二次函数课件

x=x1 或x=x2是二次不等式 的解集的端点值
第十三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
3.二次函数在闭区间上的最值
在闭区间的端点或二次函 数的顶点处取得
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
第十四页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(1)抛物线与x轴的交点情况
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
x1，x2 有且仅 有一个 在(k1 ，k2)
充要条件
第三十二页，编辑于星期五：九点 三十五分。
3.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
一正一负 ac<0;
两正根
Δ>0
x1+x2=- b >0 x1·x2= c a>0;
a
两负根
Δ>0
b
x1+x2=-c a <0
x1·x2= a >0;
一零根 C=0
第三十三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
设f ( x) ax2 + bx + c(a 0) 一元二次方程ax2 + bx + c 0(a 0) 的两根为x1, x2 ( x1 x2 )
( 1 ) 方 程 两 根 都 小 于 k (k 为 常 数 ）
（5）正数的负分数指数幂:
m
an
1
m
an
1 n am
（ a > 0 , m , n N 且 n > 1 ）
（6） 0的正分数指数幂等于 0 ；
0的负分数指数幂 没有意义
第十页，编辑于星期五：九点 三十五分。
（7）有理数指数幂的运算性质
aaa r s
r+s
(a0,r,sQ )同底数幂相乘,底数不变指数相加
二次函数
第一页，编辑于星期五：九点 三十五分。
1、二次函数的解析式 顶点
对称轴
(a≠0)
y=ax2+bx+c(一般式)(2ba,4a4cab2 )
直线x
b 2a
y=a(x-h)2+k(顶点式) (h,k)
x=h
ya(x x1)(x x2)(交点式）
x
x1 + x2 2
b 2a
主要用于待定系数法求二次函数解析式
f (m ) 0
f ( n ) 0
f ( p)
0
f ( q ) 0
第二十二页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(8 ) 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 根
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
+
x2
0
0
x1x2
0
也可
b 2a
0
f ( 0 ) 0
f (x)
x1
x2
公式1.
na
n
a.
（3）公式2.当n为大于1的奇数时 n a n a.
公式3.当n为大于1的偶数时
n an
| a | .
a a
(a (a
0) 0)
返回
第八页，编辑于星期五：九点 三十五分。
2、幂的概念及性质
知识回顾
（1）正整数指数幂
定义（a 的 n 次幂）：an aa aa(n N*)
0
k
1
b 2a
k2
f
(k1)
0
f ( k 2 ) 0
第二十页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 5 ) x 1 k 1 k 2 x 2 ( k 1 , k 2 为 常 数 ）
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
第二十一页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(7)mx1 npx2 q (m,n,p,q为常数）
x
n
a
（n为偶数）
①正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数
②正数的偶次方根有两个， 且互为相反数
根指数
na
（2）根式
被开方数
第六页，编辑于星期五：九点 三十五分。
1. 根式
（1） n次方根;如果xn=a,那么x叫做 a 的
,
其中n>1,且n∈N*.
.根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
第三十八页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1)
0 b
k1 2a
k1
+ 2
第二页，编≠0)的图象与性质： 定义域为R.
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤是
f(x)＝______a_x_2_＋___ba_x__＋__c___； f(x)＝_a__x_＋___2b_a__2_－__4b_a2_＋___c___＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2.
一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示.n a
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，
正数的正的n次方根用符号
表示，负的n次方根用符号
表示.正负两个n次方根可以合写为
(a＞0)
③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
第七页，编辑于星期五：九点 三十五分。
b 2a
k2
第二十六页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(7)mx1 npx2 q (m,n,p,q为常数）
f (m ) 0
f ( n ) 0
f ( p)
0
f ( q ) 0
第二十七页，编辑于星期五：九点 三十五分。
根的分布 图象 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2
充要条件
第三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
，
第四页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(5)二次函数的单调性及最值
当 a＞0 时单调减区间为
，
增区间为
；
并且当 x＝－2ba时，f(x)min＝___4_a_c4_－a__b.2
.当 a＜0 时，函数在－∞，－2ba上___递__增_，
0
x
第二十三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(9 )方 程 有 两 个 不 相 等 的 负 根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f ( 0 ) 0
f (x)
x1
x2
0
x
第二十四页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
第二十八页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(8 ) 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f ( 0 ) 0
0
x1
+
x2
0
x1x2
0
f (x)
x1
x2
0
x
第二十九页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(9 )方 程 有 两 个 不 相 等 的 负 根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f ( 0 ) 0
f (x)
x1
x2
0
x
第三十页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
第三十一页，编辑于星期五：九点 三十五分。
根的分 布
图象
x1、 x2∈(k1 ，k2)
0
b 2a
k
f ( k ) 0
第三十四页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 2 ) 方 程 两 根 都 大 于 k (k 为 常 数 ）
0
b 2a
k
f ( k ) 0
第三十五页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 3 ) x 1 k x 2 ( k 为 常 数 ）
f(k)0
第三十六页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 4 ) k 1 x 1 x 2 k 2 ( k 1 , k 2 为 常 数 ）
0
k
1
b 2a
k2
f
(k1)
0
f ( k 2 ) 0
第三十七页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 5 ) x 1 k 1 k 2 x 2 ( k 1 , k 2 为 常 数 ）
4.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
一正一负
Δ>0
x1·x2=
c a
<0
ac<0;
两正根
Δ>0
x1+x2=x1·x2= c
b >0
a >0;
a
Δ>0
两负根
xx11·+xx22==ac-
b <0
a>0;
一零根 C=0
第十六页，编辑于星期五：九点 三十五分。
有两个交点
有一个交点 顶点
没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
△= b2-4ac > 0
△= b2-4ac = 0
△= b2-4ac < 0
y
0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是大于零
y 0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是小于零
第十五页，编辑于星期五：九点 三十五分。
也可 f(0)<0
第二十五页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1)
0 b
k1 2a
k1
+ 2
k2
k1
k
2
或kf1(+k22k)20
(2) 、二次函数、二次方程与二次不等式
Δ＞0
y=ax2+bx+c
y
图象
x1 o x2 x
ax2+bx+c=0 (a>0)
ax2+bx+c>0
(a>0) ax2+bx+c<0
(a>0)
x=x1 或x=x2
函数的零点x=x1 或x=x2是方程 ax2+bx+c=0的根
{x|x<x1 或x>x2} {x|x1 <x<x2}
( 2 ) 方 程 两 根 都 大 于 k (k 为 常 数 ）
0
b 2a
k
f ( k ) 0
第十八页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 3 ) x 1 k x 2 ( k 为 常 数 ）
f(k)0
第十九页，编辑于星期五：九点 三十五分。
( 4 ) k 1 x 1 x 2 k 2 ( k 1 , k 2 为 常 数 ）
(1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
(3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_向___上_ ，当 a＜0 时，开
口__向___下___．
返回
第十一页，编辑于星期五：九点 三十五分。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形 填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>
0) 直 2b线a,x4a4ca2bba2
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<
0)直2ba线,4xa4cab2b2a
ar as
a r-s
(a0,r,sQ )同底数幂相除，底数不变指数相减
(a ) a r s
rs (a0,r,sQ )幂的乘方底数不变,指数相乘
(ab)r aa r s(a0,b0,r Q )积的乘方等于乘方的积
*一般地，当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.
设f ( x) ax2 + bx + c(a 0) 一元二次方程ax2 + bx + c 0(a 0) 的两根为x1, x2 ( x1 x2 )
( 1 ) 方 程 两 根 都 小 于 k (k 为 常 数 ）
0
b 2a
k
f ( k ) 0
第十七页，编辑于星期五：九点 三十五分。
k2
k1
k
2
或kf1(+k22k)20
b 2a
k2
第三十九页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(7)mx1 npx2 q (m,n,p,q为常数）
f (m ) 0
f ( n ) 0
f ( p)
0
f ( q ) 0
第四十页，编辑于星期五：九点 三十五分。
n个a
（2）特殊：a0 1(a 0) ，
（3） an 1 (a 0, n N*)
an
新疆 王新敞
奎屯
第九页，编辑于星期五：九点 三十五分。
（4）正分数指数幂：
m
a a n n m（ a > 0 , m , n N 且 n > 1 ）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对
轴的右侧,y随着x的增大而增大.
称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
当x2ba 时最 , 小4值 a 4c a为 b2 当x2ba 时最 ,第十大 二页，编辑4值 于星a 4 期五：c a为 b九点2三十五分。
在 －2ba，＋∞ 上 _递__减___ ， 当
x
＝
－
b 2a
时
，
f(x)max
＝
__4_a_c_－__b_2____.
4a
第五页，编辑于星期五：九点 三十五分。
1. 根式
（1） n次方根; 如果xn=a,那么x叫做 a的 n次方根, 其中n>1,且n∈N*.
n a （n为奇数）
即 若 xn
a则