七年级上册北京第五十四中学数学期末试卷中考真题汇编[解析版]

七年级上册北京第五十四中学数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O
（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵
而
同理：
∴
∴
（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：
（3）解：仍然成立.
理由如下：∵
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据
即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
2．已知 (本题中的角均大于且小于 )
（1）如图1，在内部作，若，求的度数；
（2）如图2，在内部作，在内，在内，且
，，，求的度数；
（3）射线从的位置出发绕点顺时针以每秒的速度旋转，时间为秒( 且 ).射线平分，射线平分，射线平分 .若，则 ________秒.
【答案】（1）解：∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴
（2）解：，
设，则，
则，
（3） s或15s或30s或45s
【解析】【解答】(2）解：当OI在直线OA的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI= （∠AOI+∠BOI））= ∠AOB= ×120°=60°，
∠PON= ×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t= 或15；
当OI在直线AO的下方时，
∠MON═（360°-∠AOB）═ ×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°- ）或180°-3t=3（ -60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为 s或15s或30s或45s
【分析】（1）利用角的和差进行计算便可；（2）设，则，，通过角的和差列出方程解答便可；（3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可.
3．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC 和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE=________cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
【答案】（1）7
（2）解：∵AC=4cm ∴BC=AB－AC=10cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=2cm,CE=5cm ∴DE=CD+CE=7cm.
（3）解：∵AC=acm ∴BC=AB－AC=(14－a)cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=
cm,CE= cm ∴DE=CD+CE= ＋∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变。

（4）解：设∠AOC=α,∠BOC=120-α ∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC ∴∠COD= ，
∠COE= ∴∠DOE=∠COD+∠COE= ＋ = =60°∴∠DOE=60°与OC位置无关.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC=BC=7cm，
∴CD=CE=3.5cm，
∴DE=7cm，.
【分析】（1）根据中点的定义AC=BC=AB，DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE即可算出答案；
（2）首先根据BC=AB－AC 算出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE 即可算出答案；
（3）首先根据BC=AB－AC 表示出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE=AC+CB=(AC+CB)=AB即可算出答案；
（4）根据角平分线的定义∠COD =∠AOC ，∠COE =∠BOC ，然后根据
∠DOE=∠COD+∠COE =∠COD+∠COE=（∠COD+∠COE）=∠AOB即可得出答案。

4．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90 ）.
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：
ON是否平分∠AOC?请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=60 ，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）解：ON平分∠AOC．理由如下：∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC．∵∠MON=90°，∴∠BOM+∠AON=90°．又∵∠MOC+∠NOC=90°∴∠AON=∠NOC，即ON平分∠AOC
（2）解：∠BOM=∠NOC+30°．理由如下：∵∠BOC=60°，即：∠NOC+∠NOB=60°，又因为∠BOM+∠NOB=90°，所以：∠BOM=90°﹣∠NOB=90°﹣（60°﹣∠NOC）=∠NOC+30°，∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM=∠NOC+30°．
【解析】【分析】（1）ON平分∠AOC．理由如下：根据角平分线的定义得出∠BOM=∠MOC ，根据平角的定义得出∠BOM+∠AON=90°．又∠MOC+∠NOC=90°，根据等角的余角相等即可得出∠AON=∠NOC，即ON平分∠AOC ；
（2）∠BOM=∠NOC+30°．理由如下：根据角的和差得出∠NOC+∠NOB=60°，又因为∠BOM+∠NOB=90°，利用整体替换得出∠BOM=90°﹣∠NOB=90°﹣（60°﹣∠NOC）=∠NOC+30°。

5．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角，例如，，，，则和互为反余角，其中是的反余角，也是的反余角.
（1）如图为直线AB上一点，于点O，于点O，则的反余角是________，的反余角是________；
（2）若一个角的反余角等于它的补角的，求这个角.
（3）如图2，O为直线AB上一点，，将绕着点O以每秒角的速度逆时针旋转得，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时，与互为反余角图中所指的角均为小于平角的角 .
【答案】（1）；∠BOD、∠COE
（2）解：设这个角为，则补角为，反余角为或者：当反余角为时
解得：
：当反余角为时
解得：
答：这个角为或者
（3）解：当旋转时间为t时，与互为反余角.
射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，
此时：
.
解得：或者
答：当t为40或者10时，与互为反余角.
【解析】【解答】解：的反余角是，的反余角是、∠COE；
【分析】（1）由∠AOD-∠AOE=90°，可得∠AOE的反余角；由∠BOE-∠COE=90°，根据同角的余角相等可得∠COE=∠BOD，据此可得∠BOE的反余角是∠BOD、∠COE；
（2）设这个角为，则补角为，反余角为或者，所以分两种情况①当反余角为时②当反余角为时，分别列出方程，求出x值即可.
（3）当旋转时间为t时，与互为反余角，先求出此时t=45s,当t≤45时，可得∠POD=3t+30,∠POE=180-3t,根据互为反余角列出方程，求出t值即可.
6．将一副三角板如图1摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，
，， .
（1）保持三角板OCD不动，将三角板OAB绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒.
①当 ________秒时，OB平分此时 ________ ；
②当三角板OAB旋转至图2的位置，此时与有怎样的数量关系？请说明理由；________
（2）
如图3，若在三角板OAB开始旋转的同时，另一个三角板OCD也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时同时停止.
①当t为何值时，OB平分？
②直接写出在旋转过程中，与之间的数量关系.
【答案】（1）1.5；；
，
（2）解：①由题意：，，
，
所以t为2时，OB平分
②当时，
当时，
当时，
【解析】【解答】（1）①
当时，即
，
故答案为
【分析】（1）该小题是简单的旋转问题，结合图1即可求得t的值及与的关系该小题第二问涉及角的旋转问题，利用特殊角解决本题就好做多了（2）平分时，根据角平分线的定义即可建立等量关系
7．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：
（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，
①当 =3秒时，∠AOB=________ ；
②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________
【答案】（1）4.5
（2）；解：由题意知，
∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180－30t ＝10t ，
解得：t ＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t ＝2(30t －180)，
解得：t ＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t －180＝2×10t ，
解得：t ＝18（舍去）；
∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线
【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON=180 ,
∴，
解得：；
∴秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5
2）解：①若OA、OB同时顺时针转动，
∴，，
∴；
故答案为：120；
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180 减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.
8．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）若AC＝8 cm，CB＝6 cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论并说明理由；
（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图．
【答案】（1）解：点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM= AC=4cm，
CN= BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm
所以线段MN的长为7cm
（2）解：MN的长度等于 a，
根据图形和题意可得：
MN=MC+CN= AC+ BC= （AC+BC）= a
（3）解：MN的长度等于 b，
根据图形和题意可得：
MN=MC-NC= AC- BC= （AC-BC）= b．
【解析】【分析】（1）据“点M、N分别是AC，BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．（2）据题意画出图形即可得出答案．（3）据题意画出图形即可得出答案．
9．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝65°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则∠COE＝________；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，试猜想∠AOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由.
【答案】（1）25°
（2）解：如图②，∵OC平分∠EOA，∠AOC=65°，∴∠EOA=2∠AOC=130°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD=∠AOE-∠DOE=40°，∵∠BOC=65°，∴∠COD=∠AOC-∠AOD=25°（3）解：根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°
∴
∴
【解析】【解答】（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠AOC=90°-65°=25°；
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠AOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOA=2∠AOC=130°，代入∠EOC=∠BOA-∠AOC，求出∠EOC，代入∠COD=∠DOE-∠EOC求出即可；（3）根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案.
10． O为直线AB上的一点，OC⊥OD，射线OE平分∠AOD．
（1）如图①，判断∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试问（1）中∠COE和∠BOD之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；
（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，探究∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∠BOD＝2∠COE，
理由如下：∵OC⊥OD
∴∠COD＝90°
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC
∵射线OE平分∠AOD．
∴∠AOE＝∠AOD
∵∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝﹣∠AOC＝
∴∠BOD＝2∠COE
（2）解：不发生变化，
理由如下：∵OC⊥OD
∴∠COD＝90°
∵∠COE＝90°﹣∠DOE，且∠BOD＝180°﹣2∠DOE＝2（90°﹣∠DOE）
∴∠BOD＝2∠COE
（3）解：∠BOD+2∠COE＝360°
理由如下：∵OC⊥OD
∴∠COD＝90°
∴∠DOE＝90°﹣∠COE，且∠BOD＝90°+∠BOC＝90°+90°﹣2∠DOE＝180°﹣2∠DOE
∴∠BOD+2∠COE＝360°
【解析】【分析】（1）本题运用统一量的思想求∠COE和∠BOD之间的数量关系。

因
为OC⊥OD，则∠BOD＝90°﹣∠AOC，因为OE平分∠AOD，∠AOE＝∠AOD，而∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+∠AOC，从而由∠COE＝∠AOE﹣∠AOC，把∠COE
用含∠AOC的代数式表示，经过比较即可求得∠BOD＝2∠COE；
（2）本题也是运用统一量的思想，把∠COE和∠BOD用含∠DOE的代数式表示，即∠COE＝90°﹣∠DOE，∠BOD＝180°﹣2∠DOE＝2（90°﹣∠DOE），两式比较即可得到∠BOD＝2∠COE；
（3）本题依然运用统一量的思想，把∠BOD和∠DOE用含∠COE的代数式表示，即∠DOE＝90°+∠COE，∠BOD＝180°﹣2∠DOE，观察分析即可得出∠BOD+2∠COE＝360°。

11．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥G H；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角
的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
12．综合题
（1）ⅰ问题引入
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）；
ⅱ拓展研究
如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，试求∠BOC的度数________（用α表示）.
ⅲ归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝
∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）.
（2）类比探索
ⅰ特例思考
如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数________（用α表示）.
ⅱ一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝
∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝________（用α表示）.
【答案】（1）90°＋∠α；120°＋∠α；
（2）120°－∠α； .
【解析】【解答】（1）ⅰ90°＋∠α；
ⅱ如图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－
（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－（180°－∠α）＝180°－60°＋∠α
＝120°＋∠α；
ⅲ；
（ 2 ）ⅰ如图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）]＝180°－ [360°－（180°－
∠A）]＝180°－（180°＋∠α）＝180°－60°－∠α＝120°－∠α.；
ⅱ .
【分析】（1）ⅰ根据角平分线的定义，可得出∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅱ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅲ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出
∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果。

（2）ⅰ根据∠CBO= ∠DBC，∠OCB= ∠ECB，可得出∠CBO+∠OCB=180°- （∠DBC+∠ECB），再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-（∠ABC+∠ACB）】，化简即可得出结果；根据∠CBO= ∠DBC，∠OCB= ∠ECB，可得出∠CBO+∠OCB=180°-
（∠DBC+∠ECB），再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-（∠ABC+∠ACB）】，化简即可得出结果。

13．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值.
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.
【答案】（1）解：由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的处
（2）解：如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ= AB，
∴
（3）解：② 的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD= AB，
∴CM= AB，
∴PM=CM-CP= AB-5，
∵PD= AB-10，
∴PN= AB-10）= AB-5，
∴MN=PN-PM= AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得
PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有
CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝ AB.
14．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.
【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；
②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC
（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°
（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.
即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.
15．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD 分别平分∠ABP和∠PBN.
（1）求∠ABN的度数
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。

若变化，请写出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。

【答案】（1）证明：∵AM//BN
∴∠A+∠ABN=180°
∵∠A=60°
∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°
（2）解：如图，
没有变化。

∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN
∴∠1= ∠ABP , ∠2= ∠PBN
∴∠CBD=∠1 +∠2 = ∠ABP+∠PBN）
= ×1200=600
（3）解：如图，
∵AM//BN
∴∠ACB=∠CBN
∵∠ACB=∠ABD
∴∠CBN=∠ABD
∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD
即∠1=∠4
又∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°
即∠ABC=30°
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；
(2)根据角平分线的性质以及角度相加减即可得证；
(3)根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到∠CBN=∠ABD，根据角度的相加减得到∠1=∠4，再根据角平分线的性质得到∠1=∠2=∠3=∠4，最后根据∠ABN=120°即可得到答案.。