【创新方案】2019高考数学(理)一轮复习配套文档：第7章 第6节 空间向量的运算及空间位置关系

第六节空间向量的运算及空间位置关系
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1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．
2．会推导空间两点间的距离公式．
3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．
(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设
1．空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？
提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分．坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均为零．2．对于实数a，b，若ab＝0，则一定有a＝0或b＝0，而对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b ＝0吗？
提示：不一定．因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b＝0.
3．对于非零向量b，由a·b＝b·c⇒a＝c，这一运算是否成立？
提示：不成立．根据向量数量积的几何意义，a·b＝b·c说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等，而不是a＝c.
1．(教材习题改编)下列
①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0；
②|a|－|b|＝|a ＋b|是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；
④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (其中x 、y 、z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．
其中不正确
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ①④正确；对于②，|a|－|b|＝|a ＋b|是a 、b 共线的充分不必要条件；对于③，a 与b 所在的直线可能是同一条直线，故②③错．
2．已知正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ＝1AA ＋x AB ＋y AD ，则x ，y 的值分别为( )
A ．x ＝1，y ＝1
B ．x ＝1，y ＝1
2
C ．x ＝12，y ＝12
D ．x ＝1
2
，y ＝1
解析：选C 易求AE ＝1AA ＋12AB ＋12AD ，故x ＝y ＝1
2
.
3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )
A ．2，12
B ．－13，1
2
C ．－3,2
D ．2,2
解析：选A 经验证可知，当λ＝2，μ＝1
2
时，a ＝(3,0,2)，b ＝(6,0,4)，即b ＝2a ，故a ∥b.
4．(教材习题改编)已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，λ，－1)．若a ⊥b ，则λ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴(－3)×1＋2λ＋5×(－1)＝0，∴λ＝4. 答案：4
5. 如图所示，正方体的棱长为1，M 是所在棱上的中点，N 是所在棱上的四分之一分点(靠近y 轴)，则M 、N 之间的距离为________．
解析：由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，0， 故| MN |＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－142＋－
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－02
＝294.
答案：
29
4
方法博览(五)
巧用基向量求解立体几何问题
[典例] (2018·浙江高考)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直
[解题指导] 本题是研究直线AC 与BD 、AB 与CD 、AD 与BC 是否垂直的问题，故可利用向量证明AC ·BD 、
AB ·CD 、AD ·BC 是否为0.
[解析] 如图所示，在图(1)中，易知AE ＝CF ＝
63，BE ＝EF ＝FD ＝3
3
.
在图(2)中，设AE ＝a ，EF ＝b ，FC ＝c ，则〈a ，b 〉＝〈b ， c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝θ，
则AC ＝a ＋b ＋c ，BD ＝3b ，故AC ·BD ＝3b 2
＝1≠0，故AC 与BD 不垂直，A 不正确；AB ＝AE ＋EB
＝a －b ，CD ＝CF ＋FD ＝b －c ，所以AB ·CD ＝－a·c－b 2
＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3
时，
AB ·CD ＝0，故B 正确；AD ＝AE ＋ED ＝a ＋2b ，BC ＝BF ＋FC ＝2b ＋c ，所以AD ·BC ＝a·c＋4b 2
＝23cos θ＋43＝2
3(cos θ＋2)，故无论θ为何值，AD ·BC ≠0，故C 不正确． [答案] B
[点评] 1.用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角A­BD­C 大小在变化，即π－θ在变化，因此可以AE 、EF 、FC 为基向量，同时也便于运算．
2．注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去．
空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．
解析：由题意知
AO ·BC ＝AO ·(AC －AB )＝AO ·AC －AO ·AB ＝8×4×cos 45°－8×6×
cos 60°＝162－24.∴cos 〈AO ，BC 〉＝
AO BC AO BC
⋅⋅＝
162－248×5＝22－3
5
<0.
∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－22
5
. 答案：3－22
5。