江西省上饶市上饶中学高三上学期第一次月考数学试题(文科零、培优、文补班).docx

高中数学学习材料
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上饶中学2015－2016学年高三上学期第一次月考
数 学 试 卷（文科零、培优、文补班）
考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：程媛媛
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}{}
N M x x g y x N x y y M x ⋂-==>== ,)2(1,0,22为（ ） A ．（1，2）
B ．),1(+∞
C ．),2[+∞
D ．),1[+∞
2.下列四个函数中，在区间)1,0(上是减函数的是（ ）
A.2log y x =
B.1y x =
C.1()2
x
y =- D.1
3y x =
3.已知b a ,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，b a 3+等于( )
7 .A 10 .B .15C . 13D
4.设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则 （ ） A.c b a << B.c a b << C ．a b c << D.b c a <<
5．要得到2sin()(0)5
y x π
ωω=+>的图像，只需将函数x y ωsin 2=的图像（ ）
A.向左平移
5π个单位 B.向右平移5
π
个单位 C.向左平移
ωπ5个单位 D.向右平移ω
π5个单位 考试时间：2015年9月15－16日
A
O
B
M C P
N
x 第11题图
6. 平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，
若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ） A ．
3，1 B ． 1，3 C ． -1，3 D ． 3-，1
7.已知a r 与b r
均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
12:10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭
r r ； 22:
1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦
r r ；
3:10,3p a b πθ⎡⎫
->⇔∈⎪⎢⎣⎭r r ； 4:
1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦
r r .
其中的真命题是
A.14,p p
B.13,p p
C.23,p p
D.24,p p 8．给出下列四个结论：
①若命题2000:,10p x x x ∃∈++<R ，则2
:,10p x x x ⌝∀∈++≥R ；
② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；
③命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程2
0x x m +-=没有实数根，则m ≤0”； ④函数)6
2cos()(π
-
=x x f 的图象关于直线3
π
=
x 对称．
其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 动直线a x =与函数)4
(
sin 2)(2
x x f +=π
和x x g 2cos 3)(=的图像分别交于M 、N 两点，则
︱MN ︱的最大值为( ) A.
2 B.
3 C.2 D.3
10.已知在实数集R 上的可导函数)(x f ，满足)1(+x f 是奇函数，且当1≥x 时，
1)
(1
>'x f (其中)(x f '为)(x f 的导函数)，则不等式1)(->x x f 的解集是（ ）
A. )1,0(
B. ),1(+∞
C.)1,(-∞
D. )0,(-∞ 11. 如图，半径为1的圆M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针方向旋转到OB ，旋转过程中OC 交 ⊙M 于点P ，记PMO ∠为x ，弓形ONP 的面积()S f x =， 那么()f x 的大致图象是 ( )
y
y
y
y
302
x x -≤-
12. 函数()f x 上任意一点11(,)A x y 处的切线1l ，在其图像上总存在异与点A 的点22(,)B x y ，使得
在B 点处的切线2l 满足12//l l ，则称函数具有“自平行性”.下列有关函数()f x 的命题：
①函数()sin 1f x x =+具有“自平行性”；② 函数()3(12)f x x x =-≤≤具有“自平行性”； ③函数()1(0)1()
x e x f x x x m x ⎧-<⎪
=⎨+>⎪⎩
具有“自平行性”的充要条件为实数1m =；
④奇函数()(0)y f x x =≠不一定具有“自平行性”；⑤偶函数()y f x =具有“自平行性”. 其中所有叙述正确的命题的序号是 A ． ①③④
B ．①④⑤
C ． ②③④
D ． ①②⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.曲线3
2x x y -=在点)1,1(--处的切线方程为___________.
14.设函数1sin cos )(3++=x x x x f .若11)(=a f ，则=-)(a f ．
15.若正方形ABCD 的边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)(PD PB AP +⋅的取值范围是____________.
16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，
1
()()1,(2,6]2
x f x =--若在区间内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实
数根，则a 的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）
设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0（其中a≠0），q ：实数x 满足
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
1
cos sin 32sin cos )(22++-=x x x x x f )(x f )
(x f ()2f α=,42ππα⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
18.（本题满分12分） 已知函数
.
（1）求 的最小正周期及的最小值；
（2）若,且 ,求α 的值.
19.（本题满分12分）
已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且//c a ，求c 的坐标； （2）若|b |=,2
5
且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.
20.（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2).a c BA BC cCB CA -⋅=⋅ （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若||6BA BC -=，求ABC ∆面积的最大值．
21.（本题满分12
分） 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且f(x·y)=f(x)+f(y), (1)求f(1)的值;
(2)证明f(x)在定义域上是增函数;
(3)如果f(3)=1,求满足不等式f(x)-f(1
2
x -)≥2的x 的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知2
()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；
（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x
x ex e
>
-成立.
上饶中学2015－2016学年高三上学期第一次月考
数学参考答案（文科零、培优、文补班）
一．选择题
A.B.D.A.C.D A.B.D.C.A.A 二．填空题
13.20x y ++= 14.9- 15.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
412-， 16.3(4,2)
三．解答题
17.(1) (2,3) (2) (1,2]
19.解：（1）设()c =x,y ，由//c a 和25c =可得： ⎩⎨
⎧200212
2=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩⎨⎧4
2
-=-=y x ∴(2,4)c =，或(2,4)c =-- （2）
(2)(2),a b a b +⊥-(2)(2)0a b a b ∴+-= 即222320,a a b b +⋅-=
222||32||0a a b b ∴+⋅-=
∴ 5253204
a b ⨯+⋅-⨯=， 所以5
2a b ⋅=-
∴ cos 1,||||
a b
a b θ⋅=
=-⋅ ∵ ],0[πθ∈
∴ πθ=.
20.解析：（Ⅰ）条件可化为： (2)cos cos a c B b C -=．
根据正弦定理有 (
2s i n s i n )c o s s i n c o s A C B B C -=．
∴2sin cos sin()A B C B =+，即2sin cos sin A B A =．
因为sin 0A >，所以 2c o s
2B =，即 4
B π
=． …………………6分 （Ⅱ）因为||6BA BC -=．所以||6CA =，即26b =，
根据余弦定理 2222c o s b a c a c B
=+-，可得2262a c ac =+-．
有基本不等式可知226222(22)a c ac ac ac ac =+-≥-=-．即3(22)ac ≤+，
故△ABC 的面积123(21)
sin 242
S ac B ac +=
=≤
．
即当a =c=236+时，△ABC 的面积的最大值为
2
)
12(3+．………………… 21.
22．解：（1）由已知知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，
当1
(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e
'∈+∞>单调递增. ①当1
02t t e
<<+<时，没有最小值； ②当1
02t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e
==-；
③当
21
+<≤t t e
即e t 1≥时，)(x f 在]2,[+t t 上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<-=.
1
,ln ,10,1
)(min
e t t t e t e x f
（2）2
2ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++
， 设3
()2ln (0)h x x x x x
=++
>，则2
(3)(1)()x x h x x +-'=， ① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减，② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，
∴min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，∴min ()4a h x ≤=.
（3）原不等式等价于2
ln ((0,))x
x x x x e e
>
-∈+∞， 由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1
x e
=时取到， 设2
()((0,))x
x m x x e e
=
-∈+∞，则1()x x m x e -'=， 易知max 1
()(1)m x m e
==-，当且仅当1x =时取到， 从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x
x e ex
>-成立.。