川省成都市高第一次诊断性测试文科数学试题及答案

四川省成都市高第一次诊断性测试
文科数学试题及答案(共14页)
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2
成都市高中毕业班第一次诊断性检测题
数 学（文科）
注意事项：全卷满分为150分，完成时间为1。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么
球的表面积公式
P (A +B )=P (A )+P (B )
S =4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径
P (A •B )=P (A )•P (B )
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
33
4R V π=
k n k k
n n P P C k P --⋅⋅=)1()(
其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8+3lg5的值为
(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ，则下列不等式中总成立的是 (A) 11++>
a b a
b (B) b b a a 1
1+>+ (C) a
b b
a 11+>+ (D)
b
a
b a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ，则p ⌝是q ⌝的
3
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．已知)(x f 是R 上的增函数，若令)1()1()(x f x f x F +--=，则)(x F 是R 上的
(A) 增函数 (B) 减函数
(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数
5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα
②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③
6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)3
2sin(π
-=x y 的图象，
则向量a 可以是
(A) )0,3
(π (B) )0,6
(π (C) )0,3
(π- (D) )0,6
(π
-
7．一组样本数据，容量为150。

按从小到大的组序分成10个组，其频数如下表：
那么，第5组的频率为
(A) (B) 10 (C) (D) 15
8．函数y =f (x )的图象如右图所示，则y = (x )的示意图是
4
9．设向量)25sin ,25(cos =a ，)20cos ,20(sin =b ，若t 是实数，且b t a u +=，则||u 的最小值为
(A) 2 (B) 1 (C)
2
2
(D) 21
10．有A 、B 、C 、D 、E 、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。

若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 42 11．已知)1(3
cos 3)1(3
sin )(+-+=x x x f π
π，则
)2006()2005()2()1(f f f f ++++ =
(A)32 (B) 3 (C) 1 (D) 0
12．已知集合}0|{},032|{22<++=≤--=q px x x B x x x A 满足
}21|{<≤-=x x B A ，则
p 与q 的关系为
(A) 0=-q p (B) 0=+q p (C) 5-=+q p (D) 42-=+q p
5
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 把答案填在题中横线上。

13．82)2(x -的展开式中，x 10的系数为 （用数字作答）。

14．在数列}{n a 和}{n b 中，b n 是a n 和a n +1的等差中项，a 1=2且对任意*N n ∈都有031=-+n n a a ，则}{n b 的通项b n = 。

15．若角α、β满足2π-<α<β<2
π
，则βα-2的取值范围是 。

16．如图，棱长为3的正三棱柱内接于球O 中，则球O 的表面积为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17．（共12分）
甲、乙两人参加一项智力测试。

已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。

规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。

得分 评卷人
得分
评卷人
6
（I ）求甲乙两人均通过测试的概率；
（II ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率。

18．（共11分）
已知ΔABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ,b <a <c 且
)4
tan 4(cot 32cos 202
A
A A -=。

求sin2A 的值。

19．（共14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点。

（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平
面PBC；
7
8
共12分）
已知向量k b a ),1,2(),2,1(-==、t 为正实数，b t
a k y
b t a x 1,)1(2+-=++=。

（I ）若y x ⊥，求k 的最大值；
（II ）是否存在k 、t 使得y x //若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

9
21．（共12分）
某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润
100)40(160
1
2+--
=x P 万元。

当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润)60(2
119
)60(1601592x x Q -+--=万元。

问从的累积利润看，该规划方案是否可行？
10
22．（共13分）
已知数列}{n a 中，),3,2,1(0 =>n a n ，其前n 项和为S n ，满足
*,)1(N n a p S p n n ∈-=-，0>p 且1≠p 。

数列}{n b 的满足n p n a b log 1-=。

（I ）求数列}{n a 、}{n b 的通项a n 与b n ； （II ）若,2
1=p 记n n
n
n T a b c ,=
为数列}{n c 的前n 项和，求证：40<<n T 。

成都市高中毕业班第一次诊断性检测题 数学试题（文科）参考答案及评人人分意见
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．原式=3lg2+3lg5=3lg10=3，选（D ）。

2．由a
b b a b a b a 111100+>+⇒<<⇒>>，选（C ）或令特值：a =2,b =1，排除（A ）、（D ），再令3
1,21==b a ，排除（B ）。

3．q p p q ⌝⇒⌝⇔⇒
；反之，p 推不出
q ⇔q ⌝推不出p ⌝。

选（A ）
4．取x x f =)(，则x x x x F 2)1()1()(-=+--=为减函数，选（B ）。

5．对②、④可画图举出反例，选（D ）。

6．)6
(2sin )3
2sin(ππ-=-=x x y ，由x y 2sin =的图象变为)6
(2sin π
-=x y 的图
象，),0,6
(π
=∴a 选（B ）。

7．1.0150
)111216191318141715(150=++++++++-，（选A ） 8．)(log ),1,0(2.02.0x f ∴∈ 是减函数，而)(x f 在（0，1）是减函数，在（1，
2）是增函数，故)(log 2.0x f 在（0，1）是增函数，而在（1，2）应是减函数，选（C ）。

9．,2
245sin 25sin 20cos 25cos 20sin ,1||||==+=•== b a b a 2
2||,2121)22(122||||2222222≥∴≥++=++=+•+=+=∴u t t t b t b a t a b t a u 选（C ）。

10．分两类：①甲运B 箱，有22
1224142
1C C C C •••种；②甲不运B 箱，有222324C C C ••。

∴不同的分配方案共有221224142
1C C C C •••+222324C C C ••=42（种），选（D ）。

11．x x x f 3
sin 2]3)1(3sin[2)(πππ=-+= 。

周期T =6。

且)5()4()3()2()1(f f f f f +++=
,0)6(=+f ∴=++++)2006()2005()2()1(f f f f ++⨯=+)13346()2006()2005(f f f )23346(+⨯f =322
32232)2()1(=⨯+⨯=+f f 。

选（A ） 12．}31|{≤≤-=x x A 。

B A 非空，∴B 非空。

设}|{21x x x x B <<=，观察数轴，有2,121=-<x x 。

即x =2是方程02=++q px x 的一个根，把22=x 代入02=++q px x ，有024=++q p 。

选（D ）。

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．设.)(22881r r r r x C T -=-+由5102=⇒=r r 。

10x ∴的系数为4482)1(3585-=-C 。

14．)(3103*11N n a a a a n n n n ∈=⇒
=-++。

}{n a ∴是公比为31的等比数列⇒⋅=⇒-1)3
1(2n n a 111)3
1(34])31(2)31(2[21)(21--+=⋅+⋅=+=n n n n n n a a b 。

15．;23223,2
2,2,22πβαππβππαππβαπ<-<-∴<-<-<<-∴<<<- 又 ,2223,2)(2πβαππαβααβα<-<-∴<<-+=- 即)2
,23()2(ππβα-∈-。

[注]：只有左界者得1分。

16．可求得.2
3,333311==⨯=
OO AO 设该球的半径为R ，则AO =R 。

由212OO AO =+
21AO ，得ππ214,421)23()3(2222==∴=+=R S R 球。

三、解答题：（共74分）
17．解：（I ）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A 、B ，则
32)(310
361426=+⋅=C C C C A P ， 2分 1514)(310
381228=+⋅=C C C C B P 。

2分 ∵A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
45
28151432)()()(=⨯=⋅=B P A P AB P 。

3分 （II ）∵A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
45
1)15141)(321()()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P 。

3分 ∴甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为
4544
4511)(1=-=⋅-=B A P P 。

2分
18．解：由)4tan 4(cot 32cos 202A
A A
-=有 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=4cos 4sin
4sin 4cos 32cos 202A A A A A
， 2分
即4
cos 4sin 4sin 4cos 32cos 20222A A A A A ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=。

,2
sin 2
cos 62cos 202A A
A =∴ 2
分 即02cos 62cos 2sin 202=-A
A A 。

0)32cos 2sin 10(2cos 2=-∴A
A
A。

1分
∵A 、B 、C 是三角形的内角，02cos ≠∴A
，
53
sin ,3sin 5==∴A A 。

2分
又∵b <a <c ，∴A 为锐角。

54
sin 1cos 2=-=∴A A 。

2分
2524
cos sin 22sin ==∴A A A 。

2分
19．解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A (a ,0,0) ,
B (a ,a ,0)，
C(0,a ,0),P(0,0,a ) )2,2,2(a
a a E 。

),2
,2,2(a a a AE -=∴ ),0,0(a DP =。

2
202022a a a a a DP AE =⨯+⨯+⨯-=⋅∴。

又,2
3||,||a AE a DP == 33232||||,cos 2
=⋅=⋅>=<∴a a a DP AE DP AE DP AE 。

故异面直线AE 、DP 所成角为3
3arccos。

7分 （II ）∵F ∈平面PAD ，故设F (x ,0,z )，则有)2,2,2(a z a a x EF ---=。

∵EF ⊥平面PBC ，∴BC EF ⊥且PC EF ⊥。

∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.
0,0PC EF BC EF 又),,0(),0,0,(a a PC a BC -=-= ，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅-+⋅-=--∴.0)2()()2
(,0)2)((a z a a a a x a 从而⎪⎩⎪⎨⎧==.
0,2z a x ∴)0,0,2
(a F ，取AD 的中点即为F 点。

7分 ：),3,12()1,2)(1()2,1()1(2222+--=-++=++=t t t b t a x
)12,2()1,2(1)2,1(1t k t k t k b t a k y +---=-+-=+-=。

2分 （I ）若,y x ⊥则0=⋅y x 。

0)12)(3()2)(12(22=+-++----t
k t t k t 。

2分 整理，得.21≥+=t
t k
.2min =∴k 3分 （II ）假设存在正实数k 、t ，使y x //，则
0)2)(3()12)(12(32=--+-+---t
k t t k t 。

2分 化简，得01)1(2=++t t k 。

2分
k 、t 是正实数，故满足上式的k 、t 不存在。

∴不存在这样的正实数k 、t ，使y x //。

1分
21．解：在实施规划前，由题设100)40(160
12+--=x P （万元），知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元。

则的总利润为W 1=100×10=1000（万元）。

3分
实施规划后的前5年中，由题设100)40(16012+--
=x P 知，每年投入30万元时，有最大利润8
795max =P （万元）。

前5年的利润和为
8397558795=⨯（万元）。

3分 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资，则其总利润为
5)2
119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x 。

3分
当x =30时，W 2|max =4950（万元）。

从而的总利润为495083975+（万元）。

2分 100049508
3975>+ ，故该规划方案有极大实施价值。

1分 22．解：（I ）n =1时，.0)1()1(111=-⇒-=-a p a p a p 由101=⇒>a p 。

1分 当n≥2时 ,)1(n n a p S p -=- ① ,)1(11++-=-n n a p S p ②
由②—①，有.)1(11++-=-n n n a a a p 2分 从而，p
a a a pa n n n n 111=⇒=++。

∴数列}{n a 是以1为首项，
p 1为公比的等比数列。

∴1)1
(-=n n p a 。

3分 ∴ .)1(1)1(log 1log 11n n p a b n p n p n =--=-=-=- 1分 （II ）当21=p 时，12-==n n n n n a b c 。

1分 0,0>∴>n n T c 。

∵,22322211210-++++=
n n n T ③ n n n n n T 2
21222121
121+-+++=∴- 。

④ 由③—④，得n n n n T 22121212121
1210-++++=
- n n
n 22
11)21(1---= 2分 n
n n 221
21--=-
n n 222+-=。

1224-+-=∴n n n T 。

1分 .4,0221<∴>+∴-n n T n 40<<∴n T 。

1分。