11.2细长压杆的临界压力

细长压杆的临界压力
弯矩
M Fy
=-代入挠曲线近似微分方程
''M Fy y EI EI
==-
令 2
F k EI
=
得
2
''0
y k y +=通解为 sin cos y A kx B kx
=+y
l
x
O
x
F
一、两端铰支细长压杆的临界压力 y
y
l
x
O
x
F
F
M
y
l
x
O
x
F
边界条件
(1)0,0x y ==若 0
A =则 0y ≡所以 sin 0
kl =0sin B y A kx ==，(2),
x l y ==sin 0
A kl =（与假设矛盾）
故
,0,1,2,
kl n n π=
=22
2
2
F n k EI l
π==222
n EI
F l π=
即
临界压力
（欧拉公式）
2cr 2
EI
F l
π=
挠曲线方程为
sin
x
y A l
π=取
1
n =y
y
l
x
O
x
F
适用条件：
•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
例1：一两端铰支的细长圆杆，直径d =50mm ，长度l =1.5m 。

材料为Q235，弹性模量E
=200GPa ，屈服应力σs =235MPa 。

试求杆件的临界压力。

解：细长压杆的临界压力由欧拉公式计算
224
294
3cr 2
2
2
200100.0526910N 269kN
64
1.564
EI
E d
F l l πππππ⨯⨯⨯=
=
⨯=
⨯
=⨯=如果仅考虑强度
2
63max s 0.0523********N 461kN 4
F A πσ⨯==⨯⨯
=⨯=（显然不安全）
二、其它支承条件下细长压杆的临界力
1、理论推导——欧拉公式
建立微分方程，利用边界条件求解
2、类比方法——相当长度
通过对比压杆的微弯变形曲线，找到长度相当于两端铰支的对应部分（即两端弯矩为零），该长度对应的临界压力即为压杆的临界压力。

()
2cr 2
2EI
F l π=
F
l
l
F
()
2cr 2
0.7EI
F l π=
()
2cr 2
0.5EI
F l π=
F
l 2、其它支承条件下细长压杆的临界力
2l
0.7l
0.5l
B
C
D
()
2
cr 2
EI F l πμ=欧拉公式的普遍形式
μ 称为长度因数，μl 称为相当长度。

两端铰支压杆 μ =1
一端固定另一端自由压杆 μ =2 一端固定另一端铰支压杆 μ =0.7 两端固定压杆 μ =0.5。