＋671×2－13－32＝1135
6
.
14．解：(1)当n ＝4时，a 4＝42
－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2
－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．
(3)令a n ＝n 2
－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故该数列从第7项开始各项都是正数．
15．解：(1)∵函数f (x )＝x 2
＋bx 是偶函数，∴b ＝0，
∴f (x )＝x 2
.
∵点P n (n ，S n )在函数f (x )＝x 2的图像上，∴S n ＝n 2
.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2
＝2n －1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也符合上式， ∴a n ＝2n －1.
(2)∵b n ＝2n ＋a n ＝2n
＋2n －1，
∴T n ＝2（1－2n
）1－2＋（1＋2n －1）n 2
＝2n ＋1＋n 2
－2.
16．解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 故数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列．
(2)∵4b 1－1·42b 2－1·43b 3－1·…·4nb n －1＝(a n ＋1)n
，
∴4b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n －n ＝(2n )n ＝2n 2
，
∴2(b 1＋2b 2＋…＋nb n )－2n ＝n 2
，
即2(b 1＋2b 2＋…＋nb n )＝n 2
＋2n .①
当n ≥2时，2[b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1]＝(n －1)2＋2(n －1)＝n 2
－1.②
由①－②得，2nb n ＝2n ＋1(n ≥2)，即b n ＝1＋1
2n
(n ≥2)，
当n ＝1时，b 1＝32也满足上式，因此b n ＝1＋1
2n
.
课时作业(二十八)
1．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝13，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3， 则数列{a n }的通项公式a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝3n －1， ∴ a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3×14＝42.
2．D [解析] 由题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝0，3a 1＋3×2
2d ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝0，a 1＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，
d ＝－2. 3．B [解析] 由a 2＋a 9＝a 6，得a 5＋a 6＝a 6，所以a 5＝0，所以S 9＝9（a 1＋a 9）
2＝9a 5＝
0.
4．D [解析] 由S 4＋a 25＝5，得4a 1＋4×3
2
d ＋(a 1＋24d )＝5，即a 1＋6d ＝1，
∴S 13＝（a 1＋a 13）×13
2
＝13a 7＝13(a 1＋6d )＝13.
5．21 [解析] 在等差数列{a n }中，a 1＋a 7＝2a 4＝6，则S 7＝7（a 1＋a 7）
2
＝21.
6．3 [解析] 由a 2＋a 6＝a 8，得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0，所以S 5
a 5＝5a 1＋5×42d
a 1＋4d
＝
5a 1＋10d
a 1＋4d
＝3.
7．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨
⎪
⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋7d ）＝10，a 1＋9d ＝6，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝154
，
d ＝14
，
则a 18＝a 1＋17d ＝154＋17×1
4
＝8.
8．C [解析] 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.
又a 7＝π4，所以tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π
4
＝－1.
9．C [解析] 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，得a 1＝0.令n ＝2，则a 3＝2a 2
＝2，得a 2＝1，所以a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，所以S 2014
＝2014×20132
＝1007×2013.
10．B [解析] 设等差数列的公差为d .依题意得7a 1＋21d ＝2a 1＋d ，即a 1＋4d ＝0.又
a 1＝1，所以d ＝－1
4
.由a k ＋a 4＝0，得a 1＋(k －1)d ＋(a 1＋3d )＝0，解得k ＝6.
11．C [解析] 因为公差d ＝3>0，所以数列{a n }是递增数列．又S 10是{S n }的唯一最小
项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0，a 11>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d <0，
a 1
＋10d >0，得－30<a 1<－27.
12．14 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得
⎩
⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，
9a 1＋9×82
d ＝27，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1，a 1＋4d ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，
d ＝1， 则S 7＝7a 1＋7×6
2
d ＝14.
13．37 [解析] 由题意可知，a m ＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 5
2
＝9a 5.又a 1＝0，d ≠0，所以(m
－1)d ＝9×4d ，解得m ＝37.
14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 10＝10a 1＋10×9
2
d ＝100.又a 1＝1，所以d
＝2，
则数列{a n }的通项公式为a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)S n ＝n 2
－6n ，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－6＝－5.
当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2
－6(n －1)， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －7，
又a 1＝－5适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7.
故S n ＋a n ＝ n 2
－4n －7，
则不等式可化为n 2－4n －7＞2n ，即n 2
－6n －7＞0， 解得n ＜－1或n ＞7.
因为n ∈N *，所以原不等式的解集是{n | n ＞7，且n ∈N *
}． 15．解：(1)证明：由S n ＝na n －2n (n －1)， 得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， 即a n ＋1－a n ＝4，
所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＝4n －3.
T n ＝1a 1a 2＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1
（4n －3）×（4n ＋1）
＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1
) ＝14(1－14n ＋1)＝n 4n ＋1
. 16．解：(1)由等式a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1对任意n ∈N *
均成立，得数列{a n }是等差数列． 设等差数列{a n }的公差为d .由题意可得a 4＝a 1＋3d ＝10，又a 1＝1，解得d ＝3，
则数列{a n }的通项公式为a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝3n －2. (2)由a 2＝1＋t ，得d ＝a 2－a 1＝t ， ∴ a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)t ，
S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）
2
t .
由a m ＝S m ，得1＋(m －1)t ＝m ＋m （m ＋1）
2
t ，
则2－2m ＝(m 2
－3m ＋2)t .
又m ≥3(m ∈N *
)，则t ＝22－m
∈[－2，0)，
故t 的最小值为－2.
课时作业(二十九)
1．B [解析] 若1，x ，16成等比数列，则x 2＝1×16，解得x ＝±4.若x ＝4，满足x 2
＝1×16，即1，x ，16成等比数列，故选B.
2．C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q . ∵ S 3＝a 2＋10a 1，
∴ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，则q 2
＝a 3a 1
＝9.
由a 5＝9，得 a 3q 2
＝9，即a 3＝1，∴a 1＝a 3q 2＝19
.
3．C [解析] 由题意可知，Π8＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 4·a 5)4
＝16.
4．C [解析] 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 1·S 4＝S 2
2，即a 1×4a 1＋4（4－1）d 2
＝(a 1
＋a 1＋d )2，化简得2a 1d ＝d 2
.又d ≠0，所以2a 1＝d ，则a 2a 1＝a 1＋d a 1
＝3.
5．2 2
n ＋1
－2
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝20，a 5＋a 7＝160，得⎩⎪⎨⎪
⎧a 1q ＋a 1q 3
＝20，a 1
q 4＋a 1q 6
＝160， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q （1＋q 2
）＝20，a 1q 4（1＋q 2
）＝160，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝2，
q ＝2， 故S n ＝a 1（1－q n ）1－q
＝2 n ＋1
－2.
6．5 [解析] 由已知得a 3a 11＝a 2
7＝16. 又数列{a n }的各项都为正数，∴a 7＝4，
∴a 16＝a 7×q 9
＝32，故log 2a 16＝5.
7．A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠1，且q >0.由题意，得 ⎩⎪⎨⎪
⎧q >0，
a 1q ·a 1q 3＝16，a 1
（1－q 3
）1－q ＝7，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧a 1＝1，
q ＝2， ∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝1×（1－24）1－2
＝15.
8．B [解析] 依题意可得a 23＝a 2a 4＝16.因为公比为2，a n >0，所以(a 1·22)2
＝16，得a 1＝1，则log 2a 1＝log 21＝0.
9．C [解析] 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2
3＝a 2a 6.设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简，得d ＝－2a 1，则a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，故
公比为a 3
a 2
＝3.
10．A [解析] 由S 10S ＝12知，公比q ≠1，且S 10＝1
2
S 5.
由S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，
得(S 10－S 5)2
＝S 5 (S 15－S 10)，化简得S 15＝34
S 5，故选A.
11．D [解析] 由已知得，等差数列{a n }的通项公式为a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，等比
数列{b n }的通项公式为b n ＝ b 1q n －1＝2n －1，则ba n ＝2n ，∴ ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6＝2＋2
2
＋…＋26
＝2（1－26
）1－2＝126.
12．16 [解析] 由已知得2a 8＝a 4＋a 12＝a 28
2
，即a 2
8－4a 8＝0，所以a 8＝0(舍去)或a 8＝4，
所以b 8＝a 8＝4.又数列{b n }是等比数列，所以b 5b 11＝b 2
8＝16.
13．63 [解析] 由a 1，a 3是方程x 2
－5x ＋4＝0的两个根，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝1，a 3＝4
或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1. 又数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4.
设数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝a 3
a 1
＝4，即q ＝2，
则S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1－26
1－2
＝63.
14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 7＝20，S 3＝15，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝20，3a 1＋3d ＝15，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝2，
d ＝3， 从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 由⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1，b 4＝a 2＋a 4，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 1q 3＝16，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＝2，q ＝2， 从而T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n
）1－2
＝2n ＋1
－2.
15．解：(1)由a 1＝1及2S n ＝2pa 2
n ＋pa n －p (p ∈R )， 得2＝2p ＋p －p ，所以p ＝1.
(2)由(1)可知，2S n ＝2a 2
n ＋a n －1，①
得2S n ＋1＝2a 2
n ＋1＋a n ＋1－1，②
两式相减得2a n ＋1＝2(a 2n ＋1－a 2
n )＋(a n ＋1－a n )， 即2(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )－(a n ＋1＋a n )＝0， 所以(a n ＋1＋a n )(2a n ＋1－2a n －1)＝0.
由于数列{a n }的各项均为正数，所以有2a n ＋1－2a n －1＝0，
即a n ＋1－a n ＝1
2
，
则数列{a n }是首项为1，公差为1
2
的等差数列，
所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）4＝n （n ＋3）
4
.
16．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋2
3
，
所以1a n ＋1－1＝131a n
－1.
因为a 1＝35，所以1a －1＝2
3，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为1
3的等比数列．
(2)由(1)知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3
n
3n ＋2
.
假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，
则有m ＋t ＝2s ，(a s －1)2
＝(a m －1)(a t －1)．
由a n ＝3n 3n ＋2与(a s －1)2
＝(a m －1)(a t －1)，
得3s 3s ＋2－12
＝3m 3m ＋2－13t 3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s
.
因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s
.
又3m ＋3t ≥2 3m ＋t ＝2×3s
，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾， 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．
课时作业(三十)
1．C [解析] 由a n ＝2n －315n
，得
S 20＝2(1＋2＋…＋20)－315＋152＋…＋1
520＝
2×20（1＋20）2－3×151－15201－15
＝420－341－1
5
20.
2．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d .由S 5＝5（a 1＋a 5）
2
＝5a 3，得a 3＝3.
又a 5＝5，则数列{a n }的公差d ＝1
2
(a 5－a 3)＝1，
∴数列{a n }的通项公式a n ＝n ，
∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
， 则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 100a 101＝11－12＋12－13＋…＋1100－1
101＝1
－1101＝100101
. 3．D [解析] 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋…＋(－1)100
(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
4．C [解析] 由数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π
2
，得
S 2014＝cos π2＋2cos 2π2＋3cos 3π2＋…＋2014cos 2014π
2
＝
0－2＋0＋4＋0－6＋…＋2012＋0－2014＝－(2＋6＋…＋2014)＋(4＋8＋…＋2012)＝－1008.
5.12n 2＋n ＋1－13n [解析] 由a n ＝n ＋1
3
n ，得 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1＋13＋2＋132＋…＋n ＋13n ＝(1＋2＋…＋n )＋13＋132＋…＋13n ＝1
2
n 2＋
n ＋1－1
3
n .
6．3－2n ＋32n [解析] 由a n ＝2n －1，得a n 2n ＝2n －12n ，
所以S n ＝12＋322＋…＋2n －1
2
n ，
12S n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12
n ＋1， 两式相减，得12S n ＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋3
2n ＋1，
所以S n ＝3－2n ＋3
2
n .
7．D [解析] 由题意可知，该数列的通项公式为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n
1－2
＝2
n
－1，
∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋1
1－2
－n ＝2n ＋1
－2－n .
若S n >1020，则2n ＋1
－2－n >1020，解得n ≥10，故选D.
8．A [解析] 在等和数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝h ，其前2014项和S 2014＝a 1＋a 2＋…＋a 2014
＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2013＋a 2014)＝1007h ＝1007×(－1)＝－1007.
9．B [解析] 由a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，得S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－
1
2
＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. 又S n ＝910，∴n n ＋1＝9
10
，解得n ＝9，
则直线方程为x 10＋y
9
＝1，故直线与两坐标轴的交点坐标分别为(10，0)和(0，9)，
故所求三角形的面积为1
2
×10×9＝45.
10．C [解析] 由f (4)＝2可得4a
＝2，解得a ＝12
，
则f (x )＝x 1
2， ∴a n ＝
1f （n ＋1）＋f （n ）＝1
n ＋1＋n
＝n ＋1－n ，
∴S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－
2013)＝2014－1.
11．C [解析] 依题意有n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1
，即S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2
＋n .
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 又a 1＝3满足上式，
所以a n ＝4n －1，所以b n ＝a n ＋1
4
＝n .
因为1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，
所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1011
.
12．100 [解析] 由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32
－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋
100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝100.
13．n [解析] 由T n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1，得4T n ＝a 1·4＋a 2·42＋a 3·4
3
＋…＋a n ·4n
，
两式相加，得5T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·4＋(a 2＋a 3)·42＋(a 3＋a 4)·43＋…＋(a n －1＋a n )·4
n －1
＋a n ·4n ＝1＋14×4＋142×42＋…＋14
n －1×4n －1＋a n ·4n ＝n ＋a n ·4n ，故5T n －4n
·a n ＝n .
14．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q .
由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 3，S 2＝6， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 2
，a 1＋a 1q ＝6， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2n
.
(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋log 2a n ＝2n ＋log 22n ＝2n
＋n ，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋...＋(2n ＋n )＝(21＋22＋ (2)
)＋(1
＋2＋…＋n )＝2（1－2n
）1－2＋n （n ＋1）2＝2n ＋1＋n （n ＋1）
2
－2.
15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则依题意有q >0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4
＝21，1＋4d ＋q 2
＝13， 所以d ＝q ＝2，
所以a n ＝2n －1，b n ＝2n －1
.
(2)由(1)可知，a n b n ＝2n －1
2n －1，
所以S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －1
2n －1，
2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －1
2
n －2，
两式相减得
S n ＝2＋2＋1＋12＋122＋…＋12n －3－2n －12n －1＝4＋1－12n －2
1－12
－2n －12n －1＝6－2n ＋3
2
n －1.
16．解：(1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，
所以当n ≥2时，数列{a n }是以3为公比的等比数列．
因为a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3，所以a 2a 1
＝3，
所以
a n ＋1
a n
＝3对任意正整数成立， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1
.
(2)由(1)得a n ＝3n －1，所以b n ＝log 3a n ＋1＝log 33n
＝n ， 则b n a n ＝n 3n －1＝n ·13
n －1， 故T n ＝1＋2×13＋3×132＋4×133＋…＋n ×13
n －1，①
13T n ＝1×13＋2×132＋3×133＋…＋(n －1)×13n －1＋n ×1
3
n ，②
①－②，得23T n ＝1＋13＋132＋133＋…＋13n －1－n ×13n ＝1－13n 1－13
－n ×13
n
，
所以T n ＝94－94＋32n 13n
.
因为94＋32n 13n >0，所以T n ＝94－94＋32n ·13n <94
.
又因为T n ＋1－T n ＝n ＋1
3
n >0，所以数列{T n }递增，所以(T n )min ＝T 1＝1，
所以1≤T n <9
4
.
课时作业(三十一)
1．C [解析] 由题意知，a 4＋a 5>0，∴S 7＝7（a 1＋a 7）2＝ 7a 4<0，S 8＝8（a 1＋a 8）
2
＝
8（a 4＋a 5）
2
>0，故选C. 2．B [解析] 由于a ，b ，c 成等差数列，则设a ＝m －d ，b ＝m ，c ＝m ＋d ，d ≠0.
又因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc ，即(m －d )2
＝m (m ＋d )，化简，得d ＝3m ，则a ＝－2m ，b ＝m ，d ＝4m ，
所以a ∶b ∶c ＝－2∶1∶4.
3．C [解析] 由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝－a 3＋a 4.
设等比数列{a n }的公比为q ，则2a 1q ＝－a 1q 2＋a 1q 3
.
由q >0，得q 2
－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，
∴ S 7＝1－2
7
1－2
＝127.
4．D [解析] 由S n ＋2＝3a n ，得S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，即a n a n －1＝32
(n ≥2)． 又当n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，解得a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为3
2
的等
比数列，则a n ＝32
n －1
.
5．9 [解析] 设第n 天植树的棵数为a n .依题意，每天植树的棵数组成等比数列{a n }，
公比为2，则S n ＝2（1－2n
）1－2
＝2n ＋1－2≥1000，即2n ＋1
≥1002.
又n ∈N *，得n ≥9，故需要的最少天数n (n ∈N *
)等于9.
6．16 [解析] 设自上而下每节的长度依次构成的等差数列为{a n }，公差为d ，则a 1＝
10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 2
6＝a 1a n .
由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，即a n －1＝38>a 1，所以d >0.
由a 26＝a 1a n ，得(a 1＋5d )2
＝a 1(a n －1＋d )，
即(10＋5d )2
＝10(38＋d )，解得d ＝2，
则a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.
7．B [解析] 在等比数列{a n }中，由等比数列的性质，有a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝2a 1，则a 4＝2.
∵a 4与2a 7的等差中项是5
4
，
∴a 4＋2a 7＝54×2＝52，则a 7＝1
4
.
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝2，a 7＝1
4得，
⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 6＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝1
2，则S 5＝161－12
5
1－12
＝31. 8．C [解析] 从第2项起，该数列是等差数列，且公差为3，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10
＝1＋9a 2＋9×8
2
×3＝1＋27＋108＝136.
9．D [解析] 设等差数列{a n }的公差为d .由已知，得2a 2
7＝a 4＋3a 8，即a 1＋3d ＋3a 1＋
21d ＝4a 1＋24d ＝4(a 1＋6d )＝4a 7＝2a 2
7，∴a 7＝2或a 7＝0(舍去)，
∴b 7＝2，则b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31q 18＝(b 1q 6)3＝b 3
7＝8.
10．B [解析] 由题意可知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }，其中a 1＝5，
数列的前30项和S 30＝390.设公差为d ，则S 30＝30a 1＋30×292d ＝390，解得d ＝16
29
，即该女
子织布每天增加16
29
尺．
11．C [解析] 因为四边形A n B n C n D n 是矩形，B n (n ，0)，所以|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1
n
.设点
D n 的坐标为x ，n ＋1n ，则有x ＋1x ＝n ＋1n ，得x ＝1n (舍去x ＝n )，即A n 1n ，0，则|A n B n |＝n －1
n
，
所以矩形的周长a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2n －1n ＋2n ＋1
n
＝4n ，
则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.
12．29 [解析] 依题意，得a 1＝5，a 2＝3a 1＋1＝16，a 3＝a 2
2
＝8，所以a 1＋a 2＋a 3＝29.
13．n 2
＋n [解析] 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，作差可得8d
＝16，即d ＝2，于是可得a 1＝2，所以S n ＝2×n ＋n （n －1）2
×2＝n 2
＋n .
14．解：(1)由y ＝sin πx ＝0(x ∈(0，＋∞))，得πx ＝n π，
所以x ＝n (n ∈N *
)，所以函数在区间(0，＋∞)内的全部零点构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n .
(2)由(1)可知，b n ＝2n a n ＝n ·2n
.
因为T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n
，
所以2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1
，
两式相减得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1
＝
2（1－2n
）1－2
－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1
－2，
所以T n ＝(n －1)2n ＋1
＋2.
15．解：(1)由已知，得a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．
(2)由(1)得，a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )，所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．
(3)由(2)得，a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1
，
即a n ＝(36－9m )·0.9n －1
＋10m .
由(36－9m )·0.9n －1
＋10m ≤55，得m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n
1－0.9n ＝ 1.51－0.9
n ＋
4(n ∈N *
)恒成立，
所以m ≤5.5.又m >0，综上可得，m ∈(0，5.5]．
16．解：(1)对f (x )＝x ＋1x (x ＞0)求导，得f ′(x )＝1－1
x
2，
21 则切线l n 的方程为y －n ＋1n ＝1－1n 2(x －n )，即y ＝1－1n 2x ＋2n . 易知A n n ＋1，n ＋1＋
1n ＋1，B n n ＋1，n ＋1＋n －1n 2， 由a n ＝|A n B n |，知a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1－n －1n 2＝1n 2（n ＋1）
. (2)证明：由(1)可知，na n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.。