高三数学文科第二次模拟考试卷试题

新世纪中学2021届高三数学文科第二次模拟考试卷
2021、05、05
注意：本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕一共两卷。

其中第一卷一共60
分，第II 卷一共90分，两卷合计150分。

答题时间是为120分钟。

一、
选择题〔此题一共12个小题，每一小题5分，计60分。

在每一小题给出的所有答
案中，只有一个正确答案，要求将正确答案的序号涂在答题卡的相应位置。

〕 1、集合M={1,2}，那么满足M ∪N={0,1,2}的集合N 的个数是〔 〕
A 、2
B 、3
C 、4
D 、8
2、某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习老师，每所中学分配1名男
生和2名女生，那么不同的分配方法有〔 〕 A 、6种
B 、8种
C 、12种
D 、16种
3、函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<)4)(1()4(2　
x x f x x ，那么f(5)的值是〔〕
A 、4
B 、f(5)
C 、24
D 、8
4、函数y=2sin(3x-4
π
)图象的两条对称轴之间的间隔 是〔 〕 A 、
　3π
B 、4π
C 、6
π
D 、12π
5、a<0，且a+b>0，那么以下不等式中正确的选项是〔 〕
A 、
011>+b a
B 、01
1>-b
a C 、a 2-
b 2>0 D 、b 2-ab>0 6、设函数f(x)=2
1
-+x x ,那么函数f(x+1)的图象关于直线y=x 对称的图象的函数解析式是〔 〕
A 、f(x)=13-x x
B 、f(x)=12-+x x
C 、f(x)=11
2-+x x D 、f(x)=x
x 32+
7、从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，假如按性
别依比例分层抽样，那么组成此课外小组的概率为〔 〕
A 、61525410C C C
B 、6
15
35310C C C C 、615
6
15A C
D 、6
15
2
5410C A A 8、|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为
4
π
，那么以a=5p+2q ，b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为〔 〕 A 、15
B 、15
C 、14
D 、16
9、椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么|PF 2|等于 ( )
A 、
2
3 B 、3 C 、
2
7 D 、4
10、假设数列{a n }的前n 项和公式为S n =log 3(n+1)，那么a 5等于〔 〕
A 、log 56
B 、log 3
5
6
C 、log 36
D 、log 35
11、将圆x 2+y 2=2按向量a=(2,1)平移后与直线x+y+λ＝0相切，那么实数λ的值是〔 〕
A 、±1
B 、±5
C 、-1或者-5
D 、1或者5
12、定义在R 上的函数y=f(x)满足以下三个条件：
①对任意的x ∈R 都有f(x-2)=f(x+2)；
②对任意的x 1、x 2∈R ，且0 ≤x 1〈x 2≤2，都有f(x 1)<f(x 2)； ③y=f(x+2)的图象关于y 轴对称。

那么以下结论中正确的选项是〔 〕
A 、f(4.5)<f(7)<f(6.5)
B 、f(7)<f(4.5)< f(6.5)
C 、f(7)<f(6.5) < f(4.5)
D 、f(4.5) <f(6.5)<f(7) 二、填空题〔此题一共4个小题，每一小题4分，计16分。

〕
13、设a 为非零常数，假设(x+a)9和(ax+1)8两个展开式中x 4的系数相等，那么a 的值
是 。

14、直线x=1是函数y=f(2x)图象的一条对称轴，那么函数y=f(3-x)图象的一条对称轴
是 。

15、⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，那么(x+1)2+(y+2
1
)2的最小值为 。

16、以下图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2
为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，那么e 1，e 2，e 3之间的大小关系为 。

三、解答题〔此题一共6个小题，计76分。

要求写出详细的计算、演算及证明过程。

〕
17、己知-
2
π
<x<0,sinx+cosx=51.
(1) 求sinx-cosx 的值;
(2) 求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值.〔此题12分〕
18、袋子A 和B 中装有假设干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是
3
1，从B 中摸出一个红球的概率为P 。

②
③
①
②
③
〔I 〕从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停顿，求恰好摸5次停
顿的概率；
〔II 〕假设A 、B 两个袋子中的球数之比为1：2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一
个红球的概率是5
2
，求P 的值。

(此题12分)
19、己知{a n }是各项为不同的正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列，又b n =
n
a 21，n=1，2，3，···
〔1〕证明{b n }为等比数列；
〔2〕假如数列{b n }前3项的和等于
24
7
， 求数列{a n }的首项a 1和公差d 。

〔此题12分〕
20、向量a=(x2,x+1)，b=(1-x,t)。

假设函数f(x)= a ·b在区间〔-1，1〕上是增函数，求t的
取值范围。

〔此题12分〕
21、如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB。

（1）假设M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）假设M为动点，且∠EMF=900，求△EMF的重心G的轨迹方程。

〔此题12分〕
22、抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到
抛物线准线的间隔等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。

（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。

〔14分〕
[参考答案]
一、选择题
1、 C2 、C3、D 4、A 5、D 6、B 7、A 8、A 9、C 10、B 11、C 1
2、A 二、填空题 1
3、
9514、x=1 15、20
8116、e 1=e 3>e 2 三、解答题
17、解：〔1〕、由sinx+cosx=51,平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251
, 整理得2sinxcosx=2524-∵〔sinx-cosx 〕2=1-2sinxcosx=25
49
又∵2
π
-＜x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0.故sinx-cosx=5
7-
-------------------------------------------------〔6
分〕 (2)、
175245
751
2524sin cos )
sin (cos cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2-=⨯
-
=
-+=-
+=-+x x x x x x x
x x x x x x x --------〔12分〕 18、解：〔1〕81
83194916313231222
4=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯）（）（C -----------------------------------------------------〔6分〕
〔2〕设袋子A 中有m 个球，那么袋子B 中有2m 个球
5
23231
=+m mp
m ，
得P=3013-------------------------------------------------------------------------------〔12分〕
19、(1)、证明：∵lga 1、lga 2、lga 4成等差数列
∴2lga 2=lga 1+lga 4 即a 22=a 1a 4
又设等差数列｛a n ｝的公差为d,那么
(a 1+d)2=a 1(a 1+3d) 这样 d 2=a 1d 从而d(d-a 1)=0 ∵d ≠0∴d=a 1≠0
n
a 2=a 1+(2n -1)d=2n d
b n =d
n 21这时｛b n ｝是首项b 1=
d
21,公比为
2
1的等比数列。

----------------------------------------------〔8
分〕
(2)、解：∵b 1+b 2+b 3= 24
7
)41211(21=
++d ∴d=3所以a 1=d=3-------------------------------〔12分〕
20、解：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 那么f /(x)=-3x 2+2x+t
假设f(x)在(-1,1)上是增函数，那么在(-1,1)上可设f /(x) ≥0。

∴f /(x) ≥0
⇔t ≥3x 2-2x 在区间〔－1,1〕上恒成立,
考虑函数g(x)= 3x 2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=3
1
,开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2-2x 在区间〔－1,1〕上恒成立，⇔t ≥g(-1),即t ≥5
而当t ≥5时，f /(x)在〔－1,1〕上满足f /(x)＞0，即f(x)在〔－1,1〕上是增函数。

故t 的取值范围是t ≥5 ----------------------------------------------- (12分)
21、〔1〕、证明：设M(y 02,y 0),直线ME 的斜率为k(k>0)，
那么直线MF 的斜率为-k ，∴直线ME 的方程为y-y 0=k(x- y 02)
，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-x
y y x k y y 22
00)(消x 得
ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0
解得y E =
2200)1(,1k ky x k ky E -=+021
y -同理可得
2
2
00)1(,1k ky x k ky y F F +=
-+=
∴
0202
2
022*******
)1()1(11y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF
-
=-=+-
--+-
-=--=(定值)
所以直线EF 的斜率为定值。

----------------------------------------(6分) 〔2〕、当∠EMF=900时，∠MAB=450，所以k=1,
∴直线ME 的方程为：
2
0y x y y -=-，
由)1,)-E((102
02
2
00y y x y y x y y -⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得 同理可得)1,)((1020y y F --+
设重心G(x,y),那么有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(300002
0202020y y y y y y y y y y y y x x x x F E M F E M
消去参数y 0得
y 2
27291-=
x (x>3
2)---------------------------------------------------------------(12分)
22、解：(1)、抛物线y 2=2px 的准线为x=2
p
-,于是
2,52
4=∴=+p p
抛物线的方程为y 2=4x----------------------------------------------------(3分) 〔2〕、因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)
又F(1,0)，所以K FA =
43
,34-=∴⊥MN F FA MN 那么FA 的方程为)1(34-=x y 变，MN 的方程为x y 4
3
2-=-
解方程)54,58(,54
58,432)1(3
4N y x x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=--=得---------------------------(8分)
(3)、由题意得，圆M 的圆心是点(0,2)，半径为2
当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与圆M 相切 当m ≠4时，直线AK 的方程为)(44
m x m
y --=
即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0，2)到直线AK 的间隔 d=
2
)
4(16|82|-++m m
令d>2,解得m>1
所以当m>1时，直线AK 与圆M 相离，当m=1时直线AK 与圆M 相切，m<1直线AK 与圆M 时相交。