广东省惠州市2018届高三第三次调研考试数学(理)试卷含答案

惠州市2018届高三第三次调研考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）集合}
{
220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A
B = （ )
A ．}
{
1x x ≥ B ．}
{
11x x -≤< C ．{}1x x <- D ． {}21x x -≤<
（2)已知i 为虚数单位,复数z 满足
6
1z i =
+，则复数z 的虚部为(
）
A ．3i
B ．3
C ．3i -
D ．3-
（3)抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（ ）
A ．3
0.9
B ．332
50.90.1C ⨯⨯
C ．3
1(10.9)-- D ．323
50.90.1C ⨯⨯
（4)等比数列{}n
a 中，1
2
2a a
+=，454a a +=，则1011a a +=( )
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64 (5）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且
1(2)()
f x f x +=-
，当32x -≤≤-时
()f x x =，则(2018)f =（
）
A ．-2
B ．2
C ．-3
D ．3
（6）若)n
a x x
展开式中所有二项式系数之和是512 ，常数项为84- ，
则实数a 的值是（ )
A ．1
B ．﹣1
C ．1±
D ．2
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ )
A ．16
B ．1
C ．43
D ．4
(8）如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（ ）
A ．15
B ．31
C ．63
D ．127
（9）已知1cos()33x π-=,则25cos(2)sin ()
33x x ππ-+-的值为（
）
A ．
1
9-
B ．19
C ．
53-
D ．
53
（10）已知,PA PB 是圆C ：22
4470x y x y +--+=的两条切线（,A B 是切点)， 其
中P 是直线:34120l x y -+=上的动点，那么四边形PACB 的面积的最小值为（ ) A 。

2
B. 22 C 。

3 D.2
3
（11)已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =,()f x 的导数1
'()2f x <
，
则不等式
22
1
()22x f x <+
的解集是（
)
A.(,1)(1,)-∞-⋃+∞ B 。

(,2)(2,)-∞-⋃+∞ C.
(1,)+∞
D.
(2,)+∞
(12)已知函数
()(0)1x
f x x x
=
>+,设
()
f x 在点
(,())(n f n n ∈N *)
处的切线在y 轴上的截距为n
b ，数列{}n
a 满
足：
11
2a =
,1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n n n b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅
当
5
n =时,2n n n
b a a λ+取最小值，则λ的取值范围是（ ）
A.(11,9)--
B.
( 5.5, 4.5)-- C. (4.5,5.5) D 。

(9,11)
二．填空题：本题共4小题,每小题5分. （13）已知向量a b ⊥,
2,
a b ==则
2a b -=
．
（14）设x ，y 满足约束条件4203x y x y y +≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
,则
2
y z x =
+的最大值
为 ．
（15）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77a =，1166S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前2017项和2017
S = ．
(16）设,A B 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点,若在椭圆上存在异于,A B
的点P ，使得0PO PB ⋅=，其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．
三．解答题:共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,2cos 20b C a c -+=． （1)求角B 的大小；
(2） 若=2b ，求ABC ∆外接圆的圆心到AC 边的距离．
（18）(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,底面是边长为4的菱形，
60BAD ∠=︒，
AC
BD O =,PO ABCD ⊥平面，
（1）证明：PA BD ⊥ （2）若
E
是
PA
的中点
, OE ，
求二面角A EC B --的余弦值.
(19）（本小题满分12分）智能手机一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批离不开手机的人。

为了调查每天使用手机的时间，某公司在一广场随机采访成年男性、女性各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控"，否则称其为“非手机控",调查结果如下：
(1)根据以上数据，能否有75％的把握认为“手机控"与性别有关？
(2)现从调查的女性中按分层抽样的方法选出 5人，并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人，给3人中的“手机控”每人赠送500元的话费。

记这3 人中“手机控”的人数为X ,试求X 的分布列与所赠送话费的数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++
C
A
(20）（本小题满分12分）已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,
且抛物线2
4y x =的准线恰好过椭圆C 的一个焦点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆面积的最大值。

（21）(本小题满分12分）已知0t >，设函数
32
3(1)()31
2t f x x
x tx +=-
++，
（1）存在()0
0,2x ∈，使得()0
f x 是()f x 在[]0,2上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2
x
f x xe m ≤-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取
值范围。

（二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果
多做,则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程］
已知曲线C 的参数方程为22x y α
α⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
（α为参数），以直角坐标系
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程; （2）设1:3
l π
θ=
，2:6
l π
θ=
，若1
2
,l l 与曲线C 相交于异于原点的两点,A B ，
求ABO ∆的面积。

(23）（本小题满分10分）［选修4-5：不等式选讲］ 设函数()221f x x x =--+。

（1）解不等式()0f x ≤；
（2)x R ∀∈，()224f x m m -≤恒成立,求实数m 的取值范围
惠州市2018届高三第三次调研考试
理科数学参考答案
一．
选择题（共12小题）
1、[1,2]A =-，(,1)A =-∞,[1,1)A B ⋂=-，故选B 2．
66(1)331(1)(1)i z i i i i -=
==-++-
故选D ．
3。

本题主要考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式．故选B 4． 3345124a a a q a q +=+=，解得32q =,99910111212()a a a q a q a a q +=+=+32216=⨯=.故选
B
5．
1
(4)()
(2)f x f x f x +=-
=+
，∴周期4T =；(2018)(45042)(2)f f f =⨯+=
(2)2f =-=-。

故选A
6。

由题意92
5122n
==，
9n =，1
91219
()
()
r
r
r
r T C x ax --+=-=932
9
()r r
r a C x
--，930r -=
3r =，33
9()84a C -=-， 1.a =故选A
7．直观图是三条侧棱两两垂直的三棱锥，且侧棱长都为
2,11422232
3V =⨯⨯⨯⨯=
.故选C
8． 11,1,123S n S ===+=；22,327n S ==+=；33,7215n S ==+=；44,15231n S ==+=；
55,3126333n S ==+=≥，输出的63S =.故选C ．
9．
1
cos()33x π-=
∴
5cos(2)3x π-
=cos[2()]3x π
π--
=
cos 2()
3x π
-- =
212cos ()
3x π--=7
9 22sin ()1cos ()
33x x ππ-=--=8
9
∴25cos(2)sin ()33x x ππ-
+-=785
993+=．故选
D
10
圆Ｃ：
22(1)(1)1x y -+-=,,PAC PBC ∆∆是直角三角形，1AC =，所以当PC 最
小时，,PA PB 有最小值，
min 3411
25PC -+=
=
，min PA ==PACB PAC PBC S S S ∆∆=+2PAC S ∆=3PA AC =≥C
11、设
1()()2F x f x x =-
,1
'()'()02F x f x =-<，即()F x 在Ｒ上单调递减
2211()22f x x <
+，2211
()(1)22f x x f ∴-<-，即2()(1)F x F <，21x >，解得1x >或1x <-。

故选A 12．
()(0)1x f x x x =>+，则
1()1n n n n
a a f a a +==+，
得1111+=+n n a a ，即1111=-+n n a a ,
∴数列
}1
{n
a 是首项为2、公差为1
的等差数列，∴11n n a =+，即11+=
n a n .
2
1
[()](1)f x x '=
+，∴函数()f x 在点(,())(n f n n ∈N ＊）处的切线方程为：
21()1(1)n y x n n n -=-++，令0=x ,得
2
2
2)1()1(1n n n n n n b n +=+-+=．
22
22(1)()24
n n n b n n n a a λλλλλ∴+=++=++-，仅当5=n 时取得最小值，
只需
5
.52
5.4<-
<λ
,解得911-<<-λ，故λ的取值范围为)9,11(--．
故选A
二、填空题（共4小题)
13.
14。

1 15.
20172018
16.
(
2
13、
2a b -=2
(2)a b -
＝
2
2
4416a b ab +-=+=14、作出可行域，z 表示可行域内的点(,)x y 与点(2,0)-之间的斜率，当过点(1,3)时，z 有最大值1。

15、11
61166S
a ==,66a =，又77a =，可得n a n =，
11111
(1)1n n a a n n n n +∴
==-
++
201711111111122334
20172018S =-+-+-+
+
-＝12017
120182018-=。

16、(,0),(,0)A a B a -，设(,)P x y ，则(,),(,)PO x y PB a x y =--=--，
0PO PB =,2()()0a x x y --+=,得22
0y ax x =->，0x a ∴<<
将22y ax x =-代入22
221x y a b +=，整理得222322()0b a x a x a b -+-=，
其在(0,)a 上有解。

设
222322
()()f x b a x a x a b =-+-，22(0)0f a b =-<，()0f a =
3220
02()a a b a ∆≥⎧⎪
⎨<-<⎪-⎩ (∆和对称轴）,
解得22
12c a >，又01e <<，1e <<
17. （1）2bcos 20C a c -+=，由余弦定理得：
222
220
2a b c b a c ab +-⨯-+=,
—---—-—-——-—----———-——--————-————--—-—-—--—2分
222a c b ac ⇒+-=，
---————--————--——-—-———-—————-———-———-—-—----———-3分
则
2221cos 222a c b ac B ac ac +-===
--—--—---——----——-———--—---—---5分
∵0B π<< ∴
3B π
=
.
—----—————-———-—-———-----——-———-------—-———7分
(2） 设ABC ∆外接圆的半径为R ,由正弦定理知
22sin sin 3b R B π=
==
—--———-—-——-——-—-———----—---—--———----——9分
3R =
，
—--—-———-——----—-——-——---——-—-----——-----——----——-10分
则ABC ∆外接圆的圆心到AC 边的距离
d ===
—-----———-———--—-—---—-——-——-—
——-----———-12分
18。

（1）因为底面是菱形，所以BD AC ⊥.
———-————-—--—----—--——--—-—--——- 1分 又PO ABCD ⊥平面,BD ABCD ⊂平面，所以BD PO ⊥. —--———-——---—-—--—-—2分
PO
AC O =，所以BD PAC ⊥面。

—-——————-—---—--—--—-—----—------ 3分 又PA PAC ⊂面，所以PA BD ⊥。

—--—----————--—---——————--—-----—--——-- 4分
（2）由(1)
在Rt POA ∆中
,OE
，∴PA =
，PO =， —-——-——----6
分
方法一：
过O 做OH EC ⊥于H ，连BH ,则BH EC ⊥， 所以OHB ∠是二面角A EC B --的平面角.
----—--————-—-—-——--—-————--— 7分
A B
在PAC ∆
中，PA PC AC ===,所以222PA PC AC +=,即AP PC ⊥。

所以CE
-——-—————---—---—-—--——--——---——————-----—9分
111222EOC S OC PO EC OH ∆⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭
，得
OH =，
—-——--—--—————-——-———— 10分
BH =
cos OH OHB BH ∠==
A EC
B --
-——-——----—12分
方法二：
如图,以,,OA OB OP 所在直线为,,x y z
(
)A ,()0,2,0B ，()C -,(0,0,P E
，
(
)2CB =，
(
33,0,CE =。

—-—---—-—-—-—-———-———- 8分
设面BEC 的法向量为(),,n x y z =,则0
0CB n CB n CE n CE n ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎨
⎨⊥⋅=⎪⎪⎩
⎩ , 即 ，即0
0y +=+=⎪
⎩,得方程的一组解为1,3x y z =-==，即
(
)1,3,3n =-。

———-———-—--9
分
又面AEC 的一个法向量为()0,1,0OB =， ——-—-—---—-10分
所以3cos ,1313
OB n OB n OB n
⋅
<>=
=
=,所以二面角A EC B --的余弦值为
13。

-———--——-——12分 19. 解:(1）由列联表可得22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++100 1.0199=≈-—-——-——3
分
0.708 1.01 1.321<<
∴没有75%的把握认为“手机控”与“性别”有关-—--—-—-——--————-———————--—---5分
（2）依题意知：所抽取的5位女性中“手机控”有3人， “非手机控”有2人
∴X 的可能值为1,2，3。

———————---———-—---—-————----—----——-—-—--—-——-——---7分
1232353(1)10C C P X C ===,2132353(2)5C C P X C ===，3
3351
(3)10C P X C ===
---———----—10
分
∴X 的分布列是：
———-—--———-—-—---————----—-——-11分 赠送话费的期望是331
500()500(123)90010510E X =⨯
+⨯+⨯=—————----—-12
分
20。

（1）设椭圆的焦半距为c ，抛物线24y x =的准线为1x =-，1c ∴=
1
2c e a =
=,222
2,3a b a c ∴==-=
所以椭圆C 的方程是
22
143x y +=．
—-—--——--—----—-—-—--———- 4分
（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形．
设其斜率为k ，那么直线l 的方程为
1
y kx =+． ——--——-——————------ 5分
联立l 与椭圆C 的方程，消去y ,得2
2(43)880
k
x kx ++-=．
226432(43)0k k ∆=++>．
设点1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y 得
122843k x x k +=-
+,12
28
43x x k =-+-—-— 7
分
所以
12MN x =-=
, —-——-———-— 8分
又O 到l
的距离
d =
所以OMN ∆
的面积12
S d MN ==
．---————----——--—9分
1)t t =≥设令，那么2221k t =-，224321k t +=+
21
212S t t t ∴=
=
++，-——-—————-——--—-10分
因为
()1)2f x x x x =
≥+
是减函数—---———----———-—11
分
所以当1x =
时，
min 213S =
=+
所以△OMN
．
-—--————-—---—————--——-——12分
21。

（1）2'()33(1)33(1)()f x x t x t x x t =-++=--，----—-——----—-1分
①当01t <<时，()f x 在(0,)t 上单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递
增，
∴()(2)f t f ≥，由()(2)f t f ≥，得3
234t t -+≥，3234t t -+≥在01t <<时无解，
—-—--——-—---2分
②当1t =时，不合题意；-——-—---—--—-——3分
③当12t <<时,()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 递减，在(,2)t 单调递增，
∴(1)(2)12f f t ≥⎧⎨<<⎩即13
3
2212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，----——-—----—--—4
分
④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件,--—-———5分
综上所述：5
[,)
3t ∈+∞时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[0,2]上的最大值。

-——-—————-—-——-----—-—--——---—-———--——-——————-—-—---——------——-—-—---—---6分 （2）32
3(1)3122x t x x tx xe m +-
++≤-+对任意[0,)x ∈+∞恒成立,
即
3223(1)3(1)
31(3)122x x t t m xe x x tx x e x x t ++≤-+
-+=-+-+对任意[0,)x ∈+∞恒成立，
-—--————-——————7分 令
23(1)
()32x t g x e x x t +=-+
-，[0,)x ∈+∞,
根据题意，可以知道m 的最大值为1， 则
23(1)
()302x t g x e x x t +=-+
-≥恒成立,-—-———--———---—8
分
由于(0)130g t =-≥，则1
03t <≤
，
当103t <≤
时，3(1)
'()22x t g x e x +=-+
，-—-------—-———-9
分
设
3(1)
()'()22x t m x g x e x +==-+
则'()2x
m x e =-，
'()20x m x e =-<，得0ln 2x <<,'()20x m x e =->,ln 2x >—————-----10分
则'()g x 在(0,ln 2)上递减，在(ln 2,)+∞上递增，则
min 3
'()(ln 2)2(1)2ln 20
2g x g t ==++->，-——---—-——-—---11
分
∴()g x 在[0,)+∞上是增函数。

∴()(0)130g x g t ≥=-≥，满足条件,∴t 的取值范围是
1
(0,]
3.--——-—--—-—-—-12
分
22。

(1）∵曲线C
的参数方程为2(2x y α
αα⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩为参数）
∴曲线的普通方程为
22
(2)(2)8x y -+-= 即22
440x y x y +--= ……2分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入并化简得：4cos 4sin ρθθ=+
即曲线C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+。

…………5分
（2）由34cos 4sin πθρθθ⎧
=
⎪⎨⎪
=+⎩
得到12OA ρ==+ …………7分
同理2
2OB ρ==+ (9)
分
又∵3
6
6AOB π
π
π
∠=
-
=
∴1
sin 42AOB S OA OB AOB ∆=
∠=+
即AOB ∆
的面积为4+ (10)
分
23. （1)()0221f x x x ≤⇔-≤+ …………………………1分
两边平方，化简得(3)(31)0x x +-≥…………………………3分
3x ≤-或
1
3x ≥
(4)
分
原不等式的解集为1
(,3][,)
3-∞-⋃+∞ (5)
分
（2）∵3,21()22113,2
213,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪--≥⎪
⎪
=--+=--<<⎨⎪
⎪
+≤-⎪⎩， (6)
分
∴
()max 15
()22f x f =-=
(7)
分
所以()224f x m m
-≤恒成立,等价于
()
f x 的最大值小于等于2
24m m + (8)
分 即
25
242m m +≥
，
解得152
2m m ≥≤-
或。

…………………………10分。