斜面上的平抛运动分类例析

斜面上的平抛运动分类例析
一、物体从空中某点水平抛出落在斜面上
例1．将一个小球以速度v 0水平抛出,要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与水平方向的夹角为θ，那么，下列说法中正确的是( )
A ．若保持水平速度v 0不变，斜面与水平方向的夹角θ越大，小球的飞行时间越
B ．若保持水平速度v 0不变，斜面与水平方向的夹角θ越大，小球的飞行时间越短
C ．若保持斜面倾角θ不变，水平速度v 0越大，小球的飞行时间越长
D ．若保持斜面倾角θ不变，水平速度v 0越大，小球的飞行时间越短 解析 将小球垂直打到斜面上的速度v 沿水平和竖直分解，如图1所示，由几何知识知，v 和竖直方向的夹角也为θ，由平抛运动的规律得
gt
v v v y x 0
tan ==
θ
解得：θ
tan 0
g v t =
由上式不难看出，若保持v 0不变，θ越大，小球的飞行时间越短；若保持θ不变，v 0越大，小球的飞行时间越长．所以，本题答案应选BC ．
点评：“小球的末速度v 垂直于斜面”是本题的关键条件，由于本题没有涉及到高度或距离，因此，应想到利用速度和时间的关系式而不用位移和时间的关系式，进而想到应分解速度不分解位移，画好分解图就可看到，θ角架起了速度分解图和斜面相
联系的桥梁．
例2．斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，如图2所示，ab ＝bc ＝cd ，从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的(
)
A ．b 与c 之间某一点
B ．c 点
C ．c 与d 之间某一点
D ．d 点
解析 本题可采用假设法：假设斜面是一层很薄的纸，小球落上就可穿透且
不损失能量，过b 点作水平线交Oa 于a'，由于小球从O 点以速度v 水平抛出时，落在斜面上b 点，则小球从O 点以速度2v 水平抛出，穿透斜面后应落在
水平线a' b 延长线上的c'点，如图3所示，因ab ＝bc ，则a ' b ＝bc '，即c'点在c 点的正下方．显然．其轨迹交于斜面上b 与c 之间．所以，本题答案应选A ．
点评 本题部分同学认为平抛的初速度由v 增加到2v ，则水平位移也将变成原来的2倍，则它恰落在斜面上的c 点．该错误是由于没有准确把握平抛运动的规律所造成的，只有落在同一水平线上时，水平位移才与速度成正比．本题若沿斜面比较位移又较烦琐，而变换思考角度，灵活应用假设法和画图法省去了烦琐的计算，使解题过程简洁明快，达到事半功倍的效果． 二、物体从斜面上某点水平抛出又落回斜面上
例3 如图4所示，从倾角为θ的斜面上A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点时所用的时间为( )
A ．g v θsin 20
B ．g tg v θ02
C ．g v 2sin 0θ
D ．g
tg v 20θ
图1
图3 O 图4
图2
解析 设小球从抛出至落到斜面上所用时间为t ，其水平位移和竖直位移分别为x ，y ，如图4所示，由平抛运动的规律得
t v x 0= ① 221gt y =
② 由几何关系知 x
y
=θtan ③ 由①②③式得 g
tg v t θ02=
所以，本题答案应选B ．
点评：本题由于小球运动的起点和终点都在斜面上，即水平位移和竖直位移的关系与斜面的倾角有关．因此，应利用位移和时间的关系式而不用速度和时间的关系式，再利用θ角的桥梁作用，将位移分解图和斜面联系起来，从而使问题得以解决．
例4. 从倾角为θ的足够长的斜面上A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出，第一次初速度为v 1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度v 2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，若v 2＞v 1，则α1、α2的大小关系为( )
A ．α1＞α2
B ．α1＜α2
C ．α1＝α2
D ．无法确定 解析 设将小球以初速度v 0水平抛出时，经时间t 落在斜面上的速度为v ，其方向与斜面间的夹角为α，将这一速度v 沿水平和竖直分解，如图5所示，由几何知识知，v 和水平方向的夹角为
θα+，则
)tan(v gt
v v x
y ==
+θα ① 设物体落在斜面上时，其水平位移和竖直位移分别为x ，y ，则有 水平方向：t v x 0= ②
竖直方向：2
2
1gt y =
③ 由几何关系知x y
=θtan ④
由②③④式得：0
2tan v gt
=θ⑤
比较①⑤两式得：θθαtan 2)tan(=+
显然，α只由斜面倾角θ决定，而与抛出的初速度无关，即，以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的．所以，本题答案应选C ．
点评：本题既用到了速度和时间的关系式又用到了位移和时间的关系式，因而既需要分解速度又需要分解位移，全面考察了平抛运动的规律．本题的解题过程告诉我们，当涉及到两种情况的比较时，我们可以只研究其中一种情况，从中得出要比较的物理量是由哪些因素决定的，而这些因素往往分布在两种情况之中，找出相同因素（如本题中斜面倾角θ）的和不同因素（初速度v 2＞v 1），从而使问题得以解决，这是解决物“比较”问题的一般方法．
图5
A
A
B
C
图2 跟踪练习
1、如图1所示，以v 0=10m/s 的初速度水平抛出的物体，不计空气阻力，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=300的斜面上。

求物体完成这段飞行所用的时间？
2：如图2所示，在斜面ABC ，B 点的正上方H=1.7m 高处的D 点以水平初速度v 0平抛一个小球，正好垂直地撞在倾角为θ=370的斜面上。

求小球从D 点水平抛出时的速度大小？
3、如图3所示，相对的左、右两个斜面的倾角分别为530和370，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球均落在斜面上，若不计空气阻力，则两小球在空中飞行时间之比为多少？
图1 图3
4：如图4所示，在斜面上的O 点先后以v 0和2v 0水平抛出A 、B 两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为： （ ） （A ）1：2 （B ）1：3 （C ）1：4 （D ）1：5
5、如图5所示，斜面的倾角θ=300，一小球从斜面顶点以v 0=10m/s 的初速度做平抛运动，若不计空气阻力且斜面足够长。

求从抛出开始经过多少时间，小球离斜面的距离最大，最大值为多少？
6：如图6所示，以v 0的初速度水平抛出的物体，不计空气阻力，飞行一段时间后，撞在倾角为θ的斜面上。

试证明物体撞在斜面上时的速度v 与斜面之间的夹角为一常数。

图4
图5 图6
A
C
图2 跟踪练习答案
1、如图1所示，以v 0=10m/s 的初速度水平抛出的物体，不计空气阻力，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=300的斜面上。

求物体完成这段飞行所用的时间？
分析与解：由末速度方向可知，此时水平速度 与竖直速度的关系，即
tan θ= v 0/ v y ，v y = v 0/ tan θ
t= v y /g= v 0/g tan θ=10/（10×tan300）=1.732s
2：如图2所示，在斜面ABC ，B 点的正上方H=1.7m 高处的D 点以水平初速度v 0平抛一个小球，正好垂直地撞在倾角为θ=370的斜面上。

求小球从D 点水平抛出时的速度大小？
分析与解：设小球从抛出到垂直击中斜面时间为t ， 由末速度方向可知，此时水平速度与竖直速度的关系，即
tan θ= v 0/ v y = v 0/gt=3/4 （1）
由平抛运动的竖直位移和水平位移可知，
tan θ=（H-1/2gt 2）/ v 0t=3/4 （2）
联解（1）（2）两式，可得v 0=√9gH/17=3m/s
3、如图3所示，相对的左、右两个斜面的倾角分别为 530和370，在斜面顶点把两个小球以同样大小 的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球均 落在斜面上，若不计空气阻力，则两小球在空 中飞行时间之比为多少？
分析与解：因小球落在斜面上，可知此时竖直位移 和水平位移的关系，设斜面倾角为θ，则
tan θ=y /x =gt 2/2v 0t=gt/2v 0 故t A /t B =tan530/tan370=16/9
4：如图4所示，在斜面上的O 点先后以 v 0和2v 0水平抛出A 、B 两小球，则从抛出至 第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能 为： （ ） （A ）1：2 （B ）1：3 （C ）1：4
（D ）1：5
图1
图3
图4
分析与解：两小球可能全落在斜面上，也可能全落在水平面上，还有可能一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上。

若两小球全落在斜面上，则有tan θ=y /x =gt 2/2v 0t=gt/2v 0 t=2 v 0tan θ/g
x= v 0t=2 v 02tan θ/g x 1：x 2=1：4
若两小球全落在水平面上，则有x= v 0t= v 0√2h/g x 1：x 2=1：2
若一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上，则1/2> x 1：x 2>1/4 故本题应选（A ）、（B ）、（C ）。

5、如图5所示，斜面的倾角θ=300，一小球从斜面顶点以v 0=10m/s 的初速度做平抛运动，若不计空气阻力且斜面足够长。

求从抛出开始经过多少时间，小球离斜面的距离 最大，最大值为多少？
分析与解：当小球的速度与斜面平行时小球离斜面最远， 可知，此时水平速度与竖直速度的关系，即
tan θ= v y / v 0 ，v y = v 0 tan θ
t= v y /g= v 0 tan θ/g =10×tan300/10=0.577s
本题也可取沿斜面向下方向为x 轴，垂直于斜面斜向上的方向为y 轴，则沿y 方向的初速度为v 0， = v 0 sin θ ，加速度为a ，=-gcos θ，做类竖直上抛运动，到离斜面最远所需的时间为t= v 0，/- a ，= v 0 sin θ/ gcos θ= v 0 tan θ/g =10×tan300/10=0.577s
离斜面的最大距离为H= v 0，2/-2 a ，=（ v 0 sin θ）2/ 2gcos θ =（10×sin300）2/（2×10cos300）=1.44m
6：如图6所示，以v 0的初速度水平抛 出的物体，不计空气阻力，飞行一段时间后， 撞在倾角为θ的斜面上。

试证明物体撞在斜面上时的速度v 与斜面之间的夹角为一常数。

分析与解：设撞在斜面上时，速度与竖直方向之间的夹角为α，则有tan α= v 0/ v y = v 0/ gt = v 0t /
gt 2=x /2y =1/2ctg θ
可见，速度与竖直方向之间的夹角为常数，而斜面与竖直方向的夹角也是一个定值，故得证物体撞在斜面上时的速度v 与斜面之间的夹角为一常数。

图5 图6。