高考数学复习知识点讲解教案第66讲 利用数列递推关系解决概率问题

信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端
的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的
两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的
概率是(
4
A.
45
D
)
1
B.
36
4
C.
15
8
D.
15
类型三
[解析] 根据题意，设右端连线方式如图，
对于左端的六个接线点，将其随机地平均分成三组，
其中1，2是同一根绳子的两个绳头，
由题意知，与绳头1打结的绳头有2 − 2种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下 − 1根绳子进行打结.
令 ∈
∗

根绳子打结后可形成一个圆的种数为 ，
那么经过一次打结后，剩下 − 1根绳子打结后可形成一个圆的种数为−1 ，
由此可得， = (2 − 2)−1 ， ≥ 2，
C26 C24 C22
共有 3
A3
= 15（种）结果，
若五个接收器能同时接收到信号，
则这五个接收器必须全部在同一个串联线路中，
则1必须和3，4，5，6中的一个相接，接好后，2只有两种接法，
1 1 1
剩下的接线点只有一种接法，所以共有C4 C2 C1
= 8（种）结果.
同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法还是15种，
−
+3
+4 !
= −
1
+1 !
− ⋯ < 0，

，故D错误.故选ABC.
!
−
−1
+2 !
+ −
1
+3 !
−
−1
+4 !
+⋯=
+
+3
+4 !
+ ⋯ > 0，
类型三
类型三 + = 型
例3
[2024·宁波一模] 现有 ∈
∗

根绳子，共有2个绳头，每个绳头只打一
∴ 8 = × [1 −
∴ 10 =
1
8
2
=
1
−
2
+1=
1 8
−
]
2
85
.
256
=
1
1− −
2
1
1− −
2
85
，
128
=
2
[1
3
−

1
−
]
2
−1
1
−
2
2≤≤9 ，
+
类型二
变式题
（多选题）[2024·南通模拟]
历史上著名的伯努利错排问题指的是：一
个人有 ≥ 2 封不同的信，投入个不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，
其中有8种可以使这五个接收器能同时接收到信号，
所以这五个接收器能同时接收到信号的概率 =
8
.故选D.
15
这种情况的概率为−1 ；
第二种情况是第 − 1次传球后，乙、丙、丁三人中只有两人接过传出来的球，
第次传球时将球传给剩余的一人，这种情况的概率为 1 − −1 − 3 ×
∴ 当 ≥ 4时， = −1 + 1 − −1 − 3 ×

即3
=2⋅
−1
3 −1
−3+
−1
+
=
=
−1
−1 !
1
2!
+
−1

= −1 ，
−1 +2
，
+2 !
−
−1 3
3!
−2
−2 !
+ ⋯+
+ ⋯+
−1
!
3
3!
=
−
2
2!
+
−1 2
2!
2
，
2!
+
−1 3
3!
+ ⋯+
−1
，故C正确；
!
类型二
2
3






装错信封的概率为 ，因为e = 1 + + + + ⋯ +
+⋯ ，
!
2! 3!
!
所以e
−1
= 1 + −1 +
1
当为奇数时，
e
1
即
e
>
+1
+2 !
1
即
e
<
−

!
=[
+
1
+1 !
−1 3
3!
+
−1
!
+ ⋯+
−1
]
+2 !
+[
+ ⋯,
1
−1
+
]
+3 !
+4 !
+⋯=
+1
+2 !

，
!
1
当为偶数时，
e
−
−

!
−1 2
2!
次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（1）
期望；
当 = 3时，记随机变量为绳子围成的圈的个数，求的分布列与数学
类型三
解：由题知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
=1 =
C14 ⋅C12
2 ⋅C2
C2
⋅C
6 4 2
A3
3
=
8
，
15
=2 =
C13 ⋅2
2 ⋅C2
令 = 3 − 3，则 = 2−1 + 3
∵ 3 =
3
3

×
3 = 3，∴



3
1
3
3−1
1
3
× = +
2
−1
3
2 −1
⋅ −1
3 3
1

，即
3
3
−
3−1
1
3−1
×
1
.
3
，
−1
3 ，

2
−
9
1
1
−1=
8
−
9


，பைடு நூலகம்
3
×
2 −3
3

=
= −2 ×
，且 随着的增大而减小，
−1
7
7×6
19
.
42
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
类型一
变式题
[2024·武汉模拟]
甲、乙、丙、丁四人进行传球训练，第1次由甲将球
传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，记事件
2
“第次传球后，乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为 ，则3 =___；

C.
!
=
−1 2
2!
+
−1 3
3!
+ ⋯+
−1
!
1
D.信封均被投错的概率大于
e
≥2

!
+ ⋯ ，则下列说法正确的是(
ABC
)
类型二
[解析] 4 = 3 3 + 2 = 9，故A正确；
因为+1 = + −1 ≥ 3 ，
所以+1 − + 1 = − + −1 = − − −1 ≥ 3 ，
类型一
（1）
求2 的值，并探究数列{ }的通项公式；
解：记该顾客第( ∈
∗
)次摸球抽中奖品为事件 .依题意知1
2
7
1
3
2 = 2 = 1 2 |1 + 1 (2 |1 ) = × + 1 −
当 ≥ 2时，因为 |−1 =
1
，
3
|−1 =
9
−1

3
−2 +1
当 ≥ 4时， =____________.
3−1
[解析] 由题意，第3次传球后，
乙、丙、丁三人均接过传出来的球发生的概率3 =
3
A3
×
1 3
3
=
2
.
9
在第 ≥ 4 次传球后，乙、丙、丁三人均接过传出来的球，有两种情况，
类型一
第一种情况是第 − 1次传球后，乙、丙、丁三人均接过传出来的球，
6
≥2 ，
( ≥ 2)，
1
− ，所以数列{
7
1 −1
−
.
6
+
1
2
−
3
1
1
}是首项为− ，公比为− 的等比数列，
7
7
6
类型一
（2）
求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.
解： 当为奇数时， =
当为偶数时， =
所以 ≤ 2 =
3
1
−
7
7×6−1
<
3
.
7
3
1
+
1
1
是以− 为首项，− 为公比的等比数列.
2
2
类型二
（ⅱ）
求该社团参加一次这样的游戏获得B玩偶的概率.
解：由（ⅰ）得， − −1 =
−1
1
−
2
2≤≤9 ，
∴ = ( − −1 ) + −1 − −2 + ⋯ + 2 − 1 + 1 =
−2
1
−
2
+ ⋯+
2
3
高考数学复习知识点讲解教案
第66讲 利用数列递推关系解决概率问题
类型一
类型二
类型三
解决概率问题需要比较强的分析推理能力，对于一些复杂的概率问题,后一步
的概率与前一步或前两步有关,通过建立概率的递推关系,利用递推关系式构造数
列,这样复杂的概率问题就可以迎刃而解.
类型一
类型一
例1
一阶递推数列 = − +
落在第9格，则每位社团成员可以得到一只A玩偶，“跳子”落在第10格，则每位社
团成员可以得到一只B玩偶.记“跳子”前进到第格 1 ≤ ≤ 10 的概率为 .
类型二
（1）
求3 ；
解：“跳子”开始在第1格为必然事件，则1 = 1；
1
第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为 ，即2
格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第10格，游戏开始时“跳子”在第
1格，社团成员每次完成训练后抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”
前进2格（从第格到第 + 2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第格到第
+ 1格）（为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束.“跳子”
∴ = 3 − 3 × 2 ，∴ 3 − 3 = 3 − 3 × 2 ，∴ =
+
2 −1
，
3
3−1 −2 +1
.
3−1
2
3
−1= ⋅
−1
3−1
−1 ,
类型二
类型二
例2
二阶递推数列+ = + −
某社团开展了“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共10格的长方形
[2024·山东省实验中学一模] 某品牌女装专卖店设计了摸球抽奖的促销活动，
每位顾客每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率
2
1
为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一
7
2
1
次抽中奖品，则这次抽中的概率为 .记该顾客第
3
为 .
∗
∈ 次摸球抽中奖品的概率
类型三

所以
−1

所以
1
= 2 −
−1
2，
−2
= 2 − 4，⋯
2
，
1
= 2 − 2 × 2 − 4 × ⋯ × 2 =
−1
又1 = 1，所以 = 2
= 2，
−1
2
⋅ − 1 !，
⋅ − 1 !.
对2个绳头进行任意2个绳头打结，
总共有 =
C22 C22−2 C22−4 ⋯C22
1
，
2
=
2
7
2
，
7
1
2
× =
19
.
42
= ，
所以 = −1 |−1 + −1 ( |−1 )，
即 =
1
−1
3
+
3
7
1
−
6
所以 − =
3
7
又因为1 − =
3
7
所以 = −
1
7
1
2
1 − −1 =
−1 −
3
7
1
− −1
投错的方法数为 ，例如两封信都投错有2 = 1（种）方法，三封信都投错有
3 = 2（种）方法，通过推理可得+1 = + −1 ≥ 3 ，高等数学给出了

泰勒公式：e
=1++
2
2!
+
3
3!
+ ⋯+
A.4 = 9
B.{+2 − + 2 +1 }为等比数列
2
第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，
1
其概率为
2
1
2
1
2
+ × =
3
，即3
4
=
3
.
4
=
1
；
2
类型二
（2）（ⅰ）
证明：数列{ − −1 } 2 ≤ ≤ 9 是等比数列；
证明：由（1）知，1 = 1，2 =
1
.
2
“跳子”前进到第 3 ≤ ≤ 9 格的情况是下面两种，而且只有两种：
又3 − 32 = −1，
所以{+2 − + 2 +1 }是首项和公比均为−1的等比数列，故B正确；
所以+2 − + 2 +1 = −1 × −1
所以
+2
+2 !

因为
!
=
−

!
所以当 ≥
+1
+1 !
−
=
−1
−1 !

2时，
!
−1
+2 !
①“跳子”先到第 −
1
2格，又掷出正面，其概率为 −2 ；
2
②“跳子”先到第 −
1
1格，又掷出反面，其概率为 −1 .
2
∴ =
1
−2
2
又2 − 1 =
+
1
−
2
1
−1 ，则
2
− −1 =
1
−
2
−1 − −2 ，
≠ 0，
∴ 数列{ − −1 } 2 ≤ ≤ 9