2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析

4．2导数的运算
[读教材·填要点] 1．求导公式
(1)几个幂函数的导数：
1 (2)基本初等函数的导数公式：
2．求导法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)；
(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2
(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.
[小问题·大思维]
1．下面的计算过程正确吗？
⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22
. 提示：不正确．因为sin π4＝2
2是一个常数，
而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π
4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2
2.
2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2
(a 为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？
提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1
.
求下列函数的导数：
(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 1
2x ；
(4)y ＝4
x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.
(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln
12＝－1
x ln 2
.
(4)y ′＝(4
x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝
3 4
4
x
.
(5)∵y ＝⎝
⎛⎭⎫sin x 2＋cos x
22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x
2－1＝sin x ，
∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行
调整，再选择合适的求导公式．
1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x
； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；
(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3
x ； (5)y ＝2cos 2x
2
－1.
解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x
＝－10－
x ln 10.
(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3
x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝
1
x ln 10
. (5)∵y ＝2cos 2x
2－1＝cos x ，
∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
求下列函数的导数．
(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ；
(5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．
[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫
x sin x cos x ′ ＝
(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′
cos 2x
＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .
(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，
∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.
(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3
(x 2＋3)2.
(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x
cos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .
(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝
10u ln 2＝10
(2x ＋1)ln 2
.
(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．
(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．
2．求下列函数的导数：
(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；
(3)y＝e x＋1
e x－1
；(4)y＝
(x－1)2
x；
(5)y＝
1
(1＋3x)4
；(6)y＝x·e－x.
解：(1)y′＝(2x cos x－3x log2x)′
＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′log2x＋x(log2x)′]
＝2x ln 2cos x－2x sin x－3(log2x＋x·1
x ln 2)
＝2x ln 2cos x－2x sin x－3log2x－
3 ln 2.
(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′
(e x－1)2
＝
－2e x
(e x－1)2
.
(4)法一：y′＝[(x－1)2]′x－(x－1)2·x′
x2
＝(x2－2x＋1)′x－(x－1)2
x2＝
(2x－2)x－(x－1)2
x2
＝1－1
x2.
法二：∵y＝x2－2x＋1
x＝x－2＋
1
x，
∴y′＝1－1
x2.
(5)函数y＝1
(1＋3x)4
＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x′＝y t′·t x′＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)·3＝－12(1＋3x)－5.
(6)函数y＝e－x可以看作函数y＝e u和u＝－x的复合函数，
所以y x′＝y u′·u x′＝(e u)′·(－x)′＝－e u＝－e－x，
所以y′＝(x e－x)′＝x′e－x＋x(e－x)′
＝e－x＋x(－e－x)＝(1－x)e－x.
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7， ∴h ′(2)＝－4.9.
即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟
花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；
在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．
解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．
3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．
解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ， 则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ， 化简得h ＝1－
0.01
π
t ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫
1－0.01πt ′ ＝－
0.01
π
(m/s)．
求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切， 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．
依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋m ＝0，y ＝x 2
，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，
∴l 的方程为x －y －1
4
＝0.
两平行线间的距离为d ＝
⎪
⎪⎪⎪
－2＋142
＝
728
.
∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为
72
8
. 法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．
∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝1
2.
∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫
12，14.
切点到直线x －y －2＝0的距离为
d ＝
⎪⎪⎪⎪
12－14－22
＝
72
8
.
1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1
D ．0
解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A
2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1
D ．－2
解析：∵f ′(x )＝1＋1
x ，∴f ′(1)＝2.
答案：B
3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝
1
x ln 2
C ．(3x )′＝3x log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2sin x
解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1
x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B
4．若函数f (x )＝ln x
x ，则f ′(2)＝________.
解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2
，得f ′(2)＝1－ln 2
4. 答案：
1－ln 24
5．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1
x 在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y ′＝2x －1
x
2，
所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0
6．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．
解：f ′(x )＝1
2x ，g ′(x )＝a x (x >0)，
设两曲线的交点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝a ln x 0，12x 0＝a
x 0， 解得a ＝e
2
，x 0＝e 2，
所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝1
2e
，
所以切线的方程为y －e ＝1
2e (x －e 2)，
即x －2e y ＋e 2＝0.
一、选择题
1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33
D ．－ln 3
解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝
ln 3
3
.
答案：C
2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－1
2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )
A ．14 m/s 2
B ．4 m/s 2
C ．10 m/s 2
D ．－4 m/s 2
解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ， 故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A
3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π
3 C.π
4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.
答案：C 4．曲线y ＝
sin x sin x ＋cos x －1
2
在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.1
2
C ．－
22 D.22
解析：y ′＝
cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2
＝1
1＋sin 2x
， 把x ＝π4代入得导数值为1
2.
答案：B 二、填空题
5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.
解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－1
4.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .
由g ′(2)＝1
f ′(2)，得m ＝－4.
答案：－4
6．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，
所以f ′(x )＝1＋1
x ，所以f ′(1)＝2. 答案：2
7．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫
π4sin x ＋cos x ，
∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1
8．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， 又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题
9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8
；(2)y ＝2x sin x
；
(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x
sin x ′＝(2x
)′·sin x －2x
·(sin x )′(sin x )2
＝2x ln 2·sin x －2x ·cos x
sin 2
x . (3)y ′＝
1＋x 2＋x [(1＋x 2
) 12
]′
＝1＋x 2
＋x ·12·(1＋x 2
) -1
2 (1＋x 2)′
＝1＋x 2
＋x ·12
·(1＋x 2
) -1
2·2x
＝1＋x 2
＋x 2
1＋x 2＝1＋2x 2
1＋x 2
.
(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′
＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .
10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；
(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．
解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．
(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或1.
(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，
∴a ≠－12
. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞.。