山西高二高中数学期中考试带答案解析

山西高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数，若是纯虚数，则实数等于
A．B．C．D．
2.用三段论推理：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．是正确的
3.函数在区间上的最小值为
A．B．C．D．
4.曲线与直线围成的封闭图形的面积是
A．B．C．D．
5.用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A．、至少有两个不小于2
B．、至少有一个不小于2
C．、都小于2
D．、至少有一个小于2
6.若函数有极值，则的取值范围是
A．B．
C．D．
7.二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，观察发现；三维空间球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度
A．B．C．D．
8.已知函数=，若存在使得，则实数的取值范围是
A．B．(C．D．
9.用数学归纳法证明不等式则与相比,不等式左边增加的项数是A．B．C．D．
10.设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A．B．C．D．
11.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种
A．24B．60C．72D．120
12.已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.设复数满足,则__________.
2.有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有________种.
3.已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,-3)处的切线方程是
_______________.
4.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为__________.
三、解答题
1.某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用
为千元，半球部分每平方米的费用为千元，设该容器的建造费用为千元.
（1）求关于的函数关系，并求其定义域；
（2）求建造费用最小时的.
2.已知=,其中.
(1)若在处取得极值，求实数的值.
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
3.已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线平行.
(1)求的值.
(2)若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.
4.设函数,其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间内恒成立，求的取值范围.
山西高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知复数，若是纯虚数，则实数等于
A．B．C．D．
【解析】由题意可得,则a=1.
本题选择B选项.
2.用三段论推理：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．是正确的
【答案】A
【解析】任何实数的平方大于或等于，大前提错误，故选A.
【考点】三段论.
3.函数在区间上的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】,当时,,
当时,,
所以x=1是函数的极小值点,
也是函数的最小值点,
则x=1时,函数取得最小值为0
本题选择D选项.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
4.曲线与直线围成的封闭图形的面积是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),
则封闭图形的面积为
本题选择D选项.
点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.
5.用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A．、至少有两个不小于2
B．、至少有一个不小于2
C．、都小于2
D．、至少有一个小于2
【答案】C
【解析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于”的否定为“、都小于”．故选C．
【考点】反证法．
6.若函数有极值，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】,因为函数有极值，
令,且,
所以由二次函数的性质可得,
求解可得
本题选择D选项.
7.二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，观察发现；三维空间球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知, 四维测度的导数,则
本题选择B选项.
点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
8.已知函数=，若存在使得，则实数的取值范围是
A．B．(C．D．
【答案】C
【解析】令,
则存在使得,
即,
令,则,
则函数在上是增函数,
所以函数的最大值是,
则.
本题选择C选项.
9.用数学归纳法证明不等式则与相比,不等式左边增加的项数是A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为当时,左边为,共有项;
当时,左边为,共有项,
因此增加的项数为,
本题选择D选项.
10.设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,
因为导数的最大值为3,所以=3,
则,
令,
则,令k=0
可得,
本题选择A选项.
11.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种
A．24B．60C．72D．120
【答案】B
【解析】由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,
剩余的三节任意排列,则有种不的排法.
本题选择B选项.
12.已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，又＝，令
，则，，所以，所以：（1）若时，则，函数在内单调递减，故在内至多有一个零点；（2）若时，则，函数在内单调递增，故在内至多有一个零点；（3）若时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以
＝．令＝
（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即
恒成立，所以函数在内有两个零点，则，解得
．综上所述的取值范围为，故选A．
点睛：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．判断函数零点的个数的方法：(1)直接法：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)画图法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可．(3)定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决．
二、填空题
1.设复数满足,则__________.
【答案】-1-i
【解析】因为,所以, 则.
2.有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有________种.
【答案】81
【解析】因为每一封信均有3种投法,所以不的投法有
3.已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,-3)处的切线方程是
_______________.
【答案】
【解析】由题意, 当时，则，,则,
所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,
则切线方程为
.
点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
4.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】令,在上,由，
则有，
故函数在上是减函数,
则由不等式可得,
即,
即不等式的解集为
三、解答题
1.某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费
用为千元，半球部分每平方米的费用为千元，设该容器的建造费用为千元.
（1）求关于的函数关系，并求其定义域；
（2）求建造费用最小时的.
【答案】(1)，定义域为；(2)3.
【解析】(1)由容积为立方米，得,解得,又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域为.
(2)，又，所以，所以建造费用，在定义域
上单调递减，所以当时建造费用最小.
2.已知=,其中.
(1)若在处取得极值，求实数的值.
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)1；(2).
【解析】
(1),由,求出a的值,再验证结论即可;
(2)由题意可得在上恒成立,即,利用三角函数的性质求出
在上的最小值即可.
试题解析：
(1)
由可得；
经检验，满足题意.
(2)函数在单调递增.
在上恒成立.
即在上恒成立.即
=，
.
检验，时，=，仅在处取得.所以满足题意.
.
3.已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线平行.
(1)求的值.
(2)若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1) 求导,由易得可得, 求解可得结果;
(2),判断函数的单调性,并求出函数的极值与区间端点的函数值,结合函数的大致图象,则易得结论.
试题解析：
(1)
因为曲线在处的切线与直线平行，所以，所以.
(2)由得令得.
当时，；当时，；当时，
在，单调递增，在单调递减.
又
若函数在区间上有三个零点，等价于函数在上的图象与有三个公共点. 结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是.
4.设函数,其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间内恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
(1),分,两种情况讨论的符号,则可得函数的单调性;
(2)根据题意, 令=, 只需在上恒大于0即可.易知,由，则有在
处必大于等于0, 可得.令,求导并判断函数的单调性,则结论易得.
试题解析：
(1)
①当时，，，在上单调递减.
②当时，=
当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
(2)原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令=，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。