2018年高考文科数学模拟试卷(1)

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2018年高考文科数学模拟试卷（1）
一、单选题（每小题
5分，共60分）
1．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝(
) A. {0} B. {－1，0}C. {0，1} D. {－1，0，1} 2．已知复数z 满足()12i z +⋅=，则其共轭复数z =（） A. 1i - B. 1i + C.
22i - D. 22i + 3．已知α是锐角，若1
sin 44
πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则cos2α= A. 7
8 B.
C. 78-
D.
4．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 在此几何体的表面积是（ ）
A. (2
20cm + B. 2
21cm
C. (224cm +
D. 2
24cm
5．若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ( ) A. 50π B. 100π C. 150π D. 200π
6．已知平面向量a ，b 满足()1,2a = ，b = 5a b += ，则向量a ，b
的夹角为（ ）
A.
4π B. 3
π C. 23π D. 34π
7．已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点()2,M m 满足
6MF =，则抛物线C 的方程为（ ）
A. 2
2y x =
B. 2
4y x = C. 2
8y x = D. 2
16y x = 8．执行如图所示的程序框图，如果输入的3x =，则输出的x =（）
A. 3
B. 2-
C.
12 D.
43
9．若实数,x y 满足10
{0 0
x y x y x -+≥+≥≤，则2z x y =-的最小值为（）
A. 0
B. 1-
C.
3
2
-
D. 2- 10．传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。

有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。

如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是 （ ） A.
12 B. 13 C. 16 D. 136
11．定义行列式运算
121
4233
4
a a a a a a a a =-，将函数()sin cos x
f x x
=
的图像向左平移(0)n n >个
单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小值为（） A.
6π B. 3
π C. 23
π D. 56π
12．定义在π0,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上的函数()(),f x f x '是它的导函数,且恒有()()cos sin 0xf x f x x '+>成立,则 A.
ππ43⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()1πsin1126f f ⎛⎫>
⎪⎝⎭
C. ππ64f ⎛⎫⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ππ63f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫
⎡⎤=
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的单调递增区间是__________. 14．已知偶函数()f x 是区间[
)0,+∞上单调递增，则满足()()213f x f -<的x 取值集合是
__________．
15．等差数列{}n a 的公差为2，且248,,a a a 成等比数列，那么1a =__________，数列{}n a 的前9项和9S =__________．
16．某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被
录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是________.
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三、解答题（前5个小题每小题12分，最后一题10分）
17．在ΔABC 中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,若2
2cos cos212
A B
C +-=. （1）求角C 的大小
（2）若ΔABC 三边长成等差数列,且1a =,求ΔABC 的面积.
18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,PB PD 的
中点，PA AD =.
（Ⅰ）求证：||EF 平面ABCD ；
（Ⅱ）求证：AF ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）若4AD =，2CD =，求三棱锥E ADF -的体积..
19．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]
4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a 的值；
（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；
（3）在[)1,1.5、[
)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
20．已知圆()2
2
1:18F x y ++=，圆心为1F ，定点()210F ，，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点N
满足222PF NF = ，直线1PF 上一点Q ，满足2·0QN NF = .
(Ⅰ) 求点Q 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ) O 为坐标原点，O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与O 相切，并与轨迹C 交于不
同的两点A ，B. 当·OAOB λ= 且满足3455λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求△OAB 面积S 的取值范围.
21．已知函数()2
2e 22x
f x ax x =---.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点
()
()
0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且仅有一个零点；
（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 4p θθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2{
13x cos y sin θθ
=+=+（θ为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A B 、两点，P 为曲线2C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值.
参考答案
1．B
【解析】集合B 含有整数－1，0，故A∩B＝{－1，0},故选B. 2．B 【解析】()()()()21212111111
i i z i i i i --=
===-++-+，∴z 1i =+. 故选：B 3．D
【解析】1
44
sin πα⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭ ，α是锐角，
cos 4πα⎛
⎫∴-=
⎪⎝⎭
则sin sin cos 444242sin ππππαααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
142428=⨯+=
221212cos sin αα=-=-=故选D
4．A
【解析】三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为
(
21
52242202
cm ⨯⨯+⨯⨯=+
故选A
5．A
【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，
=， ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径
∴球半径为2
R = ，可得球的表面积为2
450R ππ= ． 故选A ． 6．A
【解析】()1,2a
→= ，a
∴→=
5a
b
→+→=
==
则cos 2
θ=
4
π
θ∴=
故选A
点睛：本题中，由a
→的坐标可得到a
→的模，又因为5a b +=
求两个向量的夹角，由向量
的数量积的计算公式可以求得答案。

着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题。

7．D
【解析】设抛物线的准线为l ，作'MM ⊥直线l 于点'M ，交y 轴于''M
由抛物线的定义可得：'6MM MF ==，结合2M x =可知：'''624M M =-=， 即
4,2162
p
p =∴=，据此可知抛物线的方程为：216y x =. 本题选择D 选项.
点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 8．C 【解析】
通过列举发现x 的变化具有周期性，从而得到最终输出结果为1x 2
=. 故选：C 9. D
【解析】根据已知作出可行域如图所示：
2z x y =-，即122z y x =
-，斜率为1
2
，在()0,1处截取z 得最小值为2- 故选D
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10．C
【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有6种情形，故田忌获胜的概率为1
6
.选C. 11．D
【解析】函数()sin 2cos 6cos x f x sinx x x π⎛
⎫==-=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移n （n ＞
0）个单位，
所得图象对应的函数为y=2cos （x+n+6π），根据所得函数为偶函数，可得n+6
π
=kπ，k ∈z ，
则n 的最小值为56
π
， 故选：D ．
12．B
【解析】构造函数()()g x f x sinx =,则()()()0g x cosxf x f x sinx =+'>',即()g x 在
0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增, 由于016
2
π
π
<
<<
，所以()16g g π⎛⎫
<
⎪
⎝⎭,即()11126sin f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
, 本题选择B 选项. 13．0,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】化简可得y=sinxcos 3π+cosxsin 3π=sin （x+3
π
）， 由2kπ﹣2π≤x+3π≤2kπ+2π可得2kπ﹣56π≤x≤2kπ+6
π
，k ∈Z ，
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣56π，6
π
]，
又由x ∈[0，2π ]可取交集得x ∈[0，6π
]，
故答案为：[0，6
π
]．
14．{|12}x x -<<
【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()213f x f -<等价于()()213f x f -<，
又()f x 是区间[
)0,+∞上单调递增，所以213x -<. 解得12x -<<.
答案为：{|12}x x -<<.
点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则
()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调
性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可. 15． 290
【解析】∵248,,a a a 成等比数列,∴2428a a a =，
∴(1a +3×2)2=(1a +2)⋅(1a +7×2)， 解得1a =2. ∴则9198
9290.2
S a ⨯=+
⨯=， 16．甲
【解析】如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；
如果乙说假话，则乙没有被录用，并也没有被录用，则甲被录用，满足题意； 如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾。

综上，被录用的是甲。

17．（1）C =
π3,(2)ABC S ∆=. 【解析】试题分析：(1)先利用三角形的内角和定理和二倍角公式进行求解; (2)利用等差中项、配角公式、三角形的面积公式进行求解. 试题解析：2
2cos
cos21cos2cos 02
A B
C C C +-=⇒+=因为, 22cos cos 10C C ⇒+-=,
1cos 2C =
所以或cos 1C =- (舍)⇒C =π3
, (2)因为三边成等差数列⇒2c =a+b (只可能c 为等差中项),
所以2sin sin sin C A B =+=,
1
cos 12
A A +=⇒A =π3,
因此△ABC 为边长为1的等边三角形,
ABC S ∆=
所以. 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）43
E AD
F V -=
【解析】试题分析：（Ⅰ）由中位线定理可得//EF BD ，进而得线面平行； （Ⅱ）易证得AF PD ⊥，CD AF ⊥从而证得线面垂直；
（Ⅲ）由AB ⊥平面PAD ，点E 是PB 的中点，所以点E 到平面AFD 的距离等于
1
2
AB ，利用1132E ADF ADF V S AB -∆⎛⎫
=
⋅ ⎪⎝⎭
即可求解.
试题解析： 解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为,E F 分别是,PB PD 的中点，
所以//EF BD .
又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD .
（Ⅱ）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点. 所以AF PD ⊥.
又因为ABCD 是矩形， 所以CD AD ⊥.
因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA CD ⊥.
因为PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAD . 因为AF ⊂平面PAD ， 所以CD AF ⊥.
又因为PD CD D ⋂=， 所以AF ⊥平面PCD .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD ⊥平面PAD . 因为//AB CD ，
所以AB ⊥平面PAD . 因为点E 是PB 的中点， 所以点E 到平面AFD 的距离等于
1
2
AB . 所以111
441323
3E ADF ADF V S AB -∆⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即43
E AD
F V -=
. 点睛：证明线面平行有两种方法，一是利用线面平行的判定定理，常常利用三角形的中位线定理或者利用平行四边形得出线线平行，进而得出线面平行；二是面面平行，证明直线所在的平面与另一个平面平行，进而说明线面平行；求体积除了直接计算外，大多都使用体积变换，利用变换顶点，转化底面，平行转化、对称转化、比例转化等，然后在进行体积计算. 19．(1)0.30a = (2) 2.06m =（3）37
P =
【解析】试题分析：(1)根据频率分布直方图计算a 的值；（2）根据频率分布直方图估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）由题意得平均户外活动
时间在[)11.5，，[
)1.52，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A ，B ，C 及a ，b ，c ，d ，从7人中随机抽取2人，共有21种，同时在同一组的有9种，从而得到抽取的两人恰好都在同一个组的概率. 试题解析：
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知，
平均户外“活动时间”在[
)00.5，的频率为0.080.50.04⨯=．
同理，在[)0.51，，[)1.52，，[)22.5，，[)33.5，，[)3.54，，[
)44.5，等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，
由()10.040.080.200.250.070.040.020.50.5a a -++++++=⨯+⨯． 解得0.30a =．
（Ⅱ）设中位数为m 小时．
因为前5组的频率之和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，
而前4组的频率之和为0.040.080.150.200.470.5+++=<，所以2 2.5m ≤<． 由()0.5020.50.47m ⨯-=-，解得 2.06m =．
故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时． （Ⅲ）由题意得平均户外活动时间在[)11.5，，[
)1.52，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A ，B ，C 及a ，b ，c ，d ，从7人中随机抽取2人，共有()A B ，，()A C ，
，()A a ，，()A b ，，()A c ，，()A d ，，()B C ，，()B a ，，()B b ，，()B c ，
，()B d ，，()C a ，，()C b ，，()C c ，，()C d ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，，()b c ，，()b d ，
，()c d ，．共21种，同时在同一组的有()A B ，，()A C ，，()B C ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，
，()b c ，，()b d ，，()c d ，．共9种， 故其概率是93
217
P =
=． 20．（Ⅰ）
2
212x y +=.（Ⅱ）5
5⎡⎢⎣⎦，. 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据已知条件结合椭圆的定义求出曲线的方程．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系建立关系式，进一步求出参数的取值范围． 试题解析：
（Ⅰ）∵222PF NF =
∴ N 为2PF 的中点
∵2·0QN NF =
∴ QN 为线段2PF 的中垂线 ∴2QP QF =
∵1112F P F Q QP F Q QF =+=+=∴由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以12,F F
为焦点，长轴长为
设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
则1a c =
=，
∴21b =.
∴点Q 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）∵圆O 与直线l 相切，
1=，即221m k =+，
由2
21
{ 2
x y y kx m
+==+，消去y 整理得()222124220k x kmx m +++-=. ∵直线l 与椭圆交于两个不同点，
∴()()()()
22
2
2
24412228210km k
m k
m ∆=-+-=-+>，
将221m k =+代入上式，可得2
0k >， 设()()1122,,A x y B x y ，，
则2121222
4221212km m x x x x k k
-+=-=++，， ∴()()()22
2
2
121212122
212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，
∴
AB =
，
∴2
12122112k OA OB x x y y k
λ+=⋅=+=+ ， ∵3455λ≤≤，解得2123
k ≤≤. 满足20k >. 又
112ABC S S AB ∆==⋅= 设42k k μ=+，则
469μ≤
≤.
∴S ==
，
S ≤≤
故△OAB 面积S
的取值范围为⎣⎦. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21．（Ⅰ）0y =（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得出切线的方程；
（2）现证明()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，且()00f =，故()f x 有且仅有一个零点；（3）数形结合判断函数()f x 的零点的个数.
试题解析：
（Ⅰ）因为函数()2
2e 22x f x ax x =--- 所以()2e 22x
f x ax ='-- 故()00f =，()00f '=
曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y =
（Ⅱ）当0a ≤时，令()()2e 22x g x f x ax ==--'，
则()2e 20x
g x a ='-> 故()g x 是R 上的增函数.
由()00g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >.
即当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>.
故()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.
函数()f x 的最小值为()0f
由()00f =，故()f x 有且仅有一个零点.
（Ⅲ）当1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点.
点睛：
（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。

22．（1）4x y +=,()()22219x y -+-=（2
. 【解析】试题分析：(1) 曲线1C 的直角坐标方程为4x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22
219x y -+-=; (2) 联立圆1C 与直线2C 的方程,得到两曲线的交点坐标，从而求得AB ，再用点到直线距
离表示d =，利用三角函数的有界性求最值即可. 试题解析：
（1）曲线1C 的直角坐标方程为4x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22
219x y -+-=.
（2）联立圆1C 与直线2C 的方程，可求两曲线交点坐标分别为
,⎝⎭⎝⎭
则AB =，又()23cos ,13sin P θθ++到1C
的距离d ==， 当sin 14πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
时，max d =， PAB ∆
面积最大值为1
2=.。