2005年高考全国试题分类解析(不等式)

不等式
选择题：
1．（福建卷）不等式
01
31
2>+-x x 的解集是
（ A ）
A ．}2
131|{>-<x x x 或 B ．}2
131|{<<-x x
C ．}2
1|{>x x
D ．}3
1
|{->x x
2．（福建卷）下列结论正确的是
（ B ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且
B ．21,0≥+>x x x 时当
C ．x x x 1
,2+
≥时当的最小值为2 D ．当x
x x 1
,20-
≤<时无最大值 3．（湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. （辽宁卷）6．若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是
（ C ）
A ．),2
1(+∞
B ．),1(+∞
C ．)1,2
1(
D ．)2
1,0(
5. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则
（ C ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2
321<<-
a D ．2
1
23<<-
a 6. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x
x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值
范围是（B ）
（A ）)0,(-∞
（B ）),0(+∞
（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a
7. （山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ A ）
（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+
8. （天津卷）9．设)(1
x f
-是函数)1( )(2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1
)(1
>-x f 成立的x 的取值范围为（A ）
A ．),21(2+∞-a a
B ． )21,(2a a --∞
C ． ),21
(2a a
a - D ． ),[+∞a 9. （天津卷）已知
b 2
1log ＜a 2
1log ＜ c 2
1log ，则
A ．2b ＞2a ＞2c
B ．2a ＞2b ＞2c
C ．2c ＞2b ＞2a
D ．2c ＞2a ＞2b
10. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2
|2|2
2x x 的解集为 (C )
(A) (0,3)；
(B) (3,2)；
(C) (3,4)；
(D) (2,4)。

11.(江西卷）已知实数a 、b 满足等式,)3
1()2
1(b a =下列五个关系式： ①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b
其中不可能成立的关系式有 （ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
填空题：
7. (全国卷Ⅰ) （13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 155 。

)3010.02(lg ≈
解答题：
1（湖北卷）22．（本小题满分14分）
已知不等式
n n n 其中],[log 2
1
131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足
Λ,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na a b b a n n n
（Ⅰ）证明Λ,5,4,3,]
[log 222=+<
n n b b
a n
（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.5
1
<n a 解：（Ⅰ）证法1：∵当,1
11,0,211111n
a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤
<≥-----时
即
,1111n
a a n n ≥-- 于是有
.111,,3111,211112312n
a a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ 所有不等式两边相加可得
.1
3121111n
a a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，
].[log 2
1
1121n a a n >- ∵.]
[log 22.2][log 2][log 21
11,2221n b b
a b
n b n b a b a n n +<
+=+>∴
=
证法2：设n
n f 1
3121)(+++=
Λ，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1Λ=+≤
n b
n f b
a n
（i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331
1
2223b f b
a a a a a a +=++⋅≤+=+≤
知不等式成立.
（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b
k f b
a k +≤
则1)(1)1(1
1)1(1)1()1(1++⋅++≤
+++=+++≤
+b
b k f k k a k k a k a k a k k
k k ,)1(1)1
1
)((1)()1()1()1(b
k f b
b k k f b
b
b k f k k b
k ++=
++
+=
+++++=
即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤
n b
n f b
a n
又由已知不等式得 .,5,4,3,]
[log 22][log 2
1
122Λ=+=
+<
n n b b
b n b a n
（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞
→n n a
（Ⅲ）∵
,5
1
][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令
则有,10242
,10][log log 10
22=>⇒>≥n n n
故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5
1
<n a。