青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试卷B卷（附答案详解）
1．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ACD 的面积为1，则△ABC的面积为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（）A．线段B．一个点C．等边三角形D．等腰三角形
3．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，那么旗杆的高度是（）A．9m B．11 m C．12 m D．27m
4．如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则DE
BC
=( )
A．1
4
B．
3
2
C．
1
2
D．
2
2
5．如图，利用标杆BE测量楼的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为（）
A．10.5 m B．9.5 m C．12 m D．14 m
6．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线
k
y
x
=（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分
别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于（）
7．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，连结DP 并延长交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，若DP=3，EF=23，则PE 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
8．如图，在ABC 中，90C ∠=，10AB =，6AC =，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为（ ）
A ．6.4
B ．3.2
C ．3.6
D ．8
9．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于点F ，若DE=12，则DF 等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
10．在ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A ．若//EF BC ，则AE AF E
B FC
= B ．若AE AF EB FC =，则//EF BC C ．若//EF BC ，则AE EF AB BC = D ．若AE EF AB BC
=，则//EF BC 11．如图，ADE ACB ∽，则:DE BC =________．
12．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA ，则称点P 为△ABC 的布罗卡
尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=_____．
13．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且
1AB =，3CD =，那么EF 的长是________．
14．如图，已知Rt ABC ，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记
11BD E ，22BD E ，33BD E ，…，n n BD E 的面积为1S ，2S ，3S ，…n S ．若
1ABC S =，则2010S =________．
15．某生利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆CD 等于3m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15m ，人的眼睛距地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ．则旗杆AB 的高度为_____．
16．如图，DE 是△ABC 的中位线，若S △ADE ＝2．则S 四边形BDCE ＝_____．
17．如图，把两个等腰直角三角板如图放置，点F 为BC 中点，AG=1，BG=2，则CH 的长为_________．
18． 一个三角形的三边之比为 2：3：4，和它相似的另一个三角形的最大边为 16，则它的最 小边的长是_____．
19．如图，90ABD BDC ∠=∠=，A CBD ∠=∠，3AB =，2BD =，则
CD =________．
20．已知△ADE ∽△ABC ，相似比为 2：3，则 S △ADE ：S △ABC 的值为________． 21．如图1，过等边三角形ABC 边AB 上一点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，分别取BC ，DE 的中点M ，N ，连接MN ．
（1）发现：在图1中，3MN BD =，说明理由； （2）探索：如图2，将△ADE 绕点A 旋转，请求出MN BD
的值； （3）拓展：如图3，△ABC 和△ADE 是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE ，M ，N 分别是底边BC ，DF 的中点，若BD ⊥CE ，请直接写出MN BD
的值．
22．如图，已知ABC 中，10BC =，BC 边上的高8AH =，四边形DEFG 为内接矩形．
()1当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．
()2设EF x =，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．
23．已知：在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 相交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF.求证：AD CG DE CD =； (2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，AD CG DE CD
=成立？并证明你的结论； (3)如图③，若BA ＝BC ＝9，DA ＝DC ＝12，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF.求DE CF
的值．
24．如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36º，∠C=72º，∠ADB=108º。

求证：(1)AD=BD=BC ；
(2)点D 是线段AC 的黄金分割点。

25．如图，一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得影子DE 的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为
1.5米，求路灯A 的高度AB ．
26．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）
27．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于__ __；
②相似体表面积的比等于___ _；
③相似体体积比等于__ __．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.2米，体重为19千克，到了初三时，身高为1.70米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化，保留4个有效数学)
28．已知等边ABC 中，D 是BC 边上的动点，60EDF ∠=．
求证：BDE CFD ∽．
参考答案 1．D 【解析】
【分析】 由∠ACD=∠B 结合公共角∠A=∠A ，即可证出△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可
得出2
14ACD
ABC S AD S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 结合△ADC 的面积为1，即可求出△ABC 的面积． 【详解】
∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，
∴△ACD ∽△ABC ，
2
14ACD
ABC S AD S AC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，
故选D ．
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析.
【详解】
解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图：
； 当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：
；
投影不可能是B.
故选B.
【点睛】 本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同
3．C
【解析】
【分析】
由于光线是平行的，影长都在地面上，可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例即可得求得旗杆的高度．
【详解】
设旗杆的高度为xm，
根据题意得：，
解得：x=12，
即旗杆的高度为12m，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，结合生活实际得到身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似是解决问题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，可得答案.
【详解】
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AD DE AB BC
=
∵S△ADE＝S四边形BDEC,∴
1
2
ADE
ABC
S
S
=,
∴
12
22 AD
AB
==,
∴
2
2 DE
BC
=
2
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5．C
【解析】
由题意可知：BE⊥AC于点B，DC⊥AC于点C，
∴BE∥CD,
∴△ABE∽△ACD，
∴BE AB
DC AC
=，即
1.52
214
CD
=
+
，解得：CD=12.
故选C.
6．C
【解析】
连接OD，过点C作CE⊥x轴，
∵OC=CA，
∴OE:OB=1:2；
设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，∵△COE∽△AOB，
∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1:4，
∵△ACD的面积为3，
∴△OCD的面积为3，
∴三角形BOA面积为6+x，
即三角形BOA的面积为6+x=4x，
解得x=2，
∴1
2
|k|=2，
∵k>0，
∴k=4，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
连接BP，根据菱形的性质证明△ABP≌△APD，即可得∠ABP=∠ADP，结合平行线的性质可证得∠F=∠ADP=∠ABP，再证明△EBP∽△FBP，根据相似三角形的性质可得
PB2=PE•PF．因BP=PD，DP=3，EF=23，由此即可求得PE的长.
【详解】
连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
又∵AP=AP，
∴△ABP≌△APD，
∴∠ABP=∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠F=∠ADP=∠ABP，
又∵∠BPE=∠BPF，
∴△EBP∽△BFP．
∴BP PE PF BP
．
∴PB2=PE•PF．
∵△ABP≌△ADP，∴BP=PD．
∴PD2=PE•PF，
∵DP=3，3
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的性质等知识点，本题根据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长．连接PC，可得△BPC∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例即可求得BP的长．
【详解】
解：在直角△ABC中,BC2=AB2−AC2=102−62=64，
∵∠C=90°，
∴BC是圆O的切线，
∴BC2=BP⋅AB，
即64=10⋅BP，
∴BP=6.4．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形对应边成比例求线段长度，解题的关键是熟练运用相似三角形．9．D
【解析】
【分析】
因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以
1
2
CE AD
=，由相似三角形的判定定理
得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．【详解】
∵四边形ABCD是正方形,E是BC中点,
∴12
CE AD =， ∵AD ∥BC ，
∴∠ADF =∠DEC ，∠AFD =∠EFC ，
∴△CEF ∽△ADF ， ∴
12
EF CE DF AD ==， ∴1212DF DF -=， 解得DF =8，
故选D.
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例定理与平行线的判定定理，即可判断答案正误．
【详解】
解：A 、若若//EF BC ，则
AE AF EB FC =，故本选项正确； B 、若AE AF EB FC
=，则//EF BC ，故本选项正确； C 、若//EF BC ，则AE EF AB BC
=，故本选项正确； D 、若AE EF AB BC
=，得不到//EF BC ，故本选项错误． 故选D ．
【点睛】
本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是注意数形结合思想的应用. 11．1:3
【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】 ∵△ADE ∽△ACB ，
∴DE BC =AD AC =233+=13
. 故答案为1:3.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质.
12．1+3． 【解析】
【分析】
作CH ⊥AB 于H ．首先证明BC=3BC ，再证明△PAB ∽△PBC ，可得
3PA PB AB PB PC BC ===，即可求出PB 、PC. 【详解】
作CH ⊥AB 于H ．
∵CA=CB ，CH ⊥AB ，∠ACB=120°
， ∴AH=BH ，∠ACH=∠BCH=60°
，∠CAB=∠CBA=30°， ∴3，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA ，
∴∠PAB=∠PBC ，
∴△PAB ∽△PBC ，
∴3PA PB AB PB PC BC
=== ∵3，
∴PB=1，
∴PB+PC=1+
3．
故答案为 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
13．34
【解析】
【分析】
易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得
EF DF AB DB ＝，EF BF CD BD ＝，从而可得EF EF DF BF AB CD DB BD
+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF 的值．
【详解】
解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ， ∴
EF DF AB DB ＝，EF BF CD BD
＝， ∴EF EF DF BF AB CD DB BD +=+=1． ∵AB=1，CD=3， ∴113
EF EF +=， ∴EF=34
． 故答案为
34．
【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现
DF BF DB BD +=1是解决本题的关键． 14．212011
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质. 再利用在△ACB 中,D 2为其重心可得D 2E 1=13
BE 1, 然后从中找出规律即可解答. 【详解】
解:易知D 1E 1∥BC,∴△BD 1E 1与△CD 1E 1同底同高, 面积相等, 以此类推;
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可
知:D 1E 1=12BC,CE 1=12AC,S 1=212ABC S ;
∴在△ACB 中,D 2为其重心,
∴D 2E 1=13
BE 1, ∴D 2E 2=13BC,CE 2=13AC,S 2=213
ABC S ,
同理可得S 3=214
ABC S ； ... ∴ S n =21n+1（）
ABC S
ABC S =1
∴ S 2010=212010+1（）=2
12011. 故答案为: 2
12011. 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质及相似三角形的性质.
15．13.5 m ．
【解析】
【分析】
利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB 的长度分成了2个部分，AH 和HB 部分，其中HB=EF=1.6m ，剩下的问题就是求AH 的长度，利用△CGE ∽△AHE ，得出 ,CG EG AH EH
=把相关条件代入即可求得AH=11.9m ，得出AB 的长即可． 【详解】
如图所示：
∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，
∴CD ∥AB
∴△CGE ∽△AHE
,CG EG AH EH
∴= 即： ,CD EF DF AH FD BD
-=+ ∴3 1.62,215
AH -=+ ∴AH=11.9
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m ）．
故答案为13.5 m ．
【点睛】
考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
16．6
【解析】
分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABC 的面积.
详解：因为DE 是△ABC 的中位线，所以DE ∥BC ，且BC ＝2DE ，
所以△ADE ∽△ABC ，且S △ABC ＝4S △ADE ＝4×
2＝8， 所以S 四边形BDCE ＝S △ABC －S △ADE ＝8－2＝6.
故答案为6.
点睛：本题考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；相似三角形的面积比等于相似比的平方.
17．9 4
【解析】
试题解析：∵∠BFH是△CFH的外角，∴∠BFH=∠C+∠CHF,
即∠BFG+∠GFH=∠C+∠CHF,
∵∠GFH=∠C=45°，
∴∠GFB=∠CHF，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BFG∽△CHF
∴BF BG CH CF
=.
∵AG=1，BG=2，∴AB=3,
∴BC=
∵点F为BC中点，
∴BF=CF=
2
∴CH=
·9
4 BF CF BG
=
18．8
【解析】
【分析】
首先设它的最小边为x，不长不短的边为y，由一个三角形的三边之比为2：3：4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，根据相似三角形的对应边成比例，可得方程
2：3：4=x：y：16，解此方程求出x、y的值.
【详解】
设它的最小边为x，不长不短的边为y，
由题意，得2：3：4=x：y：16，
解得x=8，y=12，
所以它的最小边的长是8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查相似三角形性质，解题的关键是根据比例列式计算.
19．43
【解析】
【分析】
由ABD BDC 90∠∠==，A CBD ∠∠=可证明△ABD ∽△BDC ，根据相似三角形的性质即可求出CD 的长度.
【详解】
∵ABD BDC 90∠∠==，A CBD ∠∠=，
∴△ABD ∽△BDC ，
∴CD ：BD=BD ：AB ，
∴CD=2BD AB
=43， 故答案为：
43
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
20．4:9
【解析】
【分析】
由于△ADE ∽△ABC, 且已知了它们的相似比, 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.
【详解】
解: △ADE ∽△ABC ，相似比为 2：3, S △ADE ：S △ABC=4:9
故答案为4:9.
【点睛】
点评: 本题考查对相似三角形性质的理解.
(1) 相似三角形周长的比等于相似比;
(2) 相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(3) 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
21．（1）详见解析；（2）3
；（3）
2
2
.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM，只要证明四边形MNDH是矩形，即可解出答案；
（2）如图2中，连接AM、AN，只要证明△BAD∽△MAN，利用相似比
3
2
即可解出答案；
（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，由△BAD∽△MAN，
推出MN
BD
=
AM
AB
=sin∠ABC，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解出答案.
【详解】
（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∵△ADE时等边三角形，
∴∠ADE=60°=∠B，
∴DE∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥DE，
∴AM平分线段DE，
∵DN=NE，
∴A、N、M共线，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，∴四边形MNDH是矩形，
∴MN=DH，
∴MN
BD
=
DH
BD
=sin60°=
3
；
（2）如图2中，连接AM、AN．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∴AM
AB
=sin60°，
AN
AD
=sin60°，
∴AM
AB
=
AN
AD
，
∵∠MAB=∠DAN=30°，∴∠BAD=∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴MN
BD
=
AM
AB
=sin60°
3
（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．
∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴sin∠ABM=sin∠ADN，
∴AM
AB
=
AN
AD
，
∵∠BAM=1
2
BAC，∠DAN=
1
2
∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN，∴∠BAD=∠MAN．∴△BAD∽△MAN，
∴MN
BD
=
AM
AB
=sin∠ABC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BD⊥CE，
∴∠BHC=90°，
∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，∴∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴MN AB =sin45°=2． 【点睛】
本题主要考查相似三角形和三角函数，作好辅助线是解题的关键.
22．（1）
409；（2）25(4)204
s x =--+，当4x =时S 有最大值，并求出最大值20． 【解析】
【分析】
见解析.
【详解】
解：()1设HK y =，则8AK AH KH AH EF y =-=-=-，
∵四边形DEFG 为矩形，
∴//GF BC ，
∴AGF ABC ∽，
∴::AK AH GF BC =，
∵当矩形DEFG 是正方形时，GF KH y ==，
∴8:8:10y y -=，
解得：409
y =； ()2设EF x =，则KH x =．
∴8AK AH EF x =-=-，
由()1可知：
8108
GF x -=， 解得：5104GF x =-， ∴25510(4)2044
s GF EF x x x ⎛
⎫=⋅=-=--+ ⎪⎝⎭，
∴当4x =时S 有最大值，并求出最大值20．
【点睛】
利用相似的性质求解是解题的关键.
23．（1）详见解析；（2）)当∠B ＝∠EGC 或∠B ＋∠EGC ＝180°时，AD CG DE CD
=成立，证明详见解析；（3）
2524
DE CF =. 【解析】
【分析】 （1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系整除∠ADE=∠DCF ，即可得出△ADE ∽△DCF ；
（2）在AD 的延长线上取点M ，使CM=CF ，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM ．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM ，∠FCB=∠CFM ，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB ，因此∠CMF=∠AED ．证明△ADE ∽△DCM ，得出对应边成比例得AD CG DE CD
=， 即可得出结论； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设
CN=x ，△BAD ≌△BCD ，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM ∽△DCN ，求出CM ，在Rt △CMB 中，由勾股定理得出BM 2+CM 2=BC 2，建立方程求出求出CN ，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A =∠ADC =90°
， ∴∠ADE ＋∠CDG =90°
. ∵DE ⊥CF ，
∴∠CDG ＋∠DCF =90°
， ∴∠ADE =∠DCF .
又∵∠A =∠CGD =90°
， ∴△ADE ∽△GCD ， ∴,AD DE CG CD = 即.AD CG DE CD
=
(2)当∠B=∠EGC或∠B＋∠EGC=180°时，AD CG
DE CD
=成立．
证明：当∠B＝∠EGC时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图①，∴四边形CMDG是平行四边形，
∴CG=DM，∠M=∠CGD，∠CDG＝∠DCM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＋∠B=180°，∠FCB=∠CFD.
∵∠B=∠EGC，∴∠A＋∠EGC=180°.
∵∠EGC＋∠CGD=180°，
∴∠A=∠CGD，
∴∠A=∠CGD=∠M.
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDG.
∵∠CDG=∠DCM，
∴∠AED=∠DCM，
∴△ADE∽△MDC，
∴AD DE DM CD
=
∵CG=DM，
∴AD DE CG CD
=
即AD CG DE CD
=
当∠B＋∠EGC=180°时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF.
∴∠
GEB ＋∠BCF =180°
， ∴∠BCF =∠AED ，
∴∠CFD =∠AED .
∵∠ADE =∠GDF ，
∴△FDG ∽△EDA ，
∴DG DF AD DE =，即,DF DE DG AD
= ∵AB ∥CD ，∴∠AED =∠CDE ，
∴∠CFD =∠CDE .
∵∠FCD =∠DCG ，
∴△FCD ∽△DCG ，
∴
,DF CD DG CG
= ∴,DE CD AD CG
= ∴AD CG DE CD =
(3)如图③，过点C 作CN ⊥AD 于点N ，CM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，连接BD ，设CN =x ，
∵∠BAD =90°
， ∴∠A =∠M =∠CAN =90°
， ∴四边形AMCN 是矩形，
∴AM =CN ，AN =CM .
∵在△BAD 和△BCD 中，AD CD AB BC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△BAD ≌△BCD ，
∴∠BCD =∠A =90°
， ∴∠ABC ＋∠ADC =180°
.
∴∠MBC =∠ADC .
∵∠CND =∠M =90°
， ∴△BCM ∽△DCN ， ∴
.CM BC CN CD =即9.12CM x =，∴3.4
CM x = 在Rt △CMB 中，3.4CM x =，BM =AM －AB =x －9， 由勾股定理，得BM 2＋CM 2=BC 2， ∴2223(9)()94x x -+=，
解得x 1=0(舍去)，2288,25x =
∴288,25
CN = ∵∠A =∠FGE =90°
， ∴∠AED ＋∠AFG =180°
. ∵∠AFG ＋∠NFC =180°
， ∴∠AED =∠NFC .
∵∠A =∠CNF =90°
， ∴△AED ∽△NFC ，
1225.2882425
DE AD CF CN ∴===
【点睛】
属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
24．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和是180度，和题中给出的角的度数，可求得各角的度数，从而得出AD=BD=BC ．（2）利用三角形的相似来证明点D 是线段AC 的黄金分割点．
【详解】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
BC=AC•DC，
∴2
∵BC=AD，
∴2
AD=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
【点睛】
熟练掌黄金分割；三角形内角和定理；等腰三角形的判定是解题关键.
25．4.5m．
【解析】
试题分析：根据题意，构造数学模型，相似三角形，利用相似三角形的判定与性质可求解. 试题解析：由题MC=FD=DE=1.5m，CD=1m，
∵MC∥AB，
∴△DMC∽△DAB，
∴=，
∵△EFD∽△EAB，
∴=，
∵MC=FD，
∴=，
即=，
解得：BC=2m，
将BC=2m代入=，即=，
解得：AB=4.5，
答：路灯A的高度AB为4.5m．
点睛：此题综合考查了中心投影的特点和规律，以及相似三角形的性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需的线段，再求公共边的长度.
26．甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
【解析】
【分析】
根据题意得出△ABG∽△CDG，△ADB∽△EDF，再运用相似三角形的性质得出CD,EF即可.
【详解】
解：由题意得∠ABG=∠CDG=90°，
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG,
∴AB
CD
=
BG
DG
,
∵AB=5.5米，BG=10.5米，
∴5.5
CD
=
10.5
5010.5
,
∴CD≈31.69（米）
又∵∠ABD=∠EFD=90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF,
∴AB
EF
=
DB
DF
=
1
2
,
∴EF=2AB=11（米）
∴CD-EF≈20.7（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的运用. 27．(1)A;(2)① 相似比; ② 相似比的平方; ③相似比的立方;(3)54.02.
【解析】
【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可
以求出所要求的结论．
【详解】（1）A 两个球体，形状完全相同，是相似体．
B 两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体．
C 两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体．
D 两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体． 故选A ．A
（2）根据阅读材料进行归纳可以得到：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比，
②相似体表面积的比等于相似比的平方，
③相似体体积的比等于相似比的立方，
故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
（3）设他的体重是xkg ， 则根据题意得3
x 1.7019 1.2⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 得x ＝54.02 （kg ），
答：他的体重是54.02kg.
【点睛】本题是阅读理解的问题，考查了相似三角形的应用，相似形的性质，读懂题意，正确理解“相似体的体积比等于相似比的立方”，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
28．见解析
【解析】
【分析】
由△ABC 是等边三角形，可得∠B=∠C=60°，又由∠EDF=60°，即可证得∠BED=∠CDF ，即可证得：△BDE ∽△CFD ．
【详解】
证明：∵ABC 是等边三角形，
∴60B C ∠=∠=，
∴120BED BDE ∠+∠=，
∵60EDF ∠=，
∴120BDE CDF ∠+∠=，
∴BED CDF ∠=∠，
∴BDE CFD ∽．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质.。