高中数学选修2-1课时作业3：3.2 立体几何中的向量方法(二)

3.2立体几何中的向量方法（二）
——空间向量与垂直关系
1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则( )．
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
[解析] ∴u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.
[答案] B
2．若a ＝(2，－1，0)，b ＝(3，－4，7)，且(λa ＋b )⊥a ，则λ的值是( )．
A ．0
B ．1
C ．－2
D ．2
[解析] λa ＋b ＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)
∵(λa ＋b )⊥a ∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
[答案] C
3．若平面α、β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )．
A ．10
B ．－10 C.12 D ．－12
[解析] 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.
[答案] B
4．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为(1，12
，2)，且l ⊥α，则m ＝________． [解析] 由l ⊥α得，21＝112
＝m 2
，即m ＝4. [答案] 4
5．设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 的轨迹是
________．
[解析] ∵AM →·n ＝0，∴AM →⊥n ，或AM →＝0，∴M 点在过A 且与n 垂直的平面上．
[答案] 过A 且以n 为法向量的平面
6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1⊥平面P AC .
证明 如下图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，O (1，1，0)．
于是OB 1→＝(1，1，2)，AC →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0，1)，
由于OB 1→·AC →＝－2＋2＋0＝0及OB 1→·AP →＝－2＋0＋2＝0.∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，
∴OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面P AC .
7．两平面α、β的法向量分别为u ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )．
A ．－3
B ．6
C ．－6
D ．－12
[解析] α⊥β⇒u ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.
[答案] B
8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )．
A ．AC
B ．BD
C ．A 1
D D ．A 1A
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A (0，1，0)，B (1，1，0)，
C (1，0，0)，
D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，
E (12，12
，1)， ∴CE →＝(－12，12
，1)，AC →＝(1，－1，0)，BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)， A 1A →＝(0，0，－1)∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12
＋0×1＝0，∴CE ⊥BD [答案] B
9．向量a ＝(－1，2，－4)，b ＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l 的一个方向向量m ＝(2，3，1)，则l 与α是否垂直？______(填“是”或“否”)．
[解析] m·a ＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，
m ·b ＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.∴l 与α不垂直．
[答案] 否
10．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，
0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．
[解析] 因为AB →＝(－1，－1，1)，AC →＝(2，0，1)，P A →＝(－x ，1，－z )，由P A →·AB →＝0，P A →·AC
→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，
则x ＝13，z ＝－23，所以P (13，0，－23)． [答案] (13，0，－23
) 11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．
证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.
证明 法一 如图，建立空间直角坐标系．
则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，
∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1，1，0)，
∴BC →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，
∵BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0，
∴BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，
又AD ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.
法二 同法一，得AA 1→＝(0，0，3)，AD →＝(1，1，0)，BC →＝(－2，2，0)，CC 1→＝(0，－1，3)，
平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩
⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0. 令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1，0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·
CC 1→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝(1，1，33)．
∴n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.
12．如图所示，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，现有数据：a ＝32
；a ＝1；a ＝2；a ＝3；a ＝4.若在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD ，则a 可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0，0，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)．设Q (a ，x ，0)(BQ ＝x ，0≤x ≤2)，
于是PQ →＝(a ，x ，－2)，QD →＝(－a ，2－x ，0)．由PQ ⊥QD 得
PQ →·QD →＝－a 2＋x (2－x )－2×0＝0，
即x 2－2x ＋a 2＝0，此方程有解，Δ≥0，∴0<a ≤1.
当a ＝32时，方程的解为x ＝32或x ＝12
，满足0≤x ≤2. 当a ＝1时，方程的解为x ＝1，满足0≤x ≤2.
因此满足条件的a 的取值为a ＝
32
或a ＝1.。