八年级数学下册矩形菱形与正方形矩形矩形的判定练习新版华东师大版

课时作业(三十一)
[19.1 2. 第1课时矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )
图K－31－1
A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BD
C．AB＝BC D．AC⊥BD
2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个
C．4个D．5个
3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )
A．AD⊥CD B．AD＝CD
C．AC⊥BD D．AC＝BD
K－31－2
K－31－3
4．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形
AECF是矩形．
A．①②B．①④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．
图K－31－4
图K－31－5
6．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结
图K－31－6
7．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.
三、解答题
8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图K－31－7
9.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.
求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结
图K－31－8
10．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
图K－31－9
11．2020·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO
并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结
图K－31－10
12．·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
图K－31－11
动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？
图K－31－12
详解详析
【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B
3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 2
7．[答案] 6
8．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12
OC.
∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，
∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝1
2OC ，
∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.
同理FH ＝1
2
BD.
又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．
9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°， ∴∠CEF ＝90°.
∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ， ∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．
10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°. ∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.
而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，
∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.
∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，
∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．
11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.
∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.
又∵BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.
∵G为AD的中点，∴AG＝DG.
又∵∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD.
又∵AB＝CD，∴AB＝AF.
(2)四边形ACDF为矩形．
证明：∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.
又∵AG＝AB，AB＝AF，
∴AG＝AF，
∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ACDF为平行四边形，
∴AD＝2AG，CF＝2FG，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF为矩形．
[素养提升]
[解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只
需AP＝DQ.
解：根据题意，当AP＝DQ时，
由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．
∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.
又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，
∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。