【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.7(含答案)

第八章 8.7 第7课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．已知AB
→＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( )
A ．x ＝6，y ＝15
B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2 答案 D
解析 ∵AB
→∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152
.
2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )
A ．(33，33，－33)
B ．(33，－33，33)
C ．(－33，33，33)
D ．(－33，－33，－3
3) 答案 D
解析 AB
→＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)
设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z ) ∴⎩
⎨⎧
－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)
单位法向量为：±n
|n |＝±(33，33，
33)．
3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )
A ．16
B ．4
C ．2
D ．8 答案 A
解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →
＋
yPB
→(x 、y ∈R )，则 (2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，
∴⎩⎨⎧
2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，
解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )
A ．是AC 和MN 的公垂线
B ．垂直于A
C ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于AC
D ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A
解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得． 5．(2011·中山模拟)△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )
A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 答案 A
解析 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，∴由AC →·BD
→＝0，
得λ＝－45，∴BD
→＝(－4，95，125
)，∴|BD →|＝5. 6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1
3AC ，则( )
A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直
B ．EF 是A 1D ，A
C 的公垂线 C ．EF 与B
D 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B
解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．
则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1
3，0)，B (1,1,0)，
D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13
)，BD 1
→＝(－1，－
1，1)，EF →＝－13
BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，
从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .
7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，
且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )
A.337，－157，4
B.407，－157，4
C.407，－2,4 D ．4，40
7，－15 答案 B
解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，
∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC
→＝(3,1,4)，
则⎩⎨
⎧
x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝407，y ＝－15
7.
二、填空题
8．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．
答案 垂直
解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.
9．若|a |=17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________.
答案 (－185，2，15)或(185，－2，－1
5) 解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ，
代入③得425z 2＝17，z ＝±
1
5.
∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－1
5)．
10．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－2
3)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．
①充要条件
②充分不必要条件 ③必要不充分条件
④既非充分条件也非必要条件 答案 ②
解析 当c ＝(23，－13，－2
3)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立． 三、解答题
11．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面P AC?
解析
以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系
设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→
＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面P AC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1
→·AC →＝0. ∴－a 2
＋az ＝0.
∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．
∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面P AC . 12.
在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，CP ＝a ，
则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (1
2，1,0)、C 1(0,1,1)，
∴A 1B 1
→＝(0,1,0)，A 1
P →
＝ (－1,1，a －1)，
DE →＝(12
，1,0)，DC 1
→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·A 1B 1→＝0， n 1·
A 1P →＝0即⎩⎨⎧
y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.
令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．
设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·
DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.
令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，
∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝1
2.
∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
13．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面P AD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．
(1)求证：BE ⊥平面PCD ；
(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?
解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB ＝AD ＝2，
则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，
D (－1,0,0)，P (0,0，3)，
E (－12，2，3
2)， ∴BE
→＝(－32，0，32
)，PC →＝(－1,4，－3)， CD
→＝(0，－4,0)，
∴BE →·PC →
＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0， BE →·CD
→＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.
即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .
又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .
(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0
，
令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.
∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)．
取PB 中点F ，则有F (12，1， 3
2)．
又A (1,0,0)，∴AF
→＝(－12，1，32
)，
∵AF →·
n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)
＝－12－1＋3
2＝0， ∴AF →
⊥n .
又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .
故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE . 14.
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .
解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝1
2AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .
(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，
A (2，2，0)，
B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，2
2，1)．所以CF →＝
(22， 2
2，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .
拓展练习·自主餐
1．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且
C 1E ＝3EC .证明：A 1C ⊥平面BE
D .
解析 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D —xyz .
依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE
→＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)， A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．
因为A 1
C →·DB →＝0，A 1
C →·DE
→＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .
又DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .
2．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，
M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝1
2AD .
证明：平面AMD ⊥平面CDE .
解析 方法一 因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .取AD 中点为P ，连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依
题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，1
2)．
由AM →＝(12，1，12
)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD
→＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
3．如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC .
(1)求证：BC⊥平面CDE；
(2)求证：FG∥平面BCD；
(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．解析(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，
∵AE∩EC＝E，AE、EC⊂平面ABCE，
∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.
又BC⊥CE，CE∩DE＝E，
∴BC⊥平面CDE.
(2)证明：取AB中点H，连接GH、FH，如右图，
∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，
∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.
(3)分析可知，R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面DCB.
证明：取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ，如下图．
容易计算CD＝2，BR＝
5
2，CR＝
13
2，DR＝
21
2，CQ＝2，在△BDR中，
∵BR＝
5
2，DR＝
21
2，BD＝22，可知RQ＝
5
2，∴在△CRQ中，CQ
2＋RQ2＝
CR2，∴CQ⊥RQ.
又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点，
∴CQ⊥BD，∴CQ⊥平面BDR，∴平面BDC⊥平面BDR.
(说明：若设AR＝x，通过分析，利用平面BDC⊥平面BDR推算出x＝1
2亦可，
不必再作证明．)
4．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点．
(1)求证：C1M⊥平面A1ABB1；
(2)求证：A1B⊥AM；
(3)求证：平面AMC1∥平面NB1C；
(4)求A1B与B1C所成的角．
思路分析(1)考虑使用线面垂直的判定定理；
(2)利用三垂线定理或逆定理；
(3)利用两平面平行的判定定理；
(4)由于题目中未给出相关的线段长，因此该角一定是特殊角，从90°，60°，45°，30°入手考虑．
解析(1)方法一：由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，
又∵C1M⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥MC1.
又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1中点，
∴C1M⊥A1B1.
又A1B1∩A1A＝A1，∴C1M⊥平面A1B1.
方法二：由直棱柱性质得：面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，
又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1于M.
由面面垂直的性质定理可得C1M⊥面AA1B1B.
(2)由(1)知C1M⊥平面A1ABB1，
∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.
∵AC1⊥A1B，∴A1B⊥AM.
(3)方法一：由棱柱性质知AA1B1B是矩形，
M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN綊B1M.
∴AMB1N是平行四边形．∴AM∥B1N.
连结MN，在矩形AA1B1B中有MB1綊BN，
∴BB1MN是平行四边形．∴BB1綊MN.
又由BB1綊CC1，知MN綊CC1.
∴MNCC1是平行四边形．∴C1M綊CN.
又C1M∩AM＝M，CN∩NB1＝N，
∴平面AMC1∥平面NB1C.
方法二：由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，
A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.
又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M＝C1，
∴A1B⊥平面AMC1.
同理，可以证明A1B⊥平面B1NC.
∴平面AMC1∥平面B1NC.
(4)方法一：由(2)知A1B⊥AM，
又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1＝A，
∴A1B⊥平面AMC1
又∵平面AMC1∥平面NB1C.
∴A1B⊥平面NB1C.
又B1C⊂平面NB1C，∴A1B⊥B1C.
∴A1B与B1C所成的角为90°.
方法二：由棱柱性质有面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，又CA＝CB＝C1A1，N为AB的中点，
∴CN⊥AB.∴CN⊥面AA1B1B.
∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.
又由(2)知A1B⊥AM，由(3)知B1N∥AM，
∴A1B⊥B1N.由三垂线定理知B1C⊥A1B.
∴A1B与B1C所成的角为90°.
教师备选题
1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
解析(1)解法一设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，
又H为BC的中点，∴GH綊1
2AB.又EF綊
1
2AB，∴EF綊GH，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.
(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.
2．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解析 解法一：(1)如图，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF .因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°，即EF ⊥BE .
因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .
取BE 的中点N ，连接CN 、MN ，则MN 綊1
2AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .
解法二：(1)因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以AE ⊥AB . 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，
平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB .∴AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD .
因此，AD 、AB 、AE 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系A －xyz .
不妨设AB ＝1，则AE ＝1，B (0,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，C (1,1,0)．
因为F A ＝FE ，∠AEF ＝45°，所以∠AFE ＝90°，从而F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，－12，12.
所以EF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－12，－12，BE →＝(0，－1,1)，BC →＝(1,0,0).EF →·BE
→＝0＋12－12＝0，EF →·BC →＝0.
所以EF ⊥BE ，EF ⊥BC .
因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE .
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.从而PM
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，于是PM →·EF →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12，12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－12，－12＝0. 所以PM ⊥FE ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥ 平面BCE .。