高等数学A1第1章课后习题答案

P21 练习1-1
P30 练习1-2
P38 练习1-3
P42练习1-4
解 函数cos y x x =在(,)-∞+∞内无界.
因为001,2[](,),|()|2[]M x M y x M M ππ∀>∃=∈-∞+∞=>。

当x →+∞时，cos y x x =不是无穷大。

因为
取
2,n x n π=当n →∞时，n x →+∞，lim ()n n y x →∞
=+∞；
取'22
n x n π
π=+
，当n →∞时，'n x →+∞，lim (')0n n y x →∞
=。

解 函数11
sin y x x
=在(0,1]内无界.
因为0010,(0,1],|()|2[]2
2[]2
M x y x M M M π
ππ
π∀>∃=
∈=+
>+。

当x →+∞时，
11
sin y x x
=不是无穷大。

因为 取1,22
n x n π
π=
+
当n →∞时，0n x +→，lim ()n n y x →∞
=+∞；
取1'2n x n π=，当n →∞时，'0n x +
→，lim (')0n n y x →∞=。

8.求函数2
4
()2f x x
=-的图形的渐近线。

解 因为24
lim 02x x →∞=-，所以0y =为曲线的水平渐近线； 因为2
24
lim 2x x
→±=∞-，所以2x =±为曲线的铅直渐近线；
P49 练习1-5
6 若lim (),lim ()f x A g x B ==，证明：lim[()()]f x g x AB = 证明：因为lim (),lim ()f x A g x B ==，所以 (),lim 0,f x A αα=+=(),lim 0g x B ββ=+=，则
()()()()()f x g x A B AB A B αββααβ=++=+++，且lim()0A B βααβ++=。

由函数极限与无穷小的关系，得
f x
g x AB。

lim[()()]
P56 练习1-6
P59 练习1-7
P65 练习1-8
P69 练习1-9
P74 练习1-10
1. 假设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x 有
0()1f x ≤≤。

试证明[0,1]中必存在一点c ，使得()f c c =（c 称为函数()f x 的
不动点）。

证明 设()()F x f x x =-，则在[0,1]上连续，且
(0)(0)0,(1)(1)10F f F f =≥=-≤。

若(0)0F =，则0c =满足()f c c =；若(1)0F =，则1c =满足()f c c =； 若(0)(1)0F F <，则由零点定理存在(0,1)c ∈，使得()0F c =，即()f c c =。

综上，存在[0,1]c ∈，使得()f c c =。

P74 总习题一
2.已知函数
2
(cos),0
()
,0
x
x x
f x
a x
-
⎧≠
⎪
=⎨
=
⎪⎩在0
x=处连续，则
_____
a=。

解2
00
(0),lim()lim(cos)1
x
x x
f a f x x-
→→
===。

所以当1
a=时，函数()
f x在0
x=处连续。

（2）设
1
1
e1
()
e1
x
x
f x
-
=
+
，则0
x=是()
f x的（）
（A）可去间断点；（B）跳跃间断点；（C）第二类间断点；（D）连续点。

解因为
11
11
000
e11e
lim()lim lim1
e11e
x x
x x x
x x
f x
+++
-
→→→-
--
===
++
；
1
1
00
e1
lim()lim1
e1
x
x x
x
f x
--
→→
-
==-
+
，
所以0
f x的跳跃间断点。

x 是()
解间断点0,1
x x
==。

因为
1
1
1
00
lim e e,lim ln(1)0
x
x x
x
+-
-
-
→→
=+=，所以0
x=为跳跃间断点。

因为
11
11
11
lim e,lim e0
x x
x x
+-
--
→→
=+∞=，所以1
x=为无穷间断点。

证明令()sin1
f x x x
=++，显然()
f x在[,]
22
ππ
-上连续，且
()
0,
()2022
22
f f ππ
ππ
-=-<=+>，
由零点定理知，至少存在一点(,)22
ππ
ξ∈-，使得()0f ξ=，即
sin 10ξξ++=。

所以方程sin 10x x ++=在开区间(,)22
ππ
-内至少有一个根。

证明 在曲线上任取一点(,)M x y ，则该点到直线L 的距离为
2|()|
(,)1
kx f x b d M L k -+=
+。

由渐近线的定义 2
|()|
lim (,)lim
01
x x kx f x b d M L k →∞
→∞
-+==+，即
()
lim[()]0lim
,lim[()]x x x f x kx f x b k b kx f x x
→∞→∞→∞-+=⇔==-。