苏科版苏科版八年级上册数学期末复习试卷

苏科版苏科版八年级上册数学期末复习试卷 一、选择题 1．下列四个实数：
223,0.1010017π，3,，其中无理数的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．若a 满足3a a =
，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或1或1-
3．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时，则（ ）
A ．5a =-
B ．6a =-
C ．7a =-
D ．8a =- 5．在平面直角坐标系中，点P(－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．在同一平面直角坐标系中，函数y x =-与34y x =-的图像交于点P ，则点P 的坐标为( )
A ．(1,1)-
B ．(1,1)-
C ．(2,2)-
D ．(2,2)- 7．在－227，－π，0，3.14， 0.1010010001，－313
中，无理数的个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
8．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）
A ．x ＞32
B ．x ＜32
C ．x ＞3
D ．x ＜3
9．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg ，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A ．它精确到百位
B ．它精确到0.01
C ．它精确到千分位
D ．它精确到千位
10．如图，函数 y 1＝﹣2x 与 y 2＝ax +3 的图象相交于点 A （m ，2），则关于 x 的不等式﹣2x ＞ax +3 的解集是（ ）
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．x ＞﹣1
D ．x ＜﹣1 11．如图，直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1），则不等式组,0mx n kx b mx n +≥+⎧⎨+≤⎩
的解集是（ ）
A ．3x ≤
B ．n x m ≥-
C ．3n x m
-
≤≤ D ．以上都不对 12．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4,5,6 B ．1.5,2，2.5 C ．2,3,4
D ．12， 3
13．关于等腰三角形，以下说法正确的是（ ）
A ．有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形
B ．等腰三角形两边上的中线一定相等
C ．两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等
D ．等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等
14．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +＞的解为（ ）
A ．x ＞－1
B ．x ＜－1
C ．x ＜－2
D ．无法确定
15．设2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，4﹣2的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则
b d a
c +值为（ ） A ．12 B ．14 C ．21- D ．2+1 二、填空题
16．如图，在数轴上，点A 、B 表示的数分别为0、2，BC ⊥AB 于点B ，且BC=1，连接AC ，在AC 上截取CD=BC ，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧，交线段AB 于点E ，则点E 表示的实数是_____．
17．圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是_____．
18．将函数y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．
19．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
20．已知点P 的坐标为(4，5)，则点P 到x 轴的距离是____.
21．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，点D 在BC 边上，连接AD ，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为_____．
22．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____．
23．如图是某足球队全年比赛情况统计图：
根据图中信息，该队全年胜了_______场．
24．若函数(y x a a =-为常数)与函数2(y x b b =-+为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
则关于x 、y 的二元一次方程组2x y a x y b -=⎧⎨+=⎩
的解是________. 25．若点P （3m ﹣1，2+m ）关于原点的对称点P ′在第四象限的取值范围是_____．
三、解答题 26．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，BC =6cm ，若点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）若点P 在AC 上，且满足PA =PB 时，求出此时t 的值；
（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上（但不与A 点重合），求t 的值．
27．（模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .
求证：BEC CDA ∆∆≌；
（模型应用）
①已知直线1l ：443
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点()8,6B ，作BA y ⊥轴于点A ，作BC x ⊥轴于点C ，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q 的坐标，若不能，请说明理由.
28．（1）计算：3(1232)36•-+
（2）因式分解：3312x x -
（3）计算：2(1)(2)(3)x x x x -+-+
（4）计算：2(21)2(1)(1)x x x +-+-
29．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
30．（1）如图①，小明同学作出ABC ∆两条角平分线AD ，BE 得到交点I ，就指出若连接CI ，则CI 平分ACB ∠，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，Rt ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，ABC ∆的角平分线CD 上有一点I ，设点I 到边AB 的距离为d .（d 为正实数）
小季、小何同学经过探究，有以下发现：
小季发现：d 的最大值为6013
. 小何发现：当2d =时，连接AI ，则AI 平分BAC ∠.
请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由.
31．某商场计划购进A 、B 两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型
价格
进价/（元/盏） 售价/（元/盏） A 型
30 45 B 型 50 70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B 型台灯的进货数量不超过A 型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数的定义解答即可.
【详解】
227
，0.101001是有理数；
3.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：
①π类，如2π，3
π等；②③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
只有0和1的算术平方根与立方根相等．
【详解】
=∴a 为0或1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．也考查了算术平方根．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形. 据此进行选择即可.
【详解】
根据轴对称图形定义，图形A 、C 、D 中不是轴对称图形,而B 是轴对称图形.
故选B
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的辨识,解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意列出等式，由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可.
依题意，112(1)
3(2)a a --+=-，即3(1)2(2)a a +=-，解得7a =-，经检验7a =-是原分式方程的解，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解，熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键. 5．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵－20，2x ＋10，
∴点P (－2，2x ＋1)在第二象限，
故选B ．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
联立两直线解析式，解方程组即可．
【详解】
联立34y x y x -⎧⎨-⎩
＝＝， 解得11
x y ⎧⎨-⎩＝＝， 所以，点P 的坐标为（1，-1）．
故选B ．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行求解.
【详解】
解：无理数有：−π，共1个．
故选：A ．
本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝3
2
，
∴点B（3
2
，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜3
2
时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜3
2
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．
【详解】
解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
【点睛】
本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．
10．D
解析：D
【解析】
因为函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点A (m ,2),把点A 代入12y x =-可求出1m =-,所以点A (－1,2),然后把点A 代入23y ax =+解得1a =, 不等式23x ax ->+, 可化为23x x ->+,解不等式可得:1x <-,故选D.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】 首先根据交点得出
3b n m k -=-，判定0,0m k ＜＞，然后即可解不等式组. 【详解】
∵直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1）
∴31,31m n k b +=-+=-
∴33m n k b +=+，即3b n m k
-=- 由图象，得0,0m k ＜＞
∴mx n kx b +≥+，解得3x ≤
0mx n +≤，解得n x m
≥- ∴不等式组的解集为：3n x m -
≤≤ 故选：C.
【点睛】
此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集，利用交点是解题关键.
12．B
解析：B
【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可： A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C 、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D 、222133+=≠，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B ．
考点：勾股定理的逆定理．
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和判断即可．
【详解】
解：A：如果40︒的角是底角，则顶角等于100︒，故三角形是钝角三角形，此选项错误；
B、当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，
当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等，
∴等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；
C、如图，△ABC和△ABD中，AB=AC=AD，CD∥AB，DG是△ABD 的AB边高，CH是是△ABC 的AB边高，则DG=CH，但△ABC和△ABD不全等；故此选项错误；
D、三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．内心到三边的距离相等．故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，直线l1:y1=k1x+b与直线l2:y2=k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求：能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围．
【详解】
解：能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围是x<-1．
故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x<-1．
故选B．
15．A
解析：A
【解析】
和4的值，确定其整数部分，再用原数减去其整数部分可得小数部分，将求得的值代入求解即可.
【详解】
解：∵1＜2＜4，
∴1＜2．
∴a＝1，b﹣1，
∵2＜4＜3
∴c＝2，d＝4﹣2＝2．
∴b+d＝1，ac＝2．
∴b d
ac
+
＝
1
2
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的估算，灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键.
二、填空题
16．【解析】
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC= = ，∵CD=CB=1，∴AD=AC-CD= -1，∴AE= -1，∴点E表示的实数是 -1.
【解析】
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴
，∵CD=CB=1，∴ -
1，∴，∴点E
17．142
【解析】
【分析】
近似数π=3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5 大于4，故进1，得3.142．
【详解】
解：圆周率π=3.1415926…精确到千分
解析：142
【解析】
【分析】
近似数π=3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5
大于4，故进1，得3.142．
解：圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是3.142．
故答案为3.142．
【点睛】
本题考查了近似数和精确度，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．18．y=3x-1
【解析】
∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．
故答案为y=3x﹣1．
解析：y=3x-1
【解析】
∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．
故答案为y=3x﹣1．
19．8
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】
解：由题意得，斜边长AB===10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为8.
【点睛】
本
解析：8
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】
解：由题意得，斜边长米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为8.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成．
20．5
【分析】
根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P的坐标为(4，5)，
∴点P到x轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴
解析：5
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P的坐标为(4，5)，
∴点P到x轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴的距离的计算，解题的关键是熟记点到坐标轴的距离. 21．130°或90°．
【解析】
分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
详解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°
解析：130°或90°．
【解析】
分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC 的度数．
详解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为130°或90°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
22．.
【解析】
【分析】
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【详解】
经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系
解析：13k <<.
【解析】
【分析】
根据一次函数y kx b =+，k 0<，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；
【详解】
()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限，
∴220k -<，30k -<，
∴1k >，3k <，
∴13k <<，
故答案为13k <<.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．
23．22
【解析】
【分析】
【详解】
解：用平的场次除以所占的百分比求出全年比赛场次：10÷25%=40（场）， ∴胜场：40×（1﹣20%﹣25%）=40×55%=22（场）．
故答案为：22．
【
解析：22
【解析】
【分析】
【详解】
解：用平的场次除以所占的百分比求出全年比赛场次：10÷25%=40（场），
∴胜场：40×（1﹣20%﹣25%）=40×55%=22（场）．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系．
24．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
所以
解析：21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
所以方程组2x y a x y b -=⎧⎨+=⎩ 的解为21x y =⎧⎨=⎩
. 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程（组）：满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
25．﹣2＜m ＜
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m ），进而得出不等式组答案.
【详解】
∵点P （3m ﹣1，2+m ）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m ）
解析：﹣2＜m ＜
13 【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P ′（﹣3m +1，﹣2﹣m ），进而得出不等式组答案.
【详解】
∵点P （3m ﹣1，2+m ）关于原点的对称点P ′（﹣3m +1，﹣2﹣m ）在第四象限， ∴31020m m -+>⎧⎨--<⎩
， 解得：﹣2＜m ＜13
， 故答案为：﹣2＜m ＜
13. 【点睛】
此题主要考查根据对称性和象限的性质求点坐标参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
三、解答题
26．（1）254
t =
；（2）323t =. 【解析】
【分析】
（1）根据中垂线性质可知，作AB 的垂直平分线，与AC 交于点P ，则满足PA=PB ，在Rt △ABC 中，用勾股定理计算出AC=8cm ，再用t 表示出PA=t cm ，则PC=()8t -cm ，在Rt △PBC 中，利用勾股定理建立方程求t ；
（2）过P 作PD ⊥AB 于D 点，由角平分线性质可得PC=PD ，由题意PC=()t 8-cm ，则PB=()()6t 8=14t ---cm ，在Rt △ABD 中，利用勾股定理建立方程求t.
【详解】
（1）作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于P ，连接PB ，如图所示，
由垂直平分线的性质可知PA=PB ，此时P 点满足题意，
在Rt △ABC 中，2222AC=AB BC =106=8--cm ，
由题意PA= t cm ，PC=()8t -cm ，
在Rt △PBC 中，222PC +BC =PB ，
即()2228t +6=t -，解得25t=4
（2）作∠CAB 的平分线AP ，过P 作PD ⊥AB 于D 点，如图所示
∵AP 平分∠CAB ，PC ⊥AC ，PD ⊥AB ，
∴PC=PD
在Rt △ACP 和Rt △ADP 中，
AP=AP PC=PD ⎧⎨⎩
∴()Rt ACP Rt ADP HL ≅
∴AD=AC=8cm
∴BD=AB-AD=10-8=2cm
由题意PD=PC=()t 8-cm ，则PB=()()6t 8=14t ---cm ，
在Rt △ABD 中，222PD +BD =PB
即()()22
2t 8+2=14t -- 解得32t=
3
【点睛】 本题考查了勾股定理的动点问题，熟练运用中垂线性质和角平分线性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是关键.
27．【模型建立】详见解析；【模型应用】①721y x =--；②Q 点坐标为（4，2）或（
203
，223）. .
【解析】
【分析】
模型建立：根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定
△ACD ≌△CBE ；
模型应用：①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据
△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；
②分两种情况考虑：如图3，∠AQP=90°，AQ=PQ，设Q点坐标为（a，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q点坐标；如图4，同理求出Q的坐标.
【详解】
模型建立：证明：∵AD CD
⊥，BE EC
⊥
∴90
D E
∠=∠=︒.
∵CB CA
=,∠ACB=90°.
∴1809090
ACD BCE︒︒
∠+∠=-=︒.
又∵90
EBC BCE
∠+∠=︒，
∴ACD EBC
∠=∠.
在ACD
∆与CBE
∆中，
D E
ACD EBC
CA CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴BEC CDA
∆∆
≌.
模型应用：
如图2，过点B作BC AB
⊥交
2
l于C，过C作CD y
⊥轴于D，
∵45
BAC
∠=︒，
∴ABC
∆为等腰直角三角形.
由（1）可知：CBD BAO
∆∆
≌，
∴BD AO
=，CD OB
=.
∵
1
4
4,
3
:l y x
=+
∴令0
y=，得3
x=-，∴()
30
A-,，
令0
x=，得4
y=，∴()
0,4
B.
∴3
BD AO
==，4
CD OB
==，
∴437
OD=+=.
∴()
4,7
C-.
设2l 的解析式为y kx b =+
∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩
∴721k b =-⎧⎨=-⎩
2l 的解析式：721y x =--.
分以下两种情况：
如图3，当∠AQP=90°时，AQ=PQ ，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ．
在△AQE 和△QPF 中，由（1）可得，△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a ，解得a=4.
此时点Q 的坐标为（4，2）.
如图4：当∠AQP=90°时，AQ=PQ 时，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12，FQ=8-a ．
,
在△AQE 和△QPF 中，同理可得△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，即2a-12=8-a ，解得a=
203. 此时点Q 的坐标为（203
，223）. 综上所述：A 、P 、Q 可以构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，点Q 的坐标为 （4，
2）或（
203
，223）. 【点睛】 本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三
角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
28．（1）6；（2）()()322x x x +-；（3）236x x --；（4）2243x x ++
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式乘法法则运算；（2）先提公因式，再套用公式；（3）根据整式乘法法则运算；（4）运用乘法公式运算.
【详解】
解：（1+
=+
=6-=6
（2）()
()()3231234322x x x x x x x -=-=+- （3）2(1)(2)(3)x x x x -+-+
=22226x x x x -++-
=236x x --
（4）2(21)2(1)(1)x x x +-+-
=224412(1)x x x ++--
=2244122x x x ++-+
=2243x x ++
【点睛】
考核知识点：因式分解，整式乘法.掌握相应法则是关键.
29．（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作
OH ⊥AB 于H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，
∴OH=OG ，CG=BG ，
∵OB=OB,
∴OBH OBG ∆≅∆,
∴BH=BG ，
∵BE=CD ，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG ，
在OEH ∆和ODG ∆中,
90OH OG OHE OGD EH DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴OEH ODG ∆≅∆,
∴OE=OD ．
（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由如下；
如图 ，作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G
，在CB 上取CD=BE ，
由(2)可知，因为 CD=BE，所以OEH ODG
∆≅∆且OE=OD，
∴EOH DOG
∠=∠,180
ABC HOG
∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG
∠=∠+∠=∠+∠=∠,
∴180
ABC EOD
∠+∠=,
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△OEF和△OGF中,
OE OD
EF FD
OF OF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEF OGF
∆≅∆,
∴EOF DOF
∠=∠,
∴2
EOD EOF
∠=∠,
∴2180
ABC EOF
∠+∠=.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
30．（1）有道理，理由详见解析；（2）小季和小何都正确，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，根据角平分线的性质即可得解；
（2）根据等积法的相关方法进行求解即可.
【详解】
（1）如下图，过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，连接IC
∵AI平分∠BAC，IM⊥AB，IK⊥AC
∴IM=IK，同理IM=IN
∴IK=IN
又∵IK⊥AC，IN⊥BC
∴CI平分∠BCA；
（2）如下图，过C点作CE⊥AB于点E，则d的最大值为CE长
∵5AC =，12BC =
∴115123022
ABC S AC BC ∆=⋅=⨯⨯= 又∵11133022ABC S AB CE CE ∆=
⋅=⨯⨯= ∴6013
CE = ∴d 的最大值为
6013 ∴小季正确；
假设此时AI 平分BAC ∠，如下图，连接AI ，BI ，过I 点作IG ，IH ，IF 分别垂直于AC ，BC ，AB 于点G ，H ，F
∵AI 平分BAC ∠，CD 平分∠ACB
∴BI 平分∠CBA
∵IG ⊥AC ，IH ⊥BC ，ID ⊥AB
∴IG=IH=IF=d
∵ACB AIC BIC ABI S S S S ∆∆∆∆=++
∴
11112222AC BC AC IG BC IH AB IF ⋅=⋅+⋅+⋅ ∴1111512512132222
d d d ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ∴2d =
∴假设成立，当2d =时，连接AI ，则AI 平分BAC ∠
∴小何正确.
【点睛】
本题主要考查了等积法及角平分线的性质，熟练掌握等积法的运用及角平分线性质的证明是解决本题的关键.
31．（1）75盏；25盏 （2）购进A 型台灯20盏，B 型台灯80盏；1900元
【解析】
【分析】
（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A 型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【详解】
解：（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（100﹣x）盏，
由题意可得：30x+50（100﹣x）＝3500
∴x＝75
∴100﹣x＝25
答：购进A型台灯75盏，购进B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
y＝15x+20（100﹣x）＝﹣5x+2000
又∵100﹣x≤4x，
∴x≥20
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值是1900．
答：购进A型台灯20盏，购进B型台灯80盏时获利最多，此时利润为1900元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．。