中考数学点对点专项训练(解答题)第七部分 能力提升

第七部分能力提升
一．多元一次方程组1．某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）
裁法一裁法二裁法三
A型板材块数120
B型板材块数2m n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m＝，n＝；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？
二．二元二次方程组2．市政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整．调整后生活用水价格的部分信息如下表：
用水量（m3）单价（元/m3）
5m3以内（包括5m3）的部分2
5m3以上的部分x
已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．请你通过上述信息，求出表中的x．
三．函数最值问题
3．阅读材料：
若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．
∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
举例应用：
已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
四．四点共圆
4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠P AC＝90°，AB＝2，求PD的长．
参考答案与试题解析
第七部分能力提升
一．多元一次方程组
1．【解答】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120＝30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，
而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板；
∴m＝0，n＝3；
（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，
又∵满足x+2y＝240，2x+3z＝180，
∴整理即可求出解析式为：y＝120﹣x，z＝60﹣x；
（3）由题意，得Q＝x+y+z＝x+120﹣x+60﹣x．
整理，得Q＝180﹣x．
由题意，得
解得x≤90．
[注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍]
由一次函数的性质可知，当x＝90时，Q最小．
由（2）知，y＝120﹣x＝120﹣×90＝75，z＝60﹣x＝60﹣×90＝0；
故此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
二．二元二次方程组
2．【解答】解：设小晶家用水ym3，则小磊家用水1.5ym3，由题意，得：
，解得．
∴x＝3．
三．函数最值问题3．【解答】解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．
∴y＝x×（+）＝（70≤x≤110）；
（2）根据材料得：当时有最小值，
解得：x＝90
∴该汽车的经济时速为90千米/小时；
当x＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．
四．四点共圆
4．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．
在Rt△P AC中，∠P AC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，
∴AP＝＝2．
在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴AD＝AC•tan∠ACD＝6．
∴PD＝AD﹣AP＝6﹣2＝4．。