北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合检测题及答案

第一章单元测试卷
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是(C )
A ．对角线互相平分
B ．对角线互相垂直
C ．对角线相等
D ．既是轴对称图形又是中心对称图形
2. 下列命题中，真命题是(D )
A ．两条对角线垂直的四边形是菱形
B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C ．两条对角线相等的四边形是矩形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C )
A ．2
B . 3
C ．1
D .12
4. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C )
A ．22.5°角
B ．30°角
C ．45°角
D ．60°角 ,第5题图) ,第6题图)
,第7题图)
5. 如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是(C )
A ．一定不是平行四边形
B ．一定不是中心对称图形
C ．可能是轴对称图形
D ．当AC ＝BD 时它是矩形
6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6 cm ，8 cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是(B )
A .485 cm
B .245 cm
C .125
cm D ．5 3 cm
7. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是(D )
A ．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形
B ．若BD ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形
C ．若A
D 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形
D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
8. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为(C )
A ．3
B ．3.5
C ．2.5
D ．2.8
,第8题图) ,第9题图)
,第10题图)
9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)
A.1
2
B.
3
3
C．1－
3
3
D.2－1
10. 如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为(D)
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
2
D. 2
二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)
11. 已知菱形的周长是20 cm，一条对角线长为8 cm，则菱形的另一条对角线长为6cm.
12. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)
13. 如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.
,第13题图) ,第15题图)
,第16题图)
14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是30cm2.
15. 如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为20.
16. 如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4…在射线OM上，依此类推，则第n个正方形的周长C n＝2n＋1.
三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)
17. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE.在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE，BE ＝BE ，
，∴△ABE ≌△CBE(SAS )，∴AE ＝CE
18. 如图，已知菱形ABCD 两条对角线BD 与AC 的长度之比为3∶4，周长为40 cm ，求菱形的高及面积．
解：∵BD∶AC＝3∶4，∴设BD ＝3x ，AC ＝4x ，∴BO ＝3x 2，AO ＝2x ，又∵AB 2＝BO 2＋AO 2，∴AB ＝52x ，∵菱形的周长是40 cm ，∴AB ＝40÷4＝10(cm )，即52
x ＝10，∴x ＝4，∴BD ＝12 cm ，AC ＝16 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12BD·AC＝12
×12×16＝96(cm 2)，又∵S 菱形ABCD ＝AB·h，∴h ＝9610＝9.6(cm )，菱形的高是9.6 cm ，面积是96 cm 2
19. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点，EF ⊥CE ，交AB 于点F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，求AE 的长．
解：∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC ，∴△EFA ≌△CED(AAS )，∴AE ＝CD.设AE ＝x ，则DC ＝x.由矩形的周长为16得2x ＋2＝8，∴x ＝3，即AE 的长为3
四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)
20. 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OBC ＝∠OCB .
(1)求证：平行四边形ABCD 是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形．
解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵∠OBC ＝∠OCB，∴OB ＝OC ，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形
(2)AB ＝AD(或AC⊥BD 答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形(或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是正方形)
21. 如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即AD ＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明．
解：(1)在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，
∴△DCA ≌△EAC(SSS ) (2)添加AD ＝BC ，可使
四边形ABCD 为矩形．理由：∵AB＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E ＝90°，由(1)知△DCA≌△EAC，∴∠D ＝∠E＝90°，∴四边形ABCD 为矩形
22. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ＝AE.
(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；
(2)当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．
解：(1)由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠EAC.∵AF＝CE ＝AE ，∴∠F ＝∠AEF＝∠EAC＝∠EC A.又∵AE＝EA ，∴△AEC ≌△EAF ，∴EF ＝CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 (2)当∠B＝30°时，四边形ACEF 是菱形．理由：∠B＝30°，∠ACB ＝90°，∴
AC ＝12AB.∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE.∵AE＝CE ，∴AE ＝BE ＝CE ＝12
AB ，∴AC ＝CE ，由(1)得四边形ACEF 是平行四边形，∴四边形ACEF 是菱形
五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
23. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF.
(1)求证：BE ＝BF ；
(2)若∠ABE＝20°，求∠BFE 的度数；
(3)若AB ＝6，AD ＝8，求AE 的长．
解：(1)由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD 为矩形，∴DE ∥BF ，∴∠BFE ＝∠DEF，∴∠BEF ＝∠BFE，∴BE ＝BF (2)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF ＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF ＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE 的度数为55° (3)由题意知
BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝DE ＝8－x ，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74
，即AE 的长为74
24. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0＜t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.
(1)求证：AE ＝DF ；
(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
解：(1)∵∠DFC＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ，∴DF ＝2t ，又∵AE＝2t ，∴AE ＝DF (2)能，理由：∵AB⊥BC，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ，又∵AE＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60－4t ＝2t ，解得t ＝10，∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形 (3)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD 为平行四边形，∴EF ∥AD ，∴∠ADE
＝∠DEF＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠AED ＝30°，∴AD ＝12
AE ＝t ，又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A＝60°，则
∠ADE＝30°，∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝152
；③若∠EFD＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t ＝152
s 或12 s 时，△DEF 为直角三角形
25. 已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上的点，连接AE ，BF 相交于点H ，且AE ⊥BF.
(1)如图1，连接AC 交BF 于点G ，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；
(2)如图2，延长BF 到点M ，连接MC ，若∠BMC＝45°，求证：AH ＋BH ＝BM ；
(3)如图3，在(2)的条件下，若点H 为BM 的三等分点，连接BD ，DM ，若HE ＝1，求△BDM 的面积．
解：
(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠BCD＝90°，∴∠ACB ＝∠ACD＝45°，∵AE ⊥BF ，∴∠AEB ＋∠FBC＝90°，∵∠FBC ＋∠BFC＝90°∴∠AEB ＝∠BFC，∵∠AGF ＝∠BFC ＋∠ACF，∴∠AGF ＝∠AEB＋45° (2)过C 作CK⊥BM 于K ，∴∠BKC ＝∠AHB＝90°，∵∠BMC ＝45°，∴CK ＝MK ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD＝90°，∴∠ABH ＝∠BCK，∴△ABH ≌△BCK(AAS )，∴BH ＝CK ＝MK ，AH ＝BK ，∴BM ＝BK ＋MK ＝AH ＋BH (3)由
(2)得，BH ＝CK ＝MK ，∵H 为BM 的三等分点，∴BH ＝HK ＝KM ，过E 作EN⊥CK 于N ，∴四边形HENK 是矩形，∴HK ＝EN ＝BH ，∠BHE ＝∠ENC，∴△BHE ≌△ENC(ASA )，∴HE ＝CN ＝NK ＝1，∴CK ＝BH ＝2，∴BM ＝6，连接CH ，∵HK ＝MK ，CK ⊥MH ，∠BMC ＝45°，∴CH ＝CM ，∠MCH ＝90°，∴∠BCH ＝∠DCM，∴△BHC ≌△DMC(SAS )，∴BH ＝DM ＝2，∠BHC ＝∠DMC＝135°，∴
∠DMB ＝90°，∴△BDM 的面积为12
DM·BM＝6。