高二数学导数及其应用苏教版知识精讲

高二数学导数及其应用苏教版知识精讲
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
导数及其应用
二. 重点、难点：
教学重点：
1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．
2. 熟记基本导数公式：x m（m为有理数）、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．
三. 主要知识点：
1. 知识网络
2. 方法分析
有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明．本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传
统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的． 3. 方法总结
（1）导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象；
（2）在导数的定义中“比值
x
y
∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”；
（3）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于定义法解决单调性问题是十分简捷的；
（4）函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；
（5）在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；
（6）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键． 4. 概念与公式
（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x
y
∆∆（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
'
x x y =．
（2）导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如
果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为
))((')(000x x x f x f y -=-．
（3）导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．
（4）可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．
（5）求函数)(x f y =的导数的一般方法： ①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆．
②求平均变化率
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)
()(．
③令0→∆x ，得导数'y ＝()f x ' （6）常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=
对数函数的导数： x x 1)'(ln =
e x
x a a log 1
)'(log = 指数函数的导数： x x e e =)'( a a a x x ln )'(= （7）法则1 )(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±
法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+，[()]'()Cu x Cu x '=
法则3 '
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
（8）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ） 在某个区间内有导数，如
果在这个区间内'y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数．
（9）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．
（10）极大值：一般地，设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值＝f （x 0），x 0是极大值点．
极小值：一般地，设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）.就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值＝f （x 0），x 0是极小值点．
（11）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．
（12）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ） ②求方程f ′（x ）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值．
（13）函数的最大值和最小值：在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．①在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．②函数的最
值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．③函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
（14）利用导数求函数的最值步骤：①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．
【典型例题】
例1. （2003年烟台统考）已知函数f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．
目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力．
解：∵f ′（x ）＝3x 2＋6ax ＋3a ＋6，令f ′（x ）＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0 又∵f （x ）既有极大值又有极小值
∴f ′（x ）＝0必有两解，即△＝4a 2－4a －8＞0 解得a ＜－1或a ＞2．
点评：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略．
变式：已知f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1，试讨论函数y ＝f （x ）的单调性 提示：分△＞O ，△＝O ，△<O 三种情况分别就a 的不同取值进行讨论．
例2. 过曲线C ：y ＝x 2
－1（x>0）上的点P 作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求P 点的坐标，使∆OMN 的面积最小．
点拨：
1、设点P （x 0，x 2
0－1），求出y'|0x x =＝2x 0，即切线斜率．
写出切线方程：y －（x 20－1）＝2x 0（x －x 0）
2、分别令x ＝0，y ＝0求出M ，N 点的坐标，则S OMN ∆可表示．
3、通过求导求S OMN ∆的最小值及P 点坐标．答案：P （3
2
,33-） 思考：若P 点不在曲线上，如何求切线方程？
已知曲线C ：y ＝x 2
－1（x>0），过点P （2，1）作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求∆OMN 的面积．
易错点：学生往往会把过P 点的切线斜率算成y'|2=x ＝2·2＝4．
点拨：设切点Q （x 0，x 02
－1），过Q 点的切线斜率为y'|0x x =＝2x 0，得切线方程y －（x 02
－1）＝2x 0（x － x 0），P 点代入，得x 0＝22+±，代回得切线方程，下略．
例3. 设函数f （x ）＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d （a 、b 、c 、d ∈R ）的图象关于原点对称，且x ＝1时，f （x ）取极小值－
3
2
． （1）求a 、b 、c 、d 的值；
（2）当x ∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x 1，x 2∈[－1，1]时，求证：|f （x 1）－f （x 2）|≤
3
4． 目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力．
解（1）：∵函数f （x ）图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f （－x ）＝－ f （x ）. ∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ，即bx 2－2d ＝0恒成立． ∴b ＝0，d ＝0，即f （x ）＝ax 3＋cx. ∴f ′（x ）＝3ax 2＋c ．
∵x ＝1时，f （x ）取极小值－
32． ∴f ′（1）＝0且f （1）＝－ 32， 即3a ＋c ＝0且a ＋c ＝－32． 解得a ＝3
1
，c ＝－1.
（2）证明：当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在
两点A （x 1，y 1）、B （x 2＋y 2），使得过这两点的切线互相垂直，
则由f ′（x ）＝x 2－1，知两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且（x 12－1）（x 22－1）＝－1． （*）
∵x 1、x 2∈[－1，1]， ∴x 12－1≤0，x 22－1≤0 ∴（x 12－1）（x 22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立． （3）证明：∵f ′（x ）＝x 2－1，由f ′（x ）＝0，得x ＝±1． 当x ∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f ′（x ）＞0; 当 x ∈（－1，1）时，f ′（x ）＜0．
∴f （x ）在[－1，1]上是减函数，且f max （x ）＝f （－1）＝
3
2， f min （x ）＝f （1）＝ －
3
2． ∴在[－1，1]上，|f （x ）|≤3
2
．
于是x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤|f （x 1）|＋|f （x 2）|≤32＋32＝3
4． 故x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤
3
4． 探究：①若x 0点是y ＝f （x ）的极值点，则f ′（x 0）＝0，反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y ＝f （x ）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．
例4. 已知平面向量a ＝（3，－1）.b ＝（
21，2
3）． （1）证明a ⊥b ；
（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋（t 2－3） b ，y ＝－k a ＋t b ，x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f （t ）
； （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f （t ）－k ＝0的解的情况．
【考查目的】
本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力．
解：（1）∵a b ⋅＝3×
21＋（－1）×2
3
＝0 ∴a ⊥b ． （2）∵x ⊥y ，∴x y ⋅＝0 即[a ＋（t 2－3） b ]·（－k a ＋t b ）＝0． 整理后得－k 2
a ＋[t －k （t 2－3）] a
b ⋅＋ （t 2－3）·2
b ＝0 ∵a b ⋅＝0，2
a ＝4，2
b ＝1，
∴上式化为－4k ＋t （t 2－3）＝0，即k ＝4
1
t （t 2－3） （3）讨论方程
41t （t 2－3）－k ＝0的解的情况，可以看作曲线f （t ）＝ 41
t （t 2－3）与直线y ＝k 的交点个数．
于是f ′（t ）＝
41（t 2－1）＝ 4
3
t （t ＋1）（t －1）． 令f ′（t ）＝0，解得t
当t ＝－1时，f （t ）有极大值，f （t ）极大值＝
2． 当t ＝－1时，f （t ）有极小值，f （t ）极小值＝－2
1
．
函数f （t ）＝4
1
t （t 2－3）的图象如图所示，
可观察出：
（1）当k ＞
21或k ＜－21
时，方程f （t ）－k ＝0有且只有一解； （2）当k ＝21或k ＝－21
时，方程f （t ）－k ＝0有两解；
（3）当－21＜k ＜2
1
时，方程f （t ）－k ＝0有三解．
探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径．
例5. （2004·温州市一模∙21）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任
意的n ∈N *，都有4S n ＝（a n ＋1）2
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N *成立，求实数t 的最大值．
分析：利用S n －S n －1＝a n （n ≥2）易得a n ＝2n －1，从而S n ＝n 2则问（2）转化为t ≤22
n
n
恒成立，故只需求出数列2
2
n n n b =的最小项，有以下求法：
法一：研究数列{b n }的单调性．
法二：数列作为一类特殊的函数，欲求22{}n n 的最小项可先研究连续函数22(0)
x
y x x =>的单调性，求导得4
2(ln 22)
x x x y x ⋅-'=，易得2ln 2x =为函数22x y x =的极小值也是最小
值点，又22
ln ln 2e <<，所以2[]3ln 2=而3
34223b b =<，故389t b ≤= （注：不能直接对22(*)n
y n N n
=∈求导，为什么？）
探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在．
特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：欲用导数，得先构造函数．
例6. 已知双曲线:(0)m
C y m x
=
<与点M （1，1），如图所示．
（1）求证：过点M 可作两条直线，分别与双曲线C 两支相切；
（2）设（1）中的两切点分别为A 、B ，其△MAB 是正三角形，求m 的值及切点坐标． 【考查目的】
本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的沟通．
（1）证明：设(,)m
Q t C t
∈，要证命题成立只需要证明关于t 的方程|x t MQ y k ='=有两个符号相反的实根．
|x t MQ
y k ='=221201
m m t t mt m t t -⇔-=⇔-+=-，且t ≠0，t ≠1．
设方程2
20t mt m -+=的两根分别为t 1与t 2，则由t 1t 2＝m<0，知t 1，t 2是符号相反的实数，且t 1，t 2均不等于0与1，命题获证．
（2）设1212
(,
),(,)m m
A t
B t t t ，由（1）知，t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝m ，从而 2
121212121()2,()2222t t m m m t t m m m t t t t m
++=+===，即线段AB 的中点在直线y x =上． 又
1221
212121()1()
AB
m m
m t t t t k t t t t t t -
-===---，∴AB 与直线y x =垂直． 故A 与B 关于y x =对称， 设(,
)(0)m A t t t <，则(,)m B t t
有t 2－2mt ＋m ＝0 ① 由22,,60MA
MB m m k k AMB t k
=-=-∠=︒及夹角公式知
2222
tan 601t m
m t t m m t
-+︒=+⋅
，即2
2m t
t m -= ②
由①得2
21t m t =- ③
从而2214(1)
(21)02121
m t t t t t m t t --=
--=>--
由②知2222m t m t m t -==
，代入③知t =
因此，1
,(2m A B =-． 探究：求切线方程的常见方法有：1、数形结合．2、将直线方程代入曲线方程利用判别
式．3、利用导数的几何意义．
小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点．
【模拟试题】
一、选择题
1.
函数32cos y x x =，则y '等于 （ ）
A. 26sin x x
B. 2
2sin x x +
-
C. 2
6sin x x +
+
D. 26sin x x -
2. 已知曲线23123,,2sin y x y x y x ===，这三条曲线与x ＝1的交点分别为A 、B 、C ，又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A. k 1<k 2<k 3 B. k 3<k 2<k 1 C. k 1<k 3<k 2 D. k 3<k 1<k 2
3. 已知a>0，函数3
()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 已知3
2
()26f x x x m =-+（m 为常数），在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在 [－2，2]上的最小值为 （ ）
A. －37
B. －29
C. －5
D. －11
5. （2004年浙江高考）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则
()y f x =的图象最有可能的是（ ）
二、填空题
6. 某汽车启动阶段的路程函数为S （t ）＝2t 3
－5t 2
，则t ＝2秒时，汽车的速度和加速度分别为
7. 曲线2
1
y x =
与曲线y =在交点处的切线的夹角为 ． 8. 已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
9. 已知曲线2212::(2)C y x C y x ==--与，求与C 1、C 2均相切的直线l 的方程．
10. 函数32
()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点(1,())P f x 的切线方程为
y ＝3x ＋1
（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求()y f x =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围．
11. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间？
②当t ＝5时，第二次服药，问t 1
[5,5
]16
时，药效是否连续？
[参考答案]
http//
1. D
2. D
3. D
4. A
5. C
6. 4，3
7. 90°
8. （－∞，－1）
9. 解答：由2y x =得2y x '=，由2(2)y x =-- ，得2(2)y x '=--； 设直线l 与2y x =的切点为211(,),(2)P x y y x =--与的切点为22(,)Q x y
①＋②整理得121212(2)(2)y y x x x x +=+--+ 由③得1220x x +-=
120y y ∴+=即21y y =-，代入④与①联立可解得x 1＝0或x 1＝2
当x 1＝0时，x 2＝2；当x 1＝2时，x 2＝0 ∴直线l 过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，－4）点因此所求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4．
10. 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++求导数得2
()32f x x ax b '=++过()y f x =上
点(1,(1))P f 的切线方程为：
(1)(1)(1),(1)(32)(1)y f f x y a b c a b x '-=--+++=++-即，
而过()y f x =上，(1,(1))P f 的切线方程为31y x =+ 故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩ 即203
a b a b c +=⎧⎨++=⎩
()y f x =在x ＝－2时有极值，故(2)f '-＝0 412a b ∴-+=- ③
由①②③式联立解得2,4,5a b c ==-=，3
2
()245f x x x x ∴=+-+ （2）2
2
()32344(32)(2)f x x ax b x x x x '=++=+-=-+ ①②
32()(2)(2)2(2)4(2)513f x f =-=-+---+=极大，
3(1)1214154f =+⨯-⨯+=，()f x ∴在[－3，1]上最大值为13．
（3）()y f x =在区间 [－2，1]上单调递增，又2()32f x x ax b '=++， 由（1）知20a b +=，2()3f x x bx b '∴=-+
依题意()f x '在[－2，1]上恒有2()0,30f x x bx b '≥-+≥即在[－2，1]上恒成立．
①当16b
x =
≥时，()(1)30f x f b b ''==-+>小，6b ∴≥ ②当26
b
x =≤-时，()(2)1220f x f b b ''=-=++≥小，b ∴∈∅
③当216b -≤≤时，2
12()012
b b f x -'=
≥小，∴0≤b ≤6 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0．
11. 解答：（1）当0≤t ≤1时，y ＝4t ， 当t ≥1时，1
()
2
t a
y -=，此时M （1，4）在曲线上，
114(),32a a -∴=∴=，这时31()2t y -= 所以＝＝)(t f y 34(01)()1()(1)2
t t
t y f x t -≤≤⎧⎪
==⎨≥⎪⎩
（2）①
340.25
()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即 解得1165t t ⎧≥
⎪⎨⎪≤⎩
1516t ∴≤≤
∴服药一次治疗疾病有效的时间为115
541616
-=个小时． ②设1
[5,5
]16
t ∈，5小时第二次服药后，血液中含药量g （t ）为：第二次产生的含药量4（t －5）毫克以及第一次的剩余量31()2t -毫克，即g （t ）＝4（t －5）＋ 3
1()2
t -
只要证明，当1
[5,5]16t ∈时,g （t ）≥0.25即可
33111
()4()ln 4()ln 2222
t t g t --'=+=-，()g t '∴在R 上是增函数，
1()[5,5
]16g t '∴在上有21
()(5)4()ln 202g t g ''≥=->， 1
()[5,5]16
g t ∴在上是增函数，故g （t ）≥g （5）＝0.25，
∴当t ＝5时，第二次服药，1
[5,5]16t ∈时，药效连续．。