高中数学小问题集中营专题5.6突破点含参的直线与圆的位置关系(2021学年)

2018版高中数学小问题集中营专题5.６突破点含参的直线与圆的位置关系
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问题６突破点含参的直线与圆的位置关系
一、问题的提出
解析几何中的含参的直线与圆的位置关系问题,涉及到基本的直线与圆的位置关系问题,主要是相交中的弦长问题,和相切中的切线问题。

然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出参数的范围。

二、问题的探源
对于圆的最值问题,要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解,这常常是简化运算的最佳途径．
三、问题的佐证
例一、已知直线l:y＝－错误!ｘ+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点.求m的取值范围.
【训练】
1．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设直线l:kx-y＋１=0与圆C:x２+ｙ2＝４相交于A，B两点,以OA，ＯＢ为邻边作平行四边形OAＭB，若点M在圆Ｃ上,则实数k等于( ）
Ａ.1 ﻩB ．2 C.0
ﻩﻩ
ﻩD ．－1
【解析】∵四边形ＯA ＭB 为平行四边形,∴四边形ＯＡＭB 为菱形，∴△ＯAM 为等边三角形,且边长为2，解得弦AB 的长为2错误!,又直线过定点Ｎ(0,1),且过N 的弦的弦长最小值为2错误!，此时此弦平行x 轴，即k ＝０. 2.若圆(
)(2
2
324x y -+=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=
的距离为则直线
ｌ的倾斜角的取值范围是（ ）
A 。

,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 5,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 。

][110,,1212πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D. ][5110,,1212πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】由已知圆的半径r =，∵圆上至少有３个不同的点到直线l
线与圆相交,且圆心到直线l
的距离d ≤
又圆的圆心为3≤（ 整理得：
222010a a b b +-≤∴+≤，（）， 解得
: 22a b
≤≤
又直线的斜率
22a k k b =-≤≤，，
又1521246tan tan πππ+
=+==+（）
1112121246tan tan tan ππππ=-=--==（），∴直线l 的倾斜角的范围是][511[01212
πππ⋃，，）． 故选D.
例二、已知直线ｌ：ｙ＝－错误!x +m 与圆ｘ2
+y 2
=1在第一象限内有两个不同的交点,求ｍ的取值范围．
【解析】∵l:y＝－＼ｒ(3)
３
x＋m,圆x2＋y２＝1,
∴l可变形为：3x+3y-3ｍ＝０,圆的圆心为(0,0)，半径长ｒ=1.
当直线和该圆相切时,应满足ｄ＝错误!＝1,解得m＝±错误!。

在平面直角坐标系中作出图象，如图所示,
其中l2：ｙ＝－错误!x+错误!,l3：ｙ=-错误!ｘ－错误!。

过原点作直线l0:ｙ=－错误!x,m０:y＝－x。

∵直线ｌ的斜率ｋ＝－＼ｆ(＼r（3),３），直线AB的斜率k=－1，
∴只有当直线l在移动到过A(0，1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点,此时对应的直线l
1
:y=-错误!x+1,要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可,此时相应的ｍ∈错误!.
∴m的取值范围是错误!。

要注意结合图象，得出正确的答案,不能想当然．要注意直线之间倾斜程度的比较,像在此例题中，我们要注意比较直线l的斜率k＝－错误!与直线AB的斜率k=－1，如果注意到它们的关系了,就不易出错．
例三、已知直线l:y＝-错误!x＋m与圆x2+ｙ2＝1在第一象限内有交点，求m的取值范围.
∵直线ｌ与圆在第一象限内有交点，
∴直线ｌ应该在过点B(1，0）的直线与切线ｌ2之间才可以，而当B(１,0)在直线l上时，
m=错误!，∴m的范围是错误!。

练习:已知圆ｘ２+y2＋x-6y+m=0与直线x+2y－３=0相交于Ｐ，Q两点，O为原点,且OＰ⊥OQ,求实数ｍ的值.
【解析】由错误!消去y,得５x２+10x+4m-2７＝0,设P(x1,y1）,Q（x２,y2)，则错误!
又OP⊥OQ，∴K OP·K OQ＝－1即x1ｘ2＋y1ｙ２=０。

∴x1·ｘ2＋错误!(３－x1)·错误!(3－x2)=０，
整理得５x1ｘ２-３(x１＋x2）＋９＝0,
∴5×错误!－３×(－2)+9=0.
解得ｍ=3满足①
∴实数m的值为3.
此题设出P，Q两点的坐标,但在求解过程中又不能刻意地求出来,只将它作为一个转化过程中的桥梁,这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见,要注意认真体会并掌握．
四、问题的解决
一、选择题
1。

若直线()24
y k x
=-+与曲线2
14
y x
=-k的取值范围是
Ａ.
5
0,
12
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B。

13
,
34
⎛⎤
⎥
⎝⎦
C．
53
,
124
⎛⎤
⎥
⎝⎦
D。

5
,
12
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
【答案】Ｃ
【解析】曲线2
14
y x
=-()01，为圆心, 2为半径的半圆,如图所示
直线()24y k x =-+是过定点()24，的直线．
设切线PC 的斜率为0k ,切线PC 的方程为()0y 24k x =-+，圆心()01，到直线PC 的距离等于半径
2,即
02
012421k k +-=+，解得05
12
k =
直线PA 的斜率为1k , 134
k =
, ∴实数k 的取值范围是
53124
k <≤ 故答案选C
2。

从动点(),2P a 向圆()()2
2
:111C x y +++=作切线,则切线长的最小值为 A 。

2 Ｂ。

22 C. 3 Ｄ． 10
【答案】Ｂ
3。

已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点,且有
4
3
OA OB AB +≥
，那么k 的取值范围是
Ａ.
)
+∞ B 。

)
+∞ C. D 。

【答案】Ｃ
【解析】试题分析：设AB 的中点为D ,则OD AB ⊥,因为33OA OB AB +≥，所以3
23
OD AB ≥,
所以23AB OD ≤，因为2
21
44
OD AB +
=，所以21OD ≥，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆
22
4x y +=交于不同的两点，所以2
4OD <,所以2
14OD ≤<,即2
14≤<，
k ≤<故选C ．
4。

若在圆()()
2
2
9x m y -+=上，总存在相异两点到原点的距离等于1,则实数m 的取值范围是（ ) A 。

()2,1-- Ｂ。

()2,1- C 。

()()2,11,2--⋃ D 。

()()1,11,2-⋃
【答案】C
【解析】圆心()
m 与原点之间的距离为2d m == ，当原点在圆外时,则324m << ;当原点在圆外时，则223m <<;当点在圆上, 2=3m 显然符合，综上3种情况
有224m <<,解得21m -<<- 或12m << ，选C.
5.设点P 是函数y =图象上的任意一点,点()()2,3Q a a a R -∈，则PQ 的最小值为( )
A 2-
B 2
D.
25
- 【答案】C
【解析】在等式y =两边平方得()2241y x =--，即()2
214x y -+=,由于y =
0≤,故函数y =的图象表示圆()2
214x y -+=的下半圆，如下图所示,
设点Q 的坐标为(),x y ,则23
x a y a =⎧⎨=-⎩,将2x a =代入得32x
y =-,即260x y --=,因此点P 是直线
260x y --=上的动点，如下图所示,由于圆的()2
214x y -+=的圆心()1,0到直线()2
214
x y -+=的距离()
2
212065212d -⨯-=
=>+-,所以直线260x y --=与圆()2
214x y -+=相离,因此PQ 的最小
值是52-,故选C 。

x-2y-6=0
1
y x
O
6。

已知点(),,P t t t R ∈,点M 是圆()2
2114x y +-=上的动点，点N 是圆()2
2124
x y -+=上的动点,则PN PM -的最大值是( )
Ａ。

51- B. 2 C 。

3 D 。

5 【答案】B
7．【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知圆22(2)(2)x y a ++-=截直线20x y ++=所得弦长为6，则实数a 的值为( )
A.8
B.11 C ．1４ Ｄ．1７ 【答案】Ｂ
８。

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为λ(0λ>, 1λ≠),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：
221x y +=和点1,02A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ )
Ａ. 6。

7Ｃ10 11
【答案】C
【解析】令2=MA MC ，则
12
MA MC
=． 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2
λ． 设点C 坐标为(),C m n ，
则
()()
2
222
121
2
x y MA MC
x m y n ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭=
=
-+-。

整理得222
2
2421
333
m n m n x y x y ++-+++=。

由题意得该圆的方程为221x y +=,
∴22240
{20 1
13
m n m n +==+-=，解得2
{
m n =-=。

∴点Ｃ的坐标为（-2,０)。

∴2MA MB MC MB +=+,
因此当点Ｍ位于图中的12,M M 的位置时, 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C.
二、填空题
9.【江苏省泰州中学2０17届高三摸底考试】已知圆O :222x y r +=(0r >)及圆上的点(0,)A r -,过点A 的直线l 交圆于另一点B ,交x 轴于点C ,若OC BC =,则直线l 的斜率为 ．
【答案】3±【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线:l y kx r =-，与2
2
2
x y r +=联立解得222
2(1)(,)11
kr k r
B k k -++,而(,0)r
C k ，由OC BC =得2222222(1)()()[]311
r kr r k r k k k k k -=-+⇒=±++ １0．已知()12A ，， ()31B --，，若圆222x y r +=(0r >)上恰有两点M ， N ，使得MAB 和
NAB 的面积均为5，则r 的范围是___＿_____.
【答案】()13， 【解析】()()
22
13215AB =
+++=,使得MAB 和NAB 的面积均为5，只需M N 、到直线AB
的距离为2，直线AB 的方程为3450x y -+=，圆心到直线AB 的距离为１， 当1r =时，圆222x y r +=（0r >)上恰有一点到AB 的距离为2,不合题意；
若3r =时,圆222x y r +=（0r >)上恰有三个点到AB 的距离为２，不合题意;
当13r <<时，圆222x y r +=（0r >）上恰有两个点到AB 的距离为２,符合题意,则13r <<。

11.【四川省成都市2017届高中毕业班摸底】已知圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，经过点(,)M m m 作圆C 的切线,切点为P ,则MP =＿＿_____＿__. 【答案】3
１2。

已知C 的方程为2220x x y -+=，直线:20l kx y x k -+-=与C 交于
两点,当AB 取
最大值时k = ____＿＿_＿_＿, ABC ∆面积最大时， k =__________．
【答案】 2 1或7 【解析】圆的方程化为()2211x y -+=,圆心C ()1,0,半径为1,直线方程化为()2k x y x -=-过定点()2,2,当直线过圆心时，弦AB 为直径最大,此时2k =;设AOB θ∠= ,则
1111sin sin 22ABC S θθ∆=⨯⨯⨯= ,当090θ=时， ABC ∆的面积最大,此时圆心到直线的距离为22， ()2122
11k
d k -==++,解得: 0k =或6k =. 为22(1) 2.x y -+=
三、解答题
13。

已知圆()()22
3416x y -+-=,直线1:0l kx y k --=,且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ,定点A 的坐标为()1,0. (1)求实数k 的取值范围;
(２)若,P Q 两点的中点为M ,直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证: AM AN ⋅为定值.
【答案】(1)()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭(2)１０ 【解析】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式可得k 的取值范围;(2)由直线1l 与直线2l 的方程可求N 点的坐标，再联立直线1l 与圆的方程,消去y ,得到关于x 的一元二次方程,利用韦达定理得12x x +,然后求得M 点的坐标，再根据两点之间距离公式将AM AN ⋅用k 表示,消去k 即可得到结果．
试题解析:（1)因为圆()()22
3416x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，
4<,即2340k k +>，解得43k <-或0k > (2)由0{ 240kx y k x y --=++=可得2452121k k N k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 由()()220{ 3416
kx y k x y --=-+-=可得()()22221286890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则21222861k k x x k
+++=+ 得2222434211k k k k M k k ⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭
，
所以AM AN ⋅=
10== 点睛：解析几何证明问题,一般解决方法以算代证,即设参数,运用推理，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,然后直接推理、计算,并在此过程中消去变量，从而得到证明． １4。

矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M , AB 边所在的直线的方程为48x y -=,点()1,2T -在边AD 所在的直线上．
（1)求边AD 所在直线的方程;
(２）求矩形ABCD 外接圆的方程;
（3)过点()1,2P 的直线l 被矩形ABCD 的外接圆截得的弦长为27,求直线l 的方程.
【答案】（1)420x y ++=；(2)()2228x y -+=；（3)1,34110x x y =+-=。

【解析】试题分析：(1）根据垂直关系,由直线AB 的方程可得直线A Ｄ的斜率,然后由点斜式求直线方程即可；（2）由直线A Ｂ,ＡＤ的方程可求得点A 的坐标，即圆心坐标,从而可得半径22r AM ==，可求得圆的标准方程;（3）分直线l 的的斜率存在和不存在两种情况，利用待定系数法求解,根据圆的弦长公式求解。

试题解析:
（1)∵1
,4AB k AB AD =⊥，
4AD k ∴=- ，
又点()1,2T -在边AD 所在的直线上,
∴边AD 所在直线的方程为()241y x -=-+,
即420x y ++=。

（3)①当直线斜率不存在时,
直线方程为1x =，与圆的交点为(7和(7- ,
∴弦长为27
②当直线斜率存在时,
设直线为2(1
y k x
-=-），即20
kx y k
--+=，由题意得圆心到直线的距离为1,
∴1
d==,解得
3
4 k=-,
∴直线为34110
x y
+-=，
综上直线l的方程为1
x=或34110
x y
+-=。

本章结论:
(１)与直线Ａx＋Ｂy＋C＝0（A2＋Ｂ2≠0)平行、垂直的直线方程的设法:
一般地,平行的直线方程设为Ax+Ｂy＋m＝０;垂直的直线方程设为Ｂx－Ay+n＝0。

(2）对称
①点关于点的对称
点P(x0，y0）关于A(ａ,b）的对称点为P′（2ａ－ｘ0，2b-ｙ0）．
②点关于直线的对称
设点P(x0,y０）关于直线y＝kｘ＋b的对称点P′（ｘ′，ｙ′),
则有错误!可求出x′，y′。

③直线关于直线的对称：
１０若已知直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线ｌ2上，然后再求出ｌ1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点Ｐ2的直线就是ｌ２;20若已知直线l１与对称轴l平行,则与ｌ1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l１的对称直线.
（3)计算直线被圆截得的弦长的常用方法
①几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
②代数方法
运用根与系数关系及弦长公式
|AB｜＝＼r(１+ｋ2)|ｘA-x B|
=错误!．
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.ﻫ（４）确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
(５)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C外一个Ｐ可作圆的两条切线,在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是Ａ,B，则点A，B在以线段CP为直径的圆D上,从而圆Ｃ,D的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB的方程．
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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