2015年江苏省无锡市崇安区中考一模数学试卷(解析版)

2015年江苏省无锡市崇安区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四
个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（）
A．0B．﹣C．D．3.14
2．（3分）计算的结果是（）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．（3分）下列四个多项式，能因式分解的是（）
A．a﹣1B．a2+1C．x2﹣4y D．x2﹣6x+9 4．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，4）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，2）5．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．18C．20D．16或20 6．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件7．（3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
8．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．1B．C．2D．+1
9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC、BD交于点E，则＝（）
A．B．C．1﹣D．
10．（3分）在面积为60的▱ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF ⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为（）
A．22+11B．22﹣11
C．22+11或22﹣11D．22+11或2+
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在
答题卡相应位置上．）
11．（2分）已知|x|＝3，则x的值是．
12．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．
13．（2分）据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为．
14．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是．15．（2分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）
16．（2分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是．
17．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于
E，则∠DAE＝度．
18．（2分）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不
同的交点，则常数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演
算步骤.）
19．（8分）（1）计算：+|﹣1|﹣（﹣2）0；
（2）化简：（x+）÷．
20．（8分）（1）解不等式：2+≤x；
（2）解方程组：．
21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个完全相同的标有数字1、2、3、4的小球．小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红从布袋里剩下的小球中随机取出一个，记下数字为y．计算由x、y确定的点（x，y）在函数y ＝﹣x+5的图象上的概率．
23．（8分）如图所示，A、B两个旅游点从2011年至2015年“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y＝5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？
24．（8分）如图，已知锐角θ和线段c，用直尺和圆规求作一直角△ABC，使∠BAC＝θ，斜边AB＝c．（不需写作法，保留作图痕迹）
25．（8分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝，求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
26．（8分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？
（以千元为单位）
27．（8分）已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．
28．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B 沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD
交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
2015年江苏省无锡市崇安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四
个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（）
A．0B．﹣C．D．3.14
【解答】解：A、0是有理数，故A错误；
B、﹣是有理数，故B错误；
C、是无理数，故C正确；
D、3.14是有理数，故D错误；
故选：C．
2．（3分）计算的结果是（）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【解答】解：＝2．
故选：B．
3．（3分）下列四个多项式，能因式分解的是（）
A．a﹣1B．a2+1C．x2﹣4y D．x2﹣6x+9
【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故选：D．
4．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，4）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，2）
【解答】解：令x＝0，得y＝﹣2×0+4＝4，
则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：A．
5．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16B．18C．20D．16或20
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
6．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：B．
7．（3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
8．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．1B．C．2D．+1
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC•sin B＝2×＝．
故选：B．
9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC、BD交于点E，则＝（）
A．B．C．1﹣D．
【解答】解：连接AD、CD，作AF∥CD，交BE于F，
∵点D是弧AC的中点，
∴可设AD＝CD＝1，
根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°．
∴△ADF是等腰直角三角形，
则AF＝，BF＝AF＝．
∴BD＝+1．
∵∠DAC ＝∠ABD ，∠ADB ＝∠ADB ，
∴△ADE ∽△BDA ，
∴DE ＝＝﹣1，BE ＝2． ∴＝．
10．（3分）在面积为60的▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ，作AF
⊥直线CD 于点F ，若AB ＝10，BC ＝12，则CE +CF 的值为（ ）
A ．22+11
B ．22﹣11
C ．22+11或22﹣11
D ．22+11或2+
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A 为锐角时；
∵平行四边形ABCD 的面积＝BC •AE ＝AB •AF ＝60，AB ＝10，BC ＝12， ∴AE ＝5，AF ＝6，
∵AE ⊥直线BC 于点E ，作AF ⊥直线CD 于F ，
∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，
∴BE ＝
＝5，DF ＝＝6， ∴CE ＝12+5，CF ＝10+6
，
∴CE +CF ＝22+11
； ②如图2所示：∠A 为钝角时；
由①得：CE ＝12﹣5
，CF ＝6﹣10，
∴CE +CF ＝2+
； 故选：D ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在
答题卡相应位置上．）
11．（2分）已知|x|＝3，则x的值是±3．
【解答】解：|x|＝3，
解得：x＝±3；
故答案为：±3．
12．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≤3．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
13．（2分）据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 2.5×107．
【解答】解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107户．
故答案为：2.5×107．
14．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
∴扇形的弧长是：＝4π．
故答案为：4π．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A＝90°．（填上你认为正确的一个答案即可）
【解答】解：添加的条件是∠A＝90°，
理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
16．（2分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36．
【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，
由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和3，
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，
则这个长方体的体积为4×3×3＝36．
故答案为：36．
17．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝20度．
【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∵AD∥BC，AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠C＝70°，∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90﹣70＝20°．
故答案为：20°．
18．（2分）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．
【解答】解：分段函数y＝的图象如图：
故要使直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，
常数m的取值范围为0＜m＜2，
故答案为：0＜m＜2．
三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演
算步骤.）
19．（8分）（1）计算：+|﹣1|﹣（﹣2）0；
（2）化简：（x+）÷．
【解答】解：（1）原式＝3+1﹣1＝3；
（2）原式＝•＝3x﹣3．
20．（8分）（1）解不等式：2+≤x；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）去分母，得6+2x﹣1≤3x，
移项得，2x﹣3x≤1﹣6，
合并同类项得，﹣x≤﹣5，
系数化为1得x≥5；
（2），
由①得y＝3x﹣7代入②得x+3（3x﹣7）＝﹣1，解得x＝2，
把x＝2代入①得，y＝﹣1，
故原方程组的解是．
21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BCE和△DCE中
∴△BCE≌△DCE（SAS）；
（2）解：由全等可知，∠BEC＝∠DEC＝∠DEB＝×140°＝70°，
∵在△BCE中，∠CBE＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∴在正方形ABCD中，AD∥BC，有∠AFE＝∠CBE＝65°．
22．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个完全相同的标有数字1、2、3、4的小球．小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红从布袋里剩下的小球中随机取出一个，记下数字为y．计算由x、y确定的点（x，y）在函数y ＝﹣x+5的图象上的概率．
【解答】解：画树状图得：
∵共有等可能的结果12种：（x，y）为（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）；其中（x，
y）所表示的点在函数y＝﹣x+5的图象上的有4种，
∴P（点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上）＝＝．
23．（8分）如图所示，A、B两个旅游点从2011年至2015年“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y＝5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？
【解答】解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2014年；
（2）＝＝3（万人），
＝＝3（万人）．
S A2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
S B2＝[（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]＝．
从2011至2015年清明小长假期间，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些；
（3）由题意，得5﹣≤4，
解得x≥100，
x﹣80≥100﹣80＝20．
答：A旅游点的门票至少要提高20元．
24．（8分）如图，已知锐角θ和线段c，用直尺和圆规求作一直角△ABC，使∠BAC＝θ，斜边AB＝c．（不需写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示，△ABC即为所求．
25．（8分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝，求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
【解答】解：如图，
（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB＝3，AC＝，
设CH＝x，AH＝3x，
根据勾股定理得AC＝x，
∴CH＝1，AH＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
∴BH＝AH＝3，
＝×4×3＝6；
∴S
△ABC
（2）作DF⊥BC于F，
∵S
＝××DE＝3，
△ACD
∴DE＝，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，
∴DF＝AH＝，
∴BF＝DF＝，
在Rt△CDF中，CD＝＝＝，
∴在Rt△CDE中，sin∠ACD＝＝．
26．（8分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？
（以千元为单位）
【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
，
①﹣②×4得3x+y＝360，
总产值A＝4x+3y+2z＝2（x+y+z）+（2x+y）＝720+（3x+y）﹣x＝1080﹣x，
∵z≥60，
∴x+y≤300，
而3x+y＝360，
∴x+360﹣3x≤300，
∴x≥30，
∴A≤1050，
即x＝30，y＝270，z＝60．
最高产值：30×4+270×3+60×2＝1050（千元）
27．（8分）已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由x2﹣4x﹣12＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根，
故A（﹣2，0）、B（6，0），
则，
解得．
故二次函数y＝﹣x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；
（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，
连接AQ，
直线BC的解析式为y＝﹣x+6，直线AC的解析式为y＝3x+6，
设Q点坐标为（a，6﹣a），
由PQ∥AC，
可知，
解得a＝，
6﹣a＝（6﹣m），
S△CPQ＝S△APQ＝（m+2）•（6﹣m），
＝﹣（m2﹣4m﹣12）＝﹣（m﹣2）2+6，
＝6，
当m＝2时，S
最大
所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．
28．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B 沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝，
由勾股定理得：BD＝＝＝．
＝BD•AE＝AB•AD，
∵S
△ABD
∴AE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，
∴∠5＝∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D＝B′F′＝3，
∴BB′＝BD﹣B′D＝﹣3＝，即m＝．
（3）存在．
理由如下：假设存在，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，
∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠Q，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．
∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣；
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，
∴∠2＝∠P，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠P，
∴BA′∥PD，
∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上．
∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴BQ＝A′Q，
∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，
即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，
解得：BQ＝，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣＝；
③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．
∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，
∴∠4＝90°﹣∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝90°﹣∠1．
∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，
∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，
∴∠A′QB＝∠A′BQ，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣；
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∴BQ＝BA′＝5，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣5＝．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为﹣、、﹣或．。