人教版数学八年级上册 轴对称填空选择(篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册轴对称填空选择（篇）（Word版含解析）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：
①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝1
4
BC2．其中正确结论
是_____（填序号）．
【答案】①②
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.
详解：∵∠B=45°，AB=AC
∴点D为BC的中点，
∴AD=CD=BD
故①正确；
由AD⊥BC，∠BAD=45°
可得∠EAD=∠C
∵∠MDN是直角
∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）
故②正确；
∴DE=DF，AE=CF，
∴AF=BE
∴BE+AE=AF+AE
∴AE+AF＞EF
故③不正确；
由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE
∴S四边形AEDF=S△ACD=1
2×AD×CD=
1
2
×
1
2
BC×
1
2
BC=
1
8
BC2，
故④不正确.
故答案为①②.
点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.
2．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．
【详解】
设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；
当点P在线段AD上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16-2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为1或7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA、SAS、AAS、SSS、HL．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解.
3．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．
【答案】24
【解析】
【分析】
在DC 上取DE=DB ．连接AE ，在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD=ED ，AD=AD ．证明
△ABD ≌△AED 即可求解．
【详解】
如图，在DC 上取DE=DB ，连接
AE ．
在Rt △ABD 和Rt △AED 中，
BD ED ADB ADE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△AED （SAS ）．
∴AB=AE ，∠B=∠AED ．
又∵CD=AB+BD ，CD=DE+EC
∴EC=AB
∴EC=AE ，
∴∠C=∠CAE
∴∠B=∠AED=2∠C
又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°
∴∠C=24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．
4．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//AC BD ，BC BD =，在AB 上截取BE ，使BE BD =，过点B 作AB 的垂线，交CD 于点F ，连接DE ，交BC 于点H ，交BF 于点G ，7,4BC BG ==，则AB =____________.
【答案】
658
【解析】
【分析】 过点D 作DM ⊥BD ，与BF 延长线交于点M ，先证明△BHE ≌△BGD 得到∠EHB=∠DGB ，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD ，即MD=MG ，在△△BDM 中利用勾股定理算出MG 的长度，得到BM ，再证明△ABC ≌△MBD ，从而得出BM=AB 即可.
【详解】
解：∵AC ∥BD ，∠ACB=90°，
∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，
又∵BF ⊥AB ，
∴∠ABF=90°，
即∠8+∠2=90°，
∵BE=BD ，
∴∠8=∠1，
在△BHE 和△BGD 中，
8143BE BD ∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩
，
∴△BHE ≌△BGD （ASA ），
∴∠EHB=∠DGB
∴∠5=∠6，∠6=∠7，
∵MD ⊥BD
∴∠BDM=90°，
∴BC ∥MD ，
∴∠5=∠MDG ，
∴∠7=∠MDG
∴MG=MD ，
∵BC=7，BG=4，
设MG=x ，在△BDM 中，
BD 2+MD 2=BM 2，
即()2
227=4x x ++，
解得
x=338
， 在△ABC 和△MBD 中
=8=1BC B ACB MDB D
∠∠∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩
, ∴△ABC ≌△MBD （ASA ）
AB=BM=BG+MG=4+
338
=658. 故答案为：658
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.
5．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，由等边对等角得到∠CAB ＝∠CBA ＝50°，再推出∠DAB ＝∠DBA ，得到AD ＝BD ，然后可证△ACD ≌△BCD ，最后证△ACD ≌△AOD ，即可得AO ＝AC ＝5．
【详解】
解：如图，作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，
∵AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
∵∠OAB＝10°，
∴∠CAD＝∠OAD＝1(CAB OAB)
2
∠-∠＝()
1
5010
2
︒︒
-＝20°，
∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°，
∴∠DAB＝30°＝∠DBA，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°，
在△ACD与△BCD中
AC BC
AD BD
CD CD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠CDA＝∠CDB，
∴∠CDA＝∠CDB＝()
1
360ADB
2
︒-∠＝()
1
360120
2
︒︒
-＝120°，
在△ACD与△AOD中
CDA ADO120
AD AD
CAD OAD
︒
⎧∠=∠=
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ACD≌△AOD（ASA）
∴AO＝AC=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.
6．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与
A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．【答案】①③
【解析】
【分析】
根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴∠EAP=1
2
∠BAC=45°，AP=
1
2
BC=CP．
①在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
∴△AEP≌△CFP，
∴AE=CF．正确；
②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；
③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=1
2
S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；
④根据等腰直角三角形的性质，PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键，也是本题的突破点．
7．AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为______.
【答案】AD的长为a-b或b-a或a+b或1
2
a或b.
【解析】
【分析】
分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据线段的和差关系即可得答案.
【详解】
①如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵AD、BE为△ABC的两条高，
∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠AOE，
∴∠CAD=∠OBD，
又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴AD=BD，
∵BC=a，CD=b，
∴AD=BD=BC-CD=a-b.
②如图，当∠B为钝角时，
∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，
又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴BD=AD，
∴AD=CD-BC=b-a.
③如图，当∠A为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BC-CD=a-b.
④如图，当∠C为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BD=BC+CD=a+b.
⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，
∵OB=AC，∠CAB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD是Rt△ABC斜边中线，
∴AD=AD=1
2
BC=
1
2
a=b.
综上所述：AD的长为a-b或b-a或a+b或1
2
a或b.
故答案为：a-b或b-a或a+b或1
2
a或b
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
8．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；
②AE＝CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF＝EF；
⑤S四边形AEDF＝
1
4
AD2，
其中正确结论是_____（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝
1
2
AD2，从而判定⑤的正误．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，
∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∵∠MDN＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF．
在△AED与△CFD中，
EAD C
AD CD
ADE CDF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；
又∵△ABD≌△ACD，
∴△BDE≌△ADF．故③正确；
∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，ED＝FD，
∴BE+CF＝BE+AE＝AB2BD，
∵EF2ED，BD＞ED，
∴BE+CF＞EF．故④错误；
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADC＝
1
2
AD2．故⑤错误．
综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．
9．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】53
【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得
,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定
理得222CE CF EF +=，设,DE EF x == 则3CE x =-，
则()2
2231,x x -+=由此即可解决问题．
详解：90BAC AB AC ∠==，， ∴45B ACB ∠=∠=，
把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图,则
△ABD ≌△ACF ,
,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF =∠=∠∠=∠=
∵45DAE ∠=，
∴45BAD CAE ∠+∠=，
∴45,CAF CAE ∠+∠=
即45,EAF ∠=
∴∠EAD =∠EAF ，
在△ADE 和△AFE 中
AE AE
EAD EAF
AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，
∴222
CE CF EF
+=，
Rt△ABC中，∵22
AB AC
==，
∴224
BC AB AC
=+=，
∵1
BD=，
设,
DE EF x
==则3
CE x
=-，
则有()222
31,
x x
-+=
解得：
5
.
3
x=
∴
5
.
3
DE=
故答案为
5
.
3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
10．如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：
①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
【答案】2
【解析】
根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由
②③⇒①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.
故答案为：2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出
∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=1
2
∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可
得解；
②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；
③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；
④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.
【详解】
解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP=1
2
∠ABC，
∠CAP=1
2（90°+∠ABC）=45°+1
2
∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+1
2
∠ABC+90°-∠ABC）-1
2
∠ABC，
=180°-45°-
12∠ABC-90°+∠ABC-12
∠ABC ， =45°，故本小题正确；
②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），
∴∠APB=∠FPB=45°，
∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP ，
在△ABP 和△FBP 中， APB FPB PB PB
ABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），
∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；
③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP ，
∵PF ⊥AD ，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP 与△FDP 中，
90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△AHP ≌△FDP （AAS ），
∴DF=AH ，
∵BD=DF+BF ，
∴BD=AH+AB ，
∴BD-AH=AB ，故③小题正确；
④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，
∴AG ⊥DH ，
∵AP=PF ，PF ⊥AD ，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG ，
∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，
∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，
∴DG=AG ，GH=GF ，
∴DG=GH+AF ，
∵AF ＞AP ，
∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.
12．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
试题解析：如图，
过E 作EQ ⊥AB 于Q ，
∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，
∴CE=EQ ，
∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ ⊥AB ，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ ，
∴∠QEB=45°=∠CBA ，
∴EQ=BQ ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，
∴③正确；
作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，
∵∠CAD=
12
∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，
∴∠DBC=∠CAD ，
在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BC
ACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，
∴CN=CD ，AN=BD ，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，
∴AN=CN ，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE ，
∴CD=AN=EN=
12AE ， ∵AN=BD ，
∴BD=12
AE ， ∴①正确，②正确；
过D 作DH ⊥AB 于H ，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA ，
∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在△DCF 和△DBH 中
90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，
∴BH=CF ，
由勾股定理得：AF=AH ，
∴
2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF
+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，
AC+AB=2AC+2CF ，
AB-AC=2CF ，
∵AC=CB ，
∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．
故选D
13．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：
①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出
∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60BAC ∠=︒，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴12EBC ABC ∠=∠，12
ECB ACB ∠=∠，
∴
11
()12060
22
EBC ECB ABC ACB
∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴180()18060120 BEC EBC ECB
∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．
如图，过点D作DF AB
⊥于F，DG AC
⊥的延长线于G，∵BE、CE分别为ABC
∠、ACB
∠的平分线，
∴AD为BAC
∠的平分线，
∴DF DG
=，
∴36090260120
FDG
∠=︒-︒⨯-︒=︒，
又∵120
BDC
∠=︒，
∴120
BDF CDF
∠+∠=︒，120
CDG CDF
∠+∠=︒．
∴BDF CDG
∠=∠，
∵在BDF和CDG
△中，
90
BFD CGD
DF DG
BDF CDG
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴BDF≌()
CDG ASA，
∴DB CD
=，
∴
1
(180120)30
2
DBC
∠=︒-︒=︒，
∴30
DBC DBC CBE CBE
∠=∠+∠=︒+∠，
∵BE平分ABC
∠，AE平分BAC
∠，
∴ABE CBE
∠=∠，
1
30
2
BAE BAC
∠=∠=︒，
根据三角形的外角性质，
30
DEB ABE BAE ABE
∠=∠+∠=∠+︒，
∴DEB DBE
∠=∠，
∴DB DE
=，故②正确．
∵DB DE DC
==，
∴B、C、E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，
∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③， 故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
14．在边长为1的正方形网格中标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC 全等的是（ ）
A ．△ACF
B ．△ACE
C ．△ABD
D ．△CEF 【答案】C
【解析】
【分析】 利用勾股定理先分别求得△ABC 的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.
【详解】 在△ABC 中，2231+10，2211+2，2，
A 、在△ACF 中，2221+5105252，则△ACF 与△ABC 不全等，故不符合题意；
B 、在△ACE 中，10，2，2，则△ACE 与△AB
C 不全等，故不符合题意； C 、在△AB
D 中，AB=AB ，2=BC ，2=AC ，则由SSS 可证明△AC
E 与△ABC 全等，故符合题意；
D 、在△CEF 中，102，2，则△CEF 与△ABC 不全等，故不符合题意， 故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.
15．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：
①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；
③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】
结论（1）正确，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）错误．理由如下：
∵△AOD ≌△COE ，
∴S △AOD =S △COE ，
∴S 四边形CDOE =S △COD +S △COE =S △COD +S △AOD=S △AOC =S △ABC
即△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD ≌△COE ，
∴CE=AD ，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA ，
∴（CD+CE ）2=CD 2+CE 2+2CD•CE=DE 2+2CD•CE=2OA 2；
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD ≌△COE ，∴AD=CE ；∵△COD ≌△BOE ，∴BE=CD ．
在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+CE 2=DE 2，∴AD 2+BE 2=DE 2．
∵△AOD ≌△COE ，∴OD=OE ，
又∵OD ⊥OE ，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE 2=2OE 2，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE ，
∴△OEP ∽△OCE ，
∴，
即OP•OC=OE 2．
∴DE 2=2OE 2=2OP•OC ，
∴AD 2+BE 2=2OP•OC ．
综上所述，正确的结论有3个，
故选C ．
【点睛】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．
16．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；
③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②④
【答案】D
【解析】
①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故正确的有：①②④．
故选D.
17．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED，EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；
④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）
A．①③B．①②④C．①②③④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【详解】
∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，
AE BE
DAE CBE
AD BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正确；
②∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，
∴∠BDE=∠AFE ，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴BD=AF ；
故③正确；
④∵AD=BC ，BD=AF ，
∴CD=DF ，
∵AD ⊥BC ，
∴△FDC 是等腰直角三角形，
∵DE ⊥CE ，
∴EF=CE ，
∴S △AEF =S △ACE ，
∵△AEF ≌△BED ，
∴S △AEF =S △BED ，
∴S △BDE =S △ACE ．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．
18．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，下面四个结论：①AS =AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ；④AP 垂直平分RS ．其中正确结论的序号是（ ）．
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
【答案】C
【解析】
如图，连接AP,根据HL 判定△APR 和△APS 全等，即可说明①正确；由△APR 和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，得到
∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出OP//AB ，即②正确；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等；连接RS ，与AP 交于点D ，先证△ARD ≌△ASD ，即RD=SD ；运用等腰三角形的性质即可判定.
【详解】
解：如图，连接AP
∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，PR =PS
∴△APR ≌△APS
∴AS =AR ，∠RAP=∠PAC
即①正确；
又∵AQ=PQ
∴∠QAP=∠QPA
∴∠QPA=∠BAP
∴OP//AB ，即②正确.
在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等,故③错误.
如图，连接PS
∵△APR ≌△APS
∴AR =AS ，∠RAP=∠PAC
∴AP 垂直平分RS ，即④正确；
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键
19．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：
①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形
2
3ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=1
2
CAB
∠，∠ABE=
1
2
ABC
∠
∴∠BAD+∠ABE=111
+=()45 222
CAB ABC CAB ABC
∠∠∠+∠=︒
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；
在△APH与△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；
连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD ∥EP ，
∴EPH EPD S S =
∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S S
S S =+++四边形 ()ABP AEP EPH
PBD S S S S =+++ ABP APH PBD
S S S =++ ABP FPD PBD S
S S =++ ABP FBP S S =+
2ABP S =
故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．
20．下列两个三角形中,一定全等的是( )
A ．两个等边三角形
B ．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形
C ．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
D ．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．
【详解】
解：A 、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；
B 、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
C 、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
D 、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°
,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA 或AAS 证得它们全等，故本选项正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．
21．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：
①BE DF =； ② 15DAF ∠=;
③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．
其中结论正确的共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】
试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，
∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．
∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=
x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=
， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．
∴综上所述，正确的有3个．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）
A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝1
2
BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS）
∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH＝DF，故选项D不符合题意，
连接BH，
∵AG ＝BG ，DG ⊥AB ，
∴AH ＝BH ，
∴∠HAB ＝∠HBA ＝22.5°，
∴∠EHB ＝45°，且AE ⊥BC ，
∴∠EHB ＝∠EBH ＝45°，
∴HE ＝BE ，
故选项B 不符合题意，
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
23．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有( )个
①BF AC =；②12
AE BF =；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】B
【解析】
【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误．
【详解】
∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠
A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DF
B ＝90°，
∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ，
∴BD ＝DC ，
在△BDF 和△CDA 中
BDF CDA A DFB
BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF ＝AC ，故①正确．
∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ，
∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，
∴BA ＝BC ，
∵BE ⊥AC ，
∴AE ＝EC ＝
12AC ＝12
BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，
∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，
∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，
∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，
∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，
∴DG ＝DF ，故④正确．
作GM ⊥AB 于M ．
∵∠GBM ＝∠GBH ，GH ⊥BC ，
∴GH ＝GM ＜DG ，
∴S △DGB ＞S △GHB ，
∵S △ABE ＝S △BCE ，
∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故选：B ．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）
A．2种B．3种C．4种D．6种
【答案】C
【解析】
【分析】
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证
△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证
△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC
OB OC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC
BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC
BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
25．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可
求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，
BP PC =，
()
PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；
根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC ，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC ⊥AB ，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
26．在ABC ∆中，已知AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 是BC 边延长线上一点，如图所示，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到AF ，连接CF 交直线AB 于点G ，若53BC CE =，则AG BG
=（ ）
A ．73
B ．83
C ．113
D ．133
【答案】D
【解析】
【分析】
过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D, 设BC=5x ，利用AAS 证出△FAD ≌△AEB ，从而用x 表示出AD ，BD ，然后利用AAS 证出△FDG ≌△CBG ，即可用x 表示出BG,AG 从而求出结论．
【详解】
解：过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D。