高三函数值域或最值的典型例题解析一

高三函数值域或最值的典型例题解析（一）
1.函数[]2
3,4,5y x x
-=
+∈的值域_____________． 【答案】513,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】由2()f x x =-在(0,)+∞上单调递增，∴23y x =-+在[]4,5x ∈上单调递增，而当4x =时，5
2
y =；当
5x =时，135
y =
. ∴函数值域为513,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
2.求函数2
5
3)(-+=
x x x f 的值域. 【解析】第一步，观察函数类型，型如；
第二步，变形：
函数35361111
()3222
x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：
根据反比例函数的性质可知：
11
02
x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 3.若函数()1
1
x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________. 【答案】[)1,1- 【解析】由()1122
1111
x x f x x x x -+-=
==-+++ 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2
201
x -≤-<+ 所以21111
x -≤-
<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-
故答案为：[)1,1-
4. 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：
由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++
()f x ()ax b f x cx d +=
+e
y cx d
=+()f x 2
()y a x b c =-+
(
)()
225456x x x x =++++
(
)
2
2
5x x =++10(
)2
5x x ++24(
)
2
2
55x x =++-1
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：
因为2
255555244x x x ⎛
⎫++=+-≥- ⎪⎝
⎭,()22550x x ⇒++≥
所以()
2
255
x x ++-11≥-
即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[
)1-+∞， 5.已知函数432
--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,4
25
[--
，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,2
3
[ D ．),23[+∞
【答案】C 【解析】
试题分析：因二次函数432
--=x x y 的对称轴为23=
x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当2
3=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当32
3
≤≤m ,故应选C. 6.设为，的反函数，则的最大值为．
【答案】
【解析】第一步，先判定函数()222x
x f x +=-在区间[]20，
上是单调递增的；
第二步，求出函数()22
2
x x f x +
=-的值域⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡241，；
第三步，根据反函数的性质得出反函数()x f
y 1
-=在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡241，
为增函数； 所以在⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=
7.求函数()1
42
3x
x f x +=--， []1,1x ∈-的值域..
()1f x -()222
x x f x -=+[]0,2x ∈()()1
y f x f x -=+4()()1
y f x f x -=+()()1
y f x f
x -=+
【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：
()1423x x f x +=-- ∴()()32
222
-•-=x
x
x f ，设2x t =，
∴()()2
22314f t t t t =--=--
第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]
0,2t ∈，
第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]
4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]
4,3--. 8.
求函数y x =+.
【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：
令210,2
t t x -==，
所以原函数可化为()211
022
y t t t =-
++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，
故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.
9.求函数的值域.
【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：
因为
所以()()0
732222
=++-+-y x y x y
第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：
2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时
方程有实数根即0≥∆，
3
27
4222++-+=x x x x y x 3
27
4222++-+=x x x x y
=∆()[]()()07324222
≥+---y y y ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-∈⇒2,29y
当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-
=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 10.已知函数9
()(03)1
f x x x x =+≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】第一步，将函数解析式化成()x
a
x x f +=的形式：
因为30≤≤x ，所以01>+x ； 所以()()11
9119-+++=++
=x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：
()()()51191211
9
1=-+⨯
+≥-++
+=x x x x x f ，当且仅当1
91+=+x x ，即2=x 时等号成立。

因为2=x 在定义域内，所以最小值为5. 11.下列说法正确的是（ ）
A ．已知1x >，则函数()1
221
f x x x =+
≥+-B ．已知24x <≤，则函数()14f x x x =+
的值域为1765,816⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．已知4x >，则函数()2log log 2x f x x =+的最小值为2
D ．已知1xy =，则2x y +≥． 【答案】AB
【解析】∴1x >，∴()()1122122211f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()21x -
11x =
-，即1x =A 正确； ∴()1
144f x x x x x
=+=+，∴()f x 在(]2,4单调递增，∴()1765
816
f x <≤，故B 正确；
∴4x >，∴()2log log 22x f x x =+≥，当且仅当2log log 2x x =，即2x =或1
2时取等号． ∴4x >，∴等号取不到，故C 错误；
∴1xy =，∴x ，y 同号．当x ，y 同负时，显然0x y +<，故D 错误，
故选：AB ．
12.求函数的值域.
【解析】第一步，将函数化成基本初等函数()x x f 2
1log =的形式：
令()20532
≤≤+-=x x x μ，所以=y μ2
1log
第二步，讨论函数()20532
≤≤+-=x x x μ的单调性：
因为532
+-=x x μ；
所以532
+-=x x μ在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡230，上是减函数，在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡223，上是增函数；
第三步，讨论函数()()
53log 22
1+-=x x x f 的单调性：
又因为=y μ2
1log 在定义域上是减函数；
所以()()
53log 22
1+-=x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡22
3，上是减函数；
第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以=max f 411
log 2
1
，5log 21min =f ， 所以函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
411log 5log 212
1，。

13.求函数x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=的值域.
【解析】第一步，将函数化成基本初等函数()x
x f ⎪⎭⎫
⎝⎛=21的形式：
令x x 22
+-=μ，所以μ
⎪⎭
⎫
⎝⎛=21y
第二步，讨论函数x x 22
+-=μ的单调性：
因为x x 22
+-=μ；
所以x x 22
+-=μ在[]1，
∞-上是增函数，在[]∞+，1上是减函数； 212
()log (35)
(02)f x x x x =-+≤≤
第三步，讨论函数x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=的单调性：
又因为μ
⎪⎭
⎫
⎝⎛=21y 在定义域上是减函数；
所以x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=在[]1，
∞-上是减函数，在[]∞+，1上是增函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以21min =
f ，所以函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∞+，21。

已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1
,164
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
时，求该函数的值域；
【解析】()()2
44log 2log 3f x x x =--，令41log ,,16-1,24t x x t ⎡⎤=∈∈⎤⎡⎦⎣⎢⎥⎣⎦
则时，，
此时有2
23y t t =--， []
4,0y ∴∈-.
14.求函数的值域.
【解析】第一步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率：
由题意可得：函数可看成定点()32，
到动点()x x sin ,cos 的斜率， 又因为动点()x x sin ,cos 在单位圆上，所以问题转化为求定点()32，
到单位圆连线的斜率的问题。

第二步，根据直线与圆相切得出函数的值域：
设直线的方程为()23-=-x k y ，所以032=+--k y kx
因为直线与圆相切，所以1
3212++-=
k k ，所以3
3
26±=
k ， 所以函数的值域为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-33263326，
15. 求函数的值域. 【解析】第一步，求函数的定义域，对数式应满足真数大于0:
0>得0x >,所以函数()f x 的定义域是()0,+∞，
x
x
y cos 2sin 3--
=
()f x =
第二步，求真数的取值范围，进而求出函数的值域： 设点(
)11,0,,
,,2222P x M N ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，u
=
=1PM PN MN =-<=，所以()0f x <, 所以函数的值域为(),0-∞.
16.
函数2()log )f x x =的最小值为_________.
【答案】1
4
-
17.已知函数()23,1,
{ 2
, 1.
x x x f x x x x
-+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2x
f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ． 47,216⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ B ． 4739,1616⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C ．
2⎡⎤-⎣⎦ D ．
3916⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】不等式()2x
f x a ≥
+为()()2
x f x a f x -≤+≤ (*)，
()f x =
x
当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤
+≤-+， 223
3322
x x a x x -+-≤≤-+， 又2
2147473241616x x x ⎛
⎫-+-=---≤- ⎪⎝⎭（14x =时取等号）
， 2
23339393241616x x x ⎛
⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭
（34x =时取等号）
， 所以4739
1616
a -
≤≤
， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --
≤+≤+， 322
22x x a x x
--≤≤+，
又323
222x x x x ⎛⎫-
-=-+≤- ⎪⎝⎭
x =，
222x x +≥=（当2x =时取等号），
所以2a -≤≤， 综上47
216
a -
≤≤．故选A ． 18. ⎪⎩
⎪
⎨⎧>++≤-=,
0,1
,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D
【解析】由于当0x >时，1()f x x a x
=+
+在1x =时取得最小值2a +，
由题意当0x ≤时，2
()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2
(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．
19.若函数()6,2,
3log ,2,
a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是．
【答案】(1,2]
20.设函数()()()2142 1.
x a x f x x a x a x ⎧-<⎪
=⎨--⎪⎩‚‚‚≥
∵若1a =，则()f x 的最小值为
；
∵若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
．
【答案】(1)1，(2)
1
12
a ≤<或2a ≥. 【解析】∵1a
=时，()()()211412 1.≥⎧-<⎪
=⎨
--⎪⎩
x x f x x x x ‚‚‚，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，函数值大于1，在3
[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当3
2
x =
时，()f x 取得最小值为1； （2）∵若函数()2x
g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >，并且当1x =时，(1)2g a =-
>0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以21且1a a ≥<⇒1
12
a ≤<； ∵若函数()2x
g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当
0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当
(1)20h a =-≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横
坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围
1
12
a ≤<或2a ≥. 21已知函数223,1
()lg(1),1x x f x x
x x ⎧
+-≥⎪=⎨⎪+<⎩
，则((3))f f -=，()f x 的最小值是． 【答案】0，3-22.
【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=
x 时，等
号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 22.若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【解析】因为最值在2
(0),(1)1,()24
a a f
b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．
23.已知a R ∈，函数()4
f x x a a x
=+
-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________ 【答案】9-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦
，
【解析】[][]4
1,4,4,5x x x
∈+
∈，分类讨论： ∵当5a ≥时，()44
2f x a x a a x x x =--+=--，
函数的最大值9
245,2a a -=∴=，舍去；
∵当4a ≤时，()44
5f x x a a x x x
=+-+=+≤，此时命题成立；
∵当45a <<时，(){}
max max 4,5f x a a a a ⎡⎤=-+-+⎣⎦，则：
45{
45
a a a a
a a -+≥-+-+=或45{
55
a a a a
a a -+<-+-+=，解得：92a =
或92
a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
．
24.已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是__________． 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】。