高中数学人教A版浙江专版必修5课件：第二章 2.1 第二课时 数列的通项公式与递推公式

解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[活学活用]
已知数列{an}满足 an＋1＝22aann， －01≤ ，a12n≤<12a，n<1，
若 a1＝67，则 a2 017＝
________.
解析：计算得 a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67.故数列{an} 是以 3 为周期的周期数列，又因为 2 017＝672×3＋1，所以 a2 017 ＝a1＝67. 答案：67
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项
()
(2)有些数列可能不存在最大项
()
(3)递推公式是表示数列的一种方法
()
(4)所有的数列都有递推公式
()
解析：(1)正确．只需将项数 n 代入即可求得任意项． (2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的． (3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法． (4) 错 误 ． 不 是 所 有 的 数 列 都 有 递 推 公 式 ． 例 如 2 精 确 到 1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，… 就没有递推公式． 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是 所有的数列都有递推公式．
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通 项公式一样都是关于项数 n 的恒等式，用符合要求的正整数依 次去替换 n，就可以求出数列的各项．
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的 任何一项和所需的项．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
请说明理由．
[解] 法一：an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n＝9－n111110n， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. 则 a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109.
[活学活用] 定义：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)，已知数列{an}满足：an＝FFn2，，n2(n∈N*)，
若对任意正整数 n，都有 an≥ak(k∈N*)成立，则 ak 的值为 ( )
A．12
B．2
C．89
D．98
解析：选 C 由题得 an＝FFn2，，n2＝n2n2且 ak＝(an)min，由指数函数 y＝2x
由递推公式求数列的项
[典例] 数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，求{an}
的前 5 项． [解] 由 a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，得 an＋2＝a2n＋1－an－1n，又∵a1
＝1，a2＝3，∴a3＝a22－a－1 11＝32＋1 1＝10，a4＝a23－a－2 12＝1023－1
法二：根据题意，令aann－ ≥1≤ana＋n1，， (n>1)
即n×1110n－1≤n＋11110n， n＋11110n≥n＋21110n＋1，
(n>1)
解得 9≤n≤10.
又 n∈N*，则 n＝9 或 n＝10.故数列{an}有最大项，为第 9 项
由递推公式求通项公式
题点一：累加法求通项公式
1．已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋nn1＋1，n∈N*，求数
列的通项公式 an.
解
：∵
an＋
1－an＝nn1＋1，∴
a2－a1
＝1×1 2
；a3－
a2＝
1 2×3
；a4
－a3＝3×1 4；…an－an－1＝n－11n；
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵n＝1 时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
又∵n＝1 时，a1＝1，符合上式，∴an＝n1.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝an＋f(n) 或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋(an－1 －an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求通项公式．
A．－3
B．－11
C．－5
D．19
()
解析：选 D 由 an＋1＝an＋2－an，得 an＋2＝an＋an＋1，
则 a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
4．已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－a1n(n≥2)，则 a16＝________. 解析：a2＝1－a11＝－1，a3＝1－a12＝2，a4＝1－a13＝12， ∴此数列为 3 的周期数列，∴a1＝a16＝12. 答案：12
和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109.
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来 研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意 数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组aann－ ≥1a≤na＋n1，， (n>1)找到数列的最大项；利 用不等式组aann－≤1a≥na＋n1，， (n>1)找到数列的最小项．
与二次函数 y＝x2 图象的对比可得 an＝n2n2先减后增，故 an＝n2n2有最小值，
而 a1＝2>a2＝1>a3＝89<a4＝1，所以(an)min＝a3＝89，则 ak＝89，故选 C.
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)” (单击进入电子文档)
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
2．符合递推关系式 an＝ 2an－1 的数列是
()
A．1,2,3,4，…
B．1， 2，2,2 2，…
C． 2，2， 2，2，…
D．0， 2，2,2 2，…
解析：选 B B 中从第二项起，后一项是前一项的 2倍，
符合递推公式 an＝ 2an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则 a5＝
题点二：累乘法求通项公式 2．设数列{an}中，a1＝1，an＝1－n1an－1(n≥2)，求数列的通项公
式 an. 解：∵a1＝1，an＝1－n1an－1(n≥2)，∴aan－n1＝n－n 1，
an＝aan－n 1×aann－－12×aann－－23×…×aa32×aa21×a1 ＝n－n 1×nn－－12×nn－－32×…×23×12×1＝n1.
第二课时 数列的通项公式与递推公式
预习课本 P30～31，思考并完成以下问题
(1)什么叫数列的递推公式？ (2)由数列的递推公式能否求出数列的项？
[新知初探]
数列的递推公式 定义：如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第__2_项(或 某一项)开始的任一项_a_n_与它的前一项_a_n_－_1_(或前几项)(n≥2) 间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式．
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 求通项 公式．
数列的最大、最小项问题
[典例] 已知数列{an}的通项公式是 an＝n＋1·1110n，试问该 数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，
＝
33
，
a5
＝
a24－－13 a3
＝
332＋1 10
＝
109.
∴
数
列
{an}
的
前
5
项为
1,3,10,33,109.
由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式 中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项 表示前面的项的形式．
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
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