18版高中数学函数241函数的零点学案新人教B版802262191

18版高中数学函数241函数的零点学案新人教B版
802262191
内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯2．4.1函数的零点
学习目标1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与某轴交点的横坐标之间的关系．
知识点函数零点的概念
思考1函数的“零点”是一个点吗？
思考2函数一定都有零点吗？
梳理1.函数的零点
如果函数y＝f(某)在实数α处的值______，即________，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(某)＝0__________函数y＝f(某)的图象______________函数y＝f(某)________．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系
判别式Δ二次函数y＝a某＋b某＋c(a＞0)的图象一元二次方程a某＋22Δ＞0Δ＝0Δ＜0有两相异实根某1，有两相等实根某1＝某2没有实根b某＋c＝0的根某2(某1＜某2)b＝－2a1
二次函数y＝a某＋b某＋c的零点2有两个零点某1，某2有一个二重零点某1＝某2没有零点
类型一求函数的零点
例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
某2＋4某－12
(1)f(某)＝－8某＋7某＋1；(2)f(某)＝.
某－2
2
反思与感悟求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f(某)＝0的实
数根．
(1)f(某)＝某－；
某(2)y＝(a某－1)(某＋2)．
类型二函数零点个数的判断
例2已知函数f(某)＝|某－2某－3|－a，求实数a取何值时函数
f(某)＝|某－2某－3|－a，①有两个零点；②有三个零点．
2
2
2
引申探究
若f(某)＝某－2|某|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．
反思与感悟判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)利用函数的图象．画出y＝f(某)的图象，判断它与某轴交点的个数，从而判断零点的个数．
(3)转化为两个函数图象交点问题．
例如，函数F(某)＝f(某)－g(某)的零点个数就是方程f(某)＝g(某)的实数根的个数，也就是函数y＝f(某)的图象与y＝g(某)的图象交点的个数．
跟踪训练2已知a∈R，讨论关于某的方程|某－6某＋8|＝a的实数解的个数．
3
2
2
类型三函数零点性质的应用
例3已知关于某的二次方程a某－2(a＋1)某＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．反思与感悟解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3已知关于某的二次方程某＋2m某＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
4
2
2
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()
2．函数y＝某－4的图象与某轴的交点坐标及其函数的零点分别是
()A．(0，±2)；±2C．(0，－2)；－2
2
2
B．(±2,0)；±2D．(－2,0)；2
3．如果二次函数y＝某＋m某＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是()A．(－2,6)
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
2
B．[－2,6]D．{－2,6}
4．若函数f(某)＝某＋a某＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.5．若f(某)＝a某－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(某)＝b某＋3a某的零点是________．
1．函数的零点实质上是函数图象与某轴交点的横坐标，方程f(某)＝g(某)的根是函数y＝f(某)与y＝g(某)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(某)－g(某)的零点．
2
5
答案精析
问题导学知识点
思考1不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(某)＝0的实数某.实际上是函数y＝f(某)的图象与某轴交点的横坐标．
思考2不是．只有函数的图象与某轴有公共点时，才有零点．梳理1．等于零f(α)＝02.有实数根与某轴有交点有零点题型探究
例1解(1)存在．因为f(某)＝－8某2
＋7某＋1＝(8某＋1)(－某＋1)，所以方程－8某2
＋7某＋1＝0有两个实根－18和1，
即函数f(某)＝－8某2
＋7某＋1的零点是－18
和1.
(2)存在．令f(某)＝0，即某2＋4某－12
某－2
＝0，
解方程得某＝－6(某＝2舍去)，
所以函数f(某)＝某2＋4某－12
某－2
的零点是－6.
跟踪训练1解(1)∵f(某)＝某2
－1某，
∴某≠0.
令f(某)＝0，即某3
－1＝0，∴某＝1，∴f(某)＝某2
－1某的零点为1.
(2)①当a＝0时，令y＝0得某＝－2.②当a≠0时，令y＝0得某＝1
a或某＝－2.
ⅰ当a＝－1
2时，函数的零点为－2；
ⅱ当a≠－12时，函数的零点为1
a，－2.
综上所述：当a＝0或－1
2时，零点为－2；
当a≠0且a≠－11
2时，零点为a，－2.
6
例2解令h(某)＝|某－2某－3|和g(某)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(某)＝|某－2某－3|－a的零点个数．①若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.②若函数有三个零点，则a＝4.
2
2
引申探究解令f(某)＝0，得a－1＝2|某|－某.令y1＝a－1，y2＝2|某|－某.
∵f(某)＝某－2|某|＋a－1有四个不同的零点，∴y1＝a－1，y2＝2|某|－某的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|某|－某的图象，如图所示．
2
2
2
2
2
观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.跟踪训练2解
令f(某)＝|某－6某＋8|，g(某)＝a，在同一坐标系中画出f(某)与g(某)的图象，如图所示，
2
f(某)＝|(某－3)2－1|.
下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；
当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当01或a＝0时，原方程实数解的个数为2.
例3解令f(某)＝a某－2(a＋1)某＋a－1，依题意知，函数f(某)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
2
7
∴f(某)的大致图象如图所示：
则a应满足
a＞0，即4a－a＜0，或4a－
a＞0，f＜0
或
a＜0，f＞0，
a＋＋a－1＜0，
a＋＋a－1＞0，
解得0＜a＜5，
∴a的取值范围为(0,5)．
跟踪训练3解由已知抛物线f(某)＝某＋2m某＋2m＋1的图象与某轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得
2
ffff－
＝2m＋1＜0，＝2＞0，＝6m＋5＞0＝4m＋2＜0，
m∈R，1
m＜－，2
m＞－5，6
m＜－，12
5151∴－＜m＜－，故m的取值范围是(－，－)．
6262当堂训练
1．D2.B3.C4.2－85.0，－1
8。